[RDC]

Hola Luís y feriva, buenos tardes.

Hola

Tomamos  \( x=-x \)  como un ejemplo de sistema lógico simple que expresa una contradicción que a mi parecer, conceptualmente hablando, se asemeja a lo que halla Cantor (si existe el conjunto B entonces no puede existir, etc).

Entonces, se puede demostrar que esta contradicción se mantendrá para cualquier otro sistema que le sea equivalente, o para los distintos casos que pueda adquirir el sistema:

\( x+1=1-x \)    Continua expresando la contradicción.
\( x+1+1=1+1-x \)    Continua expresando la contradicción.
...

Así pues, demostramos lo siguiente:

Dado un sistema A contradictorio para el caso \( x \), entonces por inducción será también contradictorio para el caso \( x+1 \)

Ahora bien, que este sistema sea contradictorio para cualquier caso \( x+1 \), no significa que lo sea "siempre". De hecho, basta llevarlo al infinito para disolver la contradicción al obtener, entonces, la siguiente entidad infinita o irracional:

\( x+1+1+...=-x+1+1+1... \)   \( \Longleftrightarrow{2x+1+1+...=1+1+1+...} \)

Y está claro que, independientemente del valor natural de \( x  \), esta igualdad al infinito ya no mostrará una contradicción, sino que obtendremos, acaso, una indeterminación (aunque incluso, bajo ciertas circunstancias, le podemos atribuir una valor concreto). Hemos transformado, pues, lo contradictorio en lo indeterminado, o infinito.

Sinceramente no saco nada en limpio aquí. Si \( x \) es un natural y no incluyes al cero en ellos, efectivamente es imposible que \( x=-x \). Y las otras igualdades que pones sumando un número finito unos a cada lado también son imposibles.

Cuando pasas a una suma infinita simplemente no tiene sentido (a no ser que definamos que entendemos por suma infinita), porque la suma se define para dos naturales, y recursivamente eso permite sumar un número finito de ellos.

Pero más allá de los detalles ni siquiera se que conclusión pretences sacer de ahí.

La frase en rojo me parece un juego de palabras sin más-

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n} \) Esto es cierto, para cualquier \( n\in{\Bbb N} \) distinto de 0.

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n} \) Esto es contradictorio, para cualquier \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de 0.

Sin embargo, este caso no significa que esta contradicción sea cierta para todos los casos posibles, pues:

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \) ¿no es eso posible? En tal caso la contradicción desaparecería para cualquier \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de 0. Dado que:

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \) es lo mismo que:

\( (1+1+...+1)+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n}=-(1+1+...+1)+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \). Pues \( x \), al ser un natural cualquiera distinto de 0 es: \( x=1+1+...+1 \)

aunque, también es cierto que no está claro que podamos afirmar que sea cierta la igualdad al infinito:  \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \).

Por eso digo que una entidad infinita es, a fin de cuentas, una entidad irracional:

1) No tiene porque obedecer el principio de identidad (ser igual a sí mismo). Por ejemplo, supongamos que \( S=1+1+1+1+... \)  Entonces \( S+1=S \), o bien,  \( S-1=S \)

2) No parece afectarle el principio de no contradicción; tal y como intento mostrar con este ejemplo simple de arriba. Pienso que esto se debe, no solo porque como hemos visto \( S+1=S=S-1 \), sino también por el principio de explosión, según el cual de una contradicción se puede afirmar cualquier cosa. En tal sentido, esta explosión resulta natural cuando llevas una contradicción al infinito. Por eso, pienso, los números irracionales dejan de ser entidades contradictorias y parecen tomar algo de sentido cuando los llevamos al infinito: pues ahí tiene sentido tomar todas las infinitas posibilidades por ciertas. En cambio, tomar por cierta cualquier posibilidad en un caso concreto y bien determinado es absurdo.

3)No tiene porque cumplir el principio lógico de "el Todo es mayor que las partes". Ya se ha hablado en el hilo: de como ello nos permite emparejar biyectivamente los naturales con los números primos por ejemplo, o los pares, o los impares, etc.

4) El principio de transitividad. Esto es en el fondo lo que estamos discutiendo: ¿acaso las entidades infinitas (conjuntos de infinitos elementos por ejemplo) también lo cumplen de alguna manera a rajatabla, como nos mostró Cantor al ordenarlas de menores a mayores? Dudo de eso, simplemente porque me parecen entidades irracionales. Dicho esto, entiendo que si los naturales sólo pueden emparejarse con subconjuntos propios finitos y no con sus propios subconjuntos infinitos es precisamente por esto mismo, y no por el argumento de Cantor.   

3) El principio de tercio excluido. En caso de tratar números este principio se expresa del siguiente modo:

un número o tiene un valor concreto o no tiene ese valor, pues tiene otro distinto; no hay una tercera opción posible. Es decir, resulta contradictorio afirmar que un número tenga un valor y, a la vez, no tenga ese valor. Por ejemplo, afirmar 1=2 es una contradicción. Sin embargo, a diferencia de lo que dice feriva del principio de unicidad que deberían de tener los elementos de \( \Bbb M \), parece que con entidades infinitas (como conjuntos de infinitos elementos,  elementos de infinitos términos, los infinitesimales por ejemplo, etc), pueden mostrar esta contradicción sin que les sea un problema, dado que el principio de no contradicción, como se ha visto, no les afecta. En tal caso el argumento de Cantor no funciona, pues el valor concreto de un elemento infinito no está nada claro y ello resulta indispensable para que el argumento de Cantor funcione. Por tanto, si las entidades infinitas no se subyugan necesariamente a este principio, porque no se subyugan ya al principio de no contradicción, entonces tampoco tienen porque ceñirse al principio de transitividad.

Spoiler

Entiendo que se puede argumentar que los números irracionales, como Pi, e o cualquier raíz, sí tienen un valor concreto y cumplen el principio de tercio excluido. Pero, ¿acaso no se definen a partir de conjuntos infinitos de racionales?

[cerrar]

En fin, esta es la idea muy en bruto; con lo cual se debería definir mejor el conjunto \( \Bbb M \), y sus elementos. Pero básicamente estamos ante un conjunto formado por elementos infinitos o irracionales, es decir, elementos que no se ciñen a los principios racionales comentados arriba. Y en especial no se ciñen al principio de no contradicción. Por eso, precisamente, se toman como dinámicos, continuos o fluidos, pues lo que "se mueve" siempre acepta sin problemas la contradicción.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n} \) Esto es cierto, para cualquier \( n\in{\Bbb N} \) distinto de 0.

Correcto.

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n} \) Esto es contradictorio, para cualquier \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de 0.

Simplemente es una igualdad que no se cumple para ningún \( x,n \) naturales positivos. No usaría la palabra contradictorio ahí. Aunque es un poco lo de menos.

Sin embargo, este caso no significa que esta contradicción sea cierta para todos los casos posibles, pues:

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \) ¿no es eso posible? En tal caso la contradicción desaparecería para cualquier \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de 0. Dado que:

Si definimos que la suma de infinitos unos da infinito y que infinito más cualquier números es infinito. Efectivamente ahora esa igualdad es cierta para todo \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de \( 0 \).

Pero que una expresión pase a ser cierta o a existir valores que la cumplen que antes no la cumplían cuando cambias las condiciones de la misma no tiene nada que ver con infinitos, ni cosas raras.

Siendo \( n \) un natural positivo,

\( (k+1)\cdot x\cdot n=k\cdot x\cdot n \)

no se cumple para cualesquiera \( k,x\in{\Bbb N} \) distintos de \( 0 \).

Pero si \( n=0 \) ,

\( (k+1)\cdot x\cdot n=k\cdot x\cdot n \)

ahora se cumple para todo\( k,x\in{\Bbb N} \) distintos de \( 0 \).

aunque, también es cierto que no está claro que podamos afirmar que sea cierta la igualdad
 al infinito:  \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \).

Si decides asignar el valor infinito o cualquier valor a esa suma, SI está claro que esa igualdad puede ser afirmada y es cierta.

Si no definimos que significa la suma infinita de unos.. pues simplemente la expresión carece de sentido.

Por eso digo que una entidad infinita es, a fin de cuentas, una entidad irracional:

No se que quieres decir con eso. No se si con "irracional" haces referencia a los números irracionales, pero no lo veo sentido; o a algo "que se sale de lo racional" pero entonces me parece una afirmación vaga.

1) No tiene porque obedecer el principio de identidad (ser igual a sí mismo). Por ejemplo, supongamos que \( S=1+1+1+1+... \)  Entonces \( S+1=S \), o bien,  \( S-1=S \)

Pero eso no tiene nada que ver con el principio de identidad. El principio de identidad dice que toda entidad es igual a si misma.

Ahí lo que tendrías es que en una operación un elemento operado con otro da el mismo. Por ejemplo:

\( 1+0=1 \)

¿Para ti eso significa que el \( 1 \) no cumple el principio de identidad?

2) No parece afectarle el principio de no contradicción; tal y como intento mostrar con este ejemplo simple de arriba. Pienso que esto se debe, no solo porque como hemos visto \( S+1=S=S-1 \), sino también por el principio de explosión, según el cual de una contradicción se puede afirmar cualquier cosa. En tal sentido, esta explosión resulta natural cuando llevas una contradicción al infinito. Por eso, pienso, los números irracionales dejan de ser entidades contradictorias y parecen tomar algo de sentido cuando los llevamos al infinito: pues ahí tiene sentido tomar todas las infinitas posibilidades por ciertas. En cambio, tomar por cierta cualquier posibilidad en un caso concreto y bien determinado es absurdo

.

No tiene sentido. Como te he dicho puede haber igualdades que se cumplan bajo unas condiciones y no bajo otras. Y eso no tiene nada que ver con el infinito.

Tampoco se muy bien a que te refieres con que algo no cumpla el principio de "no contradicción".

3)No tiene porque cumplir el principio lógico de "el Todo es mayor que las partes". Ya se ha hablado en el hilo: de como ello nos permite emparejar biyectivamente los naturales con los números primos por ejemplo, o los pares, o los impares, etc.

Bien.

4) El principio de transitividad. Esto es en el fondo lo que estamos discutiendo: ¿acaso las entidades infinitas (conjuntos de infinitos elementos por ejemplo) también lo cumplen de alguna manera a rajatabla, como nos mostró Cantor al ordenarlas de menores a mayores? Dudo de eso, simplemente porque me parecen entidades irracionales. Dicho esto, entiendo que si los naturales sólo pueden emparejarse con subconjuntos propios finitos y no con sus propios subconjuntos infinitos es precisamente por esto mismo, y no por el argumento de Cantor.   

¿A qué te refieres EXACTAMENTE con el principio de transitividad?

3) El principio de tercio excluido. En caso de tratar números este principio se expresa del siguiente modo:

un número o tiene un valor concreto o no tiene ese valor, pues tiene otro distinto; no hay una tercera opción posible. Es decir, resulta contradictorio afirmar que un número tenga un valor y, a la vez, no tenga ese valor. Por ejemplo, afirmar 1=2 es una contradicción. Sin embargo, a diferencia de lo que dice feriva del principio de unicidad que deberían de tener los elementos de \( \Bbb M \), parece que con entidades infinitas (como conjuntos de infinitos elementos,  elementos de infinitos términos, los infinitesimales por ejemplo, etc), pueden mostrar esta contradicción sin que les sea un problema, dado que el principio de no contradicción, como se ha visto, no les afecta.

No entiendo nada. En primer lugar no se si me hablas de números o de conjuntos infinitos.

En segundo lugar, ¿sugieres que un conjunto infinito puede ser igual y no igual a si mismo? Sospecho que confundes el igual con otro tipo de relaciones...

Por ejemplo si pensamos en la relación menor o igual, se cumple que \( 2\leq 2 \), y \( 2\leq 4 \) y no hay ningún problema en eso. Desde luego nada que ver con el tercio excluso.

Si pensamos en la relación tener la misma paridad \( 2\sim 2 \) y \( 2\sim 4 \) y de nuevo no hay ningún problema en eso.

Entonces no se en que estás pensando en conjuntos infinitos, pero a priori no hay ningún problema en que un conjunto esté relacionado consigo mismo y también con otro con una determinada relación.

En tal caso el argumento de Cantor no funciona, pues el valor concreto de un elemento infinito no está nada claro y ello resulta indispensable para que el argumento de Cantor funcione.

No se que significa esta frase. No se que es un "elemento infinito", ¿quizá un conjunto infinito?. No se que quiere decir que "el valor concreto no esté nada claro" y a priori me parece una frase muy imprecisa.

Por tanto, si las entidades infinitas no se subyugan necesariamente a este principio, porque no se subyugan ya al principio de no contradicción, entonces tampoco tienen porque ceñirse al principio de transitividad.

Como te he comentado todas las afirmaciones que has hecho sobre los supuestos principios que fallan para mi no tienen sentido.

Por eso, precisamente, se toman como dinámicos, continuos o fluidos, pues lo que "se mueve" siempre acepta sin problemas la contradicción.

Soy incapaz de dar un significado preciso en el contexto de lo que hablas a conjuntos o elementos o no se que dinámicos, continuos o fluidos.

Saludos.

[feriva]

Hola Luís y feriva, buenas tardes.

Buenos días, RDC.

Creo que, en líneas generales, lo que te preocupa tiene que ver con la biyección entre el conjunto de partes de N y los números reales.

Geómetracat habló de ello por ahí y, si no recuerdo mal, dijo que dar una prueba directa de ello era “feo”, pero que se podía hacer indirectamente. Yo no lo miré, porque no me apetecía; eso es para ponerse despacio con papel y lápiz. Y además me lo creo (igual que N se puede biyectar con un montón de subconjuntos infinitos de N, a partir de unas definiciones, pues se podrá; si los matemáticos dicen que se puede demostrar, es que se puede). En cambio, si sospechara algo “tramposo”, sí que me pararía a mirarlo.

Lo único que sé es que un conjunto de conjuntos (conjunto de cardinal infinito) es algo así {{},{1,2}, {3,1,4,7}...,{1,2,4,6...}}

pero es el mismo conjunto que {{7,1,4,3},{2,1}...,{1,2,4,6...},{}}, porque no importa el orden de los elementos.

Ésa es la diferencia principal que hay respecto de los números, en un número sí importa el orden de las cifras.

A priori, antes de llegar a verlo, imagino que podrías considerar una correspondencia biunívoca entre todos los elementos de P(N) y un subconjunto de los reales (para llegar a vislumbrar después que ese subconjunto es todo el conjunto). Imagino que se debe entender la biyección de P(N) a los reales, porque aparentemente los reales tienen cara de ser “más”, debido a que en ellos importa el orden de sus cifras (pero no sé cómo se hace, ya digo que no me lo miré, a lo mejor no es así).

En cualquier caso, un conjunto de conjuntos con infinitos conjuntos como elementos también es único, es igual a sí mismo; el hecho de que no se considere orden entre elementos no implica que haya elementos “distintos de sí mismos”; ¿por qué, cuál sería el argumento para decir que son distintos e iguales a la vez?. Lo que sí puede haber son representantes de un mismo elemento.

Este número 3421 es distinto de 3214; pero si no considero el orden, no es distinto de sí mismo, simplemente tengo dos representantes de un mismo elemento. De análogo modo, es como decir que 2 es igual 4/2; aseverar que son distintos y a la vez iguales sería afirmar algo falso (salvo que se especifique que en un caso nos referimos al elemento y en otro a los representantes).

Pero sí es verdad que surge algo paradójico (no obstante, se entrevé que es la misma cuestión que surge con N y P(N). El conjunto P(N) es así

{{},{1},{2},...,{1,2,3...}}

donde el conjunto-elemento {1,2,3...} tiene “todos” los naturales. Entonces, como no importa el orden, sólo sería un elemento con infinitos representantes; a no ser que éste tuviera, como subelementos, más naturales de los que existen.

Sin embargo, si dentro de P(N) sólo existiera un conjunto-elemento de infinitos subelementos, y nada más que uno, todos los demás serían finitos, con lo que este “último” tendría un subelemento más que el anterior: luego sería finito también. Pero N tiene cardinal infinito, y ese elemento de P(N) es precisamente el propio conjunto N.

En cualquier caso, no es razonable decir que N es distinto de N. Del mismo modo, cuando a alguien le cuentan la paradoja del barbero, no creo que nadie concluya que el barbero es distinto de sí mismo; lo que se concluye viene a ser que si el barbero no es A, entonces es B, pero si es B, entonces es A. Es otro concepto diferente al de “ser distinto de sí mismo”.

Que te asalte esta duda sobre el conjunto de todos los conjuntos es razonable, pero no es una duda nueva, está más que hablada y analizada por los matemáticos desde hace un siglo.

No sucede este mismo problema si emparejas elementos de \( \Bbb R \) con elementos de \( P(\Bbb N) \) a través de una función \( f:\Bbb R \to P(\Bbb N) \) que sea una biyección. Si tomas una cualquiera, no tiene por qué ser una biyección y puede pasar de todo, claro. Pero Cantor, o la teoría de conjuntos, demuestra que existe una biyección entre \( \Bbb R \) y \( P(\Bbb N) \), lo cual incluye el hecho de que hay un real cuya imagen es \( \Bbb N \) y otro real cuya imagen es el conjunto de todos los pares. Lo que ocurre es que dar una biyección explícita entre \( \Bbb R \) y \( P(\Bbb N) \) es un bastante feo, pero con un poquito de trabajo se puede hacer. Normalmente se demuestra que existe una biyección de forma indirecta, probando que existen aplicaciones inyectivas \( \Bbb R \to P(\Bbb N) \) y \( P(\Bbb N) \to \Bbb R \), y apelando al teorema de Cantor-Bernstein.

Como digo, las biyecciones explícitas son muy feas, pero por ilustrar el tema, si tomas la biyección \( \eta:\Bbb R \to P(\Bbb N) \) dada en la primera respuesta de este enlace, entonces tienes que \( \eta(0) = \Bbb N \), \( \eta(\log(3)) = 2\Bbb N \) es el conjunto de todos los pares, y por ejemplo, \( \eta(10)=\{1,3\} \). De hecho, esta biyección tiene la particularidad que restringe a una biyección entre \( \Bbb N \) y todos los subconjuntos finitos de \( \Bbb N \), con lo que de nuevo recuperamos que el conjunto de subconjuntos finitos de \( \Bbb N \) es numerable.

Si tu propuesta de biyección fuera realmente una biyección, teniendo en cuenta que tiene una expresión razonablemente explícita, deberías ser capaz de decirme qué elementos de \( G \) tienen como imagen \( \Bbb N \) y el conjunto de pares (o cualquier conjunto infinito), como he hecho yo con \( \eta \).

Como te dije, he mirado un poco por encima esta web. Confieso no entender lo que pone.

Pues, en tu lugar, si a mí me inquietara esa cuestión o no me creyese que está bien razonada a partir de unas definiciones (cosa que no ocurre) me pararía en ello e intentaría entenderlo; y preguntaría las dudas. Porque, si no, el hilo ya no va avanzar mucho más en cuanto a analizar el tema (o ésa es la impresión que me da).

Saludos.

[RDC]

Buenos días, Luís y feriva. Intentaré, dentro de mis limitaciones, aclarar un poco esto que digo:

Hola

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n} \) Esto es cierto, para cualquier \( n\in{\Bbb N} \) distinto de 0.

Correcto.

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n} \) Esto es contradictorio, para cualquier \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de 0.

Simplemente es una igualdad que no se cumple para ningún \( x,n \) naturales positivos. No usaría la palabra contradictorio ahí. Aunque es un poco lo de menos.

Def.1: A nivel aritmético entiendo que el principio lógico, o racional, de no contradicción se expresa así:

\( x\neq-x \), para cualquier valor de \( x\neq0 \) (naturales, enteros o racionales)

Con lo cual cualqueir expresión que surja o se derive directamente de \( x=-x \), siendo \( x\neq 0 \), en realidad es una contradicción o un absurdo; y con razón resulta inválido. Por esto mismo, al tomar unas premisas y desarrollarlas hasta alcanzar una expresión que se deriva directamente de \( x=-x \), siendo \( x\neq 0 \) se le llama "reducción al absurdo" o "reducción a la contradicción".

Def. 2: Del mismo modo, entiendo que aritméticamente el principio de identidad se expresa así:

\( x=x \), siendo \( x \) cualquier racional; y es la base de todo el algebra.

En tal sentido, es evidente que \( x+1=x \), es siempre una violación del principio de identidad. Y de hecho es una forma de expresar la contradicción \( x=-x \). Veámoslo:

\( x+1=x\Longrightarrow{1=x-x=-1} \). Con lo cual:

\( 1=-1\Longleftrightarrow{1+1=0=x+x\Longrightarrow{x=-x}} \), cuando \( x=1 \). Por tanto, se demuestra que \( x+1=x \) es una contradicción. Por eso no puede ser cierto o posible.

Visto todo esto, entonces, por eso llamo contradicción a lo siguiente:

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^n{1^n}\Longleftrightarrow{x=-x}  \), para \( x,n\neq 0 \)

Del mismo modo que también se puede demostrar que es una contradicción el afirmar que \( 1=2 \), dado que, para \( x\neq 0, 1=2 \) sólo puede surgir de una contradicción:

\( x=-x \) Contradicción inicial, siendo x un racional cualquiera diferente de 0.
\( x+x=0=2x \) sigue siendo la misma contradicción

\( 2x+1=1 \) sigue siendo la misma contradicción

si \( x=\displaystyle\frac{1}{2} \), luego de \( 2x+1=1 \) obtenemos: \( 1=2 \); que no es más que una de las infinitas expresiones posibles que puede adquirir la contradicción inicial.

Sin embargo, este caso no significa que esta contradicción sea cierta para todos los casos posibles, pues:

\( x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n}=-x+\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \) ¿no es eso posible? En tal caso la contradicción desaparecería para cualquier \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de 0. Dado que:

Si definimos que la suma de infinitos unos da infinito y que infinito más cualquier números es infinito. Efectivamente ahora esa igualdad es cierta para todo \( n,x\in{\Bbb N} \) distintos de \( 0 \).

Pero que una expresión pase a ser cierta o a existir valores que la cumplen que antes no la cumplían cuando cambias las condiciones de la misma no tiene nada que ver con infinitos, ni cosas raras.

Siendo \( n \) un natural positivo,

\( (k+1)\cdot x\cdot n=k\cdot x\cdot n \)

no se cumple para cualesquiera \( k,x\in{\Bbb N} \) distintos de \( 0 \).

Pero si \( n=0 \) ,

\( (k+1)\cdot x\cdot n=k\cdot x\cdot n \)

ahora se cumple para todo\( k,x\in{\Bbb N} \) distintos de \( 0 \).

Interesante y sorprendente este ejemplo, Luís, para demostrar que mediante el cero, sin más, resolvemos cualquier contradicción; pues es cierto, pero me parece que no es suficiente.

Es como si, ahora, uno viniese aputando que:

\( n·\sqrt[ 2]{2}=n(\displaystyle\frac{a}{b}) \), siendo \( a,b \) naturales coprimos entre sí. Y dijera que ello demuestra \( \sqrt[ 2]{2} \) da un valor racional porque cuando n=0 entonces se resuelve la contradicción que configura, precisamente, la operación \( \sqrt[ 2]{2} \). ¿Qué le vamos a decir?

De hecho, llegados aquí hay una aspecto que me parece importante: \( \sqrt[ 2]{2} \) no me parece que sea ningún número ni valor propiamente dicho, sino una operación cuyas premisas generan una contradicción cuando se intenta sacar un valor racional, concreto y preciso de ella -cuando se intenta sacar un valor que cumpla los principios racionales o lógicos: identidad, no contradicción, transitividad, tercio excluido, etc.
 

Spoiler

Solo los números racionales parecen cumplir estas premisas lógicas.

[cerrar]

Por eso entiendo que se considere que la operación \( \sqrt[ 2]{2} \) genera un valor irracional. Sería una valor ideal, imaginario, hipotético, supuesto, como parece decir Chaitin, que no cumple los preceptos lógicos expuestos, y por eso mismo no se puede expresar de forma lógica y bien definida. Sólo podemos expresarlo como una operación indefinida.

Spoiler

Entidades irracionales o infinitas

[cerrar]

Def.3: Entiendo por entidades infinitas o irracionales a números, series, conjuntos, operaciones, etc que pueden desarrollarse violando los principios lógicos o racionales básicos: como el de identidad, el de no contradicción, el de transitividad (Si a<b, b<c, entonces a<c), el de tercio excluido, etc.

Así por ejemplo, si defino la serie infinita S, como:

\( S=1+1+1+1+1+...=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{1^n} \)

Entonces le aplico:

\( S+1=S=S-1 \)

Hemos visto que esta expresión se reduciría a una contradicción si \( S \) fuera un valor racional cualquiera, pero al ser una entidad irracional se mantiene inmune, y por tanto es lícito aplicarle tal operación.

Esta propiedad de las entidades irracionales o infinitas, acaso las series, los conjuntos o los valores (como  los números irracionales), de ser inmunes a gran parte de operaciones que resultan ser una contradicción para entidades racionales, nos lleva, pienso, a no tomar muy en serio ese viejo sueño logicista de "tratar lo infinito como un reflejo fiel de lo finito". Y sospechar que lo finito y lo infinito son dos mundos de algún modo irreducibles uno del otro.

En este sentido, me aventuraba a comentar que el argumento de Cantor sólo vale para conjuntos finitos, que son infinitos. Por que el conjunto \( B:B=\left\{{x\in{A}}, x not\inf(x)\right\} \), precisa, necesariamente, que \( x \) sea un valor racional, es decir, un valor que se ciña a los principios de identidad, no contradicción, transitividad, tercio excluido, etc.

Ahora bien, si aceptamos la existencia de un conjunto \( \Bbb M \) constituido por elementos infinitos o irracionales, tales elementos no cumples dichas propiedades lógicas, y por tanto, entiendo, que el argumento de Cantor empleando el conjunto B no podría aplicarse. 

Por tanto, entiendo que no habría "números irracionales" como valores que son idénticos a sí mismo y por tanto que se distinguen claramente unos de otros. Más bien estamos ante operaciones incapaces de alcanzar valores o estados lógicos y racionales: bien definidos. 

De algún modo, me parece semejante a la situación que nos podríamos encontrar si se nos exigiese tener que abrir  y cerrar los ojos al mismo tiempo. Esto es imposible que tal orden se dé en un entorno lógico, por contradictoria; ahora bien, lo que sí se puede dar es que primero se abra los ojos y luego se cierren, y se concatenen ambas acciones cada vez más rápido y más rápido. Entonces, al llegar a una velocidad de concatenación infinita podemos suponer e imaginar que, entonces, ya sí, tenemos los ojos abiertos y cerrados al mismo tiempo sin que eso sea una contradicción -imposible.

Eso mismo me parece que es todo lo irracional, des del número Pi o \( \sqrt[ 2]{2} \), a series infinitas, conjuntos infinitos, elementos infinitos, etc

Pero en fin, lo que no sé es como darle forma a esto.

un saludo

[RDC]

Otra curiosidad, Luís, que se desprende de lo que me comentabas. No sé, a ver que os parece:

Tenemos que  podemos expresar el principio de no contradicción tal que así:

\( x=-x \)

Veíamos que si \( x= 0 \), por pura y automática substitución de variables entonces \( x=-x\Longrightarrow{0=0} \).

Sin embargo, pienso que podemos entender que esta substitución automática no es cierta.

Lo que nos dice \( x=-x \) es que dado un valor cualquiera este es igual a un valor que no es él mismo. 

así pues, traducir automáticamente símbolo por símbolo la contradicción \( x=-x \) por \( 0=0 \) es incorrecto:

si tomamos que \( x=0 \), entonces deberíamos igualar \( 0 \) por algo que no fuera \( 0 \), es decir, por cualquier número racional, \( r \), diferente, precisamente, de \( 0 \).

Por tanto,

\( x=-x \), cuando \( x=0 \) es: \( 0=r \), siendo \( r \) cualquier racional diferente de 0.

Saludos

[sugata]

\( x=-x \) no significa ir algo sea igual a algo distinto, sino que un número es igual a su opuesto, de ahí que la respuesta \( 0 \) sea correcta. De todas formas, resolviendo la ecuación \( 2x=0 \) y ya está resuelto.

[RDC]

\( x=-x \) no significa ir algo sea igual a algo distinto, sino que un número es igual a su opuesto, de ahí que la respuesta \( 0 \) sea correcta. De todas formas, resolviendo la ecuación \( 2x=0 \) y ya está resuelto.

Sí, tienes razón sugata!

Esto sería más bien para lenguajes formales, no para aritmética.

Por tanto, pensando brevemente en ello, quizás la forma de definir el principio de no contradicción en la aritmética sería a partir de la siguiente expresión:

\( x+1=x \)

Dado que no existe ningún valor racional de \( x \) que lo satisfazca, ni tan siquiera el \( 0 \). En efecto:

\( x+1=x\Longrightarrow{1=x-x=-1} \), es decir, no hay valor racional posible de \( x \), incluso el \( 0 \), que satisfazca tal igualdad.

Además, de \( 1=-1 \) se deduce la siguiente contradicción:

\( 1+1=0=x-x\Longrightarrow{1+x=x-1} \); que resulta imposible tomando \( x \) cualquier valor racional, 0 incluido.

Por tanto, en el post anterior, más que definir el principio de no contradicción como \( x=-x \) sería más acertado, quizás, definirla como:

\( x+1=x-1=x \),

y sin embargo una serie infinita como \( S=1+1+1+1+1+...  \) satisface sin problemas tal contradicción.

Muy curioso.

un saludo!

[sugata]

No se donde quieres llegar.
\( x+1=x\\1=0 \)
Y de \( 1=-1 \) puedes llegar a cualquier cosa ya que es una igualdad falsa.

[RDC]

No se donde quieres llegar.
\( x+1=x\\1=0 \)
Y de \( 1=-1 \) puedes llegar a cualquier cosa ya que es una igualdad falsa.

pues precisamente la idea de todo esto es intentar establecer un principio de no contradicción para números dentro de la aritmética.

Y propongo que el principio sea, precisamente, que para cualquier valor \( x,x+1\neq x\neq x-1 \), ni que \( x+1\neq x-1 \), puesto que lo contrario conlleva, como bien dices sugata, el principio de explosión: que se pueda llegar a cualquier cosa. Hecho que resulta, efectivamente, absurdo, es decir, contradictorio o imposible.

Sin embargo, luego vemos como esta imposibilidad y su explosión no afecta a entidades infinitas, es decir, irracionales. Por tanto, si \( x \) es una entidad irracional, como \( S=1+1+1+1+... \), entonces no hay problema y esa contradicción/imposibilidad parece evaporarse y se puede emplear para operar con ella.

Por eso, decía que las entidades irracionales (sean números irracionales, conjuntos de infinitos elementos, elementos de infinitos componentes, series infinitas, etc) son irracionales precisamente porque no le afectan las limitaciones de los principios racionales (identidad, no contradicción, no explosión, transitividad, tercio excluido, el todo mayor que las partes, etc). Y por ello, tratar, por ejemplo, con los conjuntos de infinitos elementos de forma indistinta a los conjuntos de finitos elementos, como hace Cantor con su teorema, debería de generar algún problema.

No sé si me estoy explicando muy bien.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Def. 2: Del mismo modo, entiendo que aritméticamente el principio de identidad se expresa así:

\( x=x \), siendo \( x \) cualquier racional; y es la base de todo el algebra.

En tal sentido, es evidente que \( x+1=x \), es siempre una violación del principio de identidad. Y de hecho es una forma de expresar la contradicción \( x=-x \). Veámoslo:

No. Una violación del principio de identidad sería \( x\neq x \).

\( x+1=x \) significa que el resultado de operar \( x \) con \( 1 \) vuelve a ser \( x \).

Y eso es algo que puede ocurrir para algunas operaciones y algunos elementos y no para otros; pero no tienen nada que ver con el principio de identidad. Por ejemplo para la operación unión:

\( \{1,2\}\cup \{1\}=\{1,2\} \) (\( X\cup A=X \))

y no se está violando ningún principio.

Interesante y sorprendente este ejemplo, Luís, para demostrar que mediante el cero, sin más, resolvemos cualquier contradicción; pues es cierto, pero me parece que no es suficiente.

No. Estás empeñado en generalizar ciertas situaciones que se dan para ciertas operaciones con ciertos elementos a principios muy generales que sólo llevan a confusión.

Eso de "el cero resuelve contradicción" es una interpretación (errónea) de que \( 0\cdot x=0\cdot y \). que sólo te llevará a equivocarte.

Es como si, ahora, uno viniese aputando que:

\( n·\sqrt[ 2]{2}=n(\displaystyle\frac{a}{b}) \), siendo \( a,b \) naturales coprimos entre sí. Y dijera que ello demuestra \( \sqrt[ 2]{2} \) da un valor racional porque cuando n=0 entonces se resuelve la contradicción que configura, precisamente, la operación \( \sqrt[ 2]{2} \). ¿Qué le vamos a decir?

Le diría que \( 0·\sqrt[ 2]{2}=0(\displaystyle\frac{a}{b}) \) no prueba que \( \sqrt{2} \) es racional porque:

\( 0\cdot x=0\cdot y \) no implica que \( x=y \)

O por ejemplo:

\( 0\cdot 2=0\cdot 3 \) no implica que \( 2=3 \).

De hecho, llegados aquí hay una aspecto que me parece importante: \( \sqrt[ 2]{2} \) no me parece que sea ningún número ni valor propiamente dicho, sino una operación cuyas premisas generan una contradicción cuando se intenta sacar un valor racional, concreto y preciso de ella -cuando se intenta sacar un valor que cumpla los principios racionales o lógicos: identidad, no contradicción, transitividad, tercio excluido, etc.
 
Solo los números racionales parecen cumplir estas premisas lógicas.

Por eso entiendo que se considere que la operación \( \sqrt[ 2]{2} \) genera un valor irracional. Sería una valor ideal, imaginario, hipotético, supuesto, como parece decir Chaitin, que no cumple los preceptos lógicos expuestos, y por eso mismo no se puede expresar de forma lógica y bien definida. Sólo podemos expresarlo como una operación indefinida.

Sospecho que estás identificando "irracional" como algo que se sale fuera de la razón. Cuando en este contexto simplemente son números que no pueden expresarse como cociente, como RAZÓN, de dos enteros.

Def.3: Entiendo por entidades infinitas o irracionales a números, series, conjuntos, operaciones, etc que pueden desarrollarse violando los principios lógicos o racionales básicos: como el de identidad, el de no contradicción, el de transitividad (Si a<b, b<c, entonces a<c), el de tercio excluido, etc.

Pues estoy ya son invenciones tuyas que, por lo que te he comentado y argumentado antes, se basan en interpretaciones equivocadas de diferentes propiedades de ciertas operaciones.

Entonces le aplico:

\( S+1=S=S-1 \)

Hemos visto que esta expresión se reduciría a una contradicción si \( S \) fuera un valor racional cualquiera, pero al ser una entidad irracional se mantiene inmune, y por tanto es lícito aplicarle tal operación.

Ya te indicado varias veces que no hay nada contradictorio en que una operación entre dos elementos pueda dar como resultado uno de ellos.

En este sentido, me aventuraba a comentar que el argumento de Cantor sólo vale para conjuntos finitos, que son infinitos. Por que el conjunto \( B:B=\left\{{x\in{A}}, x not\inf(x)\right\} \), precisa, necesariamente, que \( x \) sea un valor racional, es decir, un valor que se ciña a los principios de identidad, no contradicción, transitividad, tercio excluido, etc.

Pues es una afirmación gratuita sin sentido ni fundamento alguno.

Otra curiosidad, Luís, que se desprende de lo que me comentabas. No sé, a ver que os parece:

Tenemos que  podemos expresar el principio de no contradicción tal que así:

\( x=-x \)

No. Ya te dije que no tiene nada que ver.

Veíamos que si \( x= 0 \), por pura y automática substitución de variables entonces \( x=-x\Longrightarrow{0=0} \).

Sin embargo, pienso que podemos entender que esta substitución automática no es cierta.

No se que decirte; porque entiendes cada cosa como a ti te parece y no como lo entiende la notación estándar de matemáticas.

Lo que nos dice \( x=-x \) es que dado un valor cualquiera este es igual a un valor que no es él mismo.

\( -x \) en el contexto de la operación suma en los números, es el número que sumado a \( x \) da cero. Entonces \( x=-x \) significa que \( x+x=0 \).

El único número que cumple eso es el cero.

No hay nada más que sacar de ahí.

Saludos.