[feriva]

Por tanto, la suposición de la existencia de irracionales, como raíz de 2, implica la suposición de que existen números supranaturales, o suprarracionales. .

No es una suposición que exista raíz de 2. Ten encuenta que \( 2^{1/2} \) es un valor \( \dfrac{a}{b} \) para el que sí es verdad que no existen a,b enteros, pero a/b sí existe como número real, porque su valor no es infinito ( raíz de 2 es menor que 2 y mayor que 1, es un valor finito, real). Si le quitas la coma, entonces sí que su valor es infinito y la distancia a un número real no se va a distinguir de “otro” valor infinito en cuanto a la distancia a ese mismo número real; ahí sí. Existe un modelo no estándar donde se consideran esos números "supernaturales" y demás, y en ese modelo se les llama hiperreales: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal Pero no cambia nada, es estirar "la goma", que se puede estirar lo que uno quiera. Lo que se puede resolver el modelo no estándar se puede resolver también en el estándar. 

Otra cosa es que un número irracional no se pueda terminar de escribir; no podemos ver una última cifra, porque eso es lo que no existe. Del mismo modo, cualquiera puede distinguir a Joe Biden del presidente de otro país, y de cualquier persona, aunque sólo le vea por la televisión. No hace falte verle el culo a Joe Biden para saber que es Joe Biden, de igual manera que no hace falte ver una última cifra de raíz de 2 para saber que es \( 2^{1/2} \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sinceramente estamos una y otra vez dando vueltas a lo mismo. No contestas a mis objeciones y te limitas a repetir lo que ya has dicho:

Lo que parece caracterizar a los números racionales es que cumplen y dan solución a una serie de ecuaciones o operaciones, mientras hay otras que nunca cumplen o hay solución.

En las condiciones que pones a continuación no hay ninguna diferencia en el comportamiento de los racionales y de los irracionales. ¿De acuerdo o no?. Si la hay dime EXACTAMENTE la diferencia. Y te concreto ahora el EXACTAMENTE...

Por ejemplo, si tomamos $$x$$ como racional entonces:

1) x=x .

Cualquier racional es solución de esta ecuación. Pero es más, ¿acaso hay otra ecuación como esta, es decir, que todo racional posible sea solución de ella? A bote pronto diría que no, con lo cual ¿por qué no identificar esta operación como un principio fundamental de la aritmética, y acaso la forma de expresar "el principio de identidad" en este ámbito?

También cualquier irracional es solución de esa ecuación. ¿De acuerdo o no?.

Es más cualquier objeto matemático cumple esa relación. Así que esa ecuación no caracteriza los racionales porque no es una propiedad particular de ellos.

2) \( x+y=x=x-y \) , siendo $$y$$ un racional cualquiera diferente de $$0$$.

Estamos de acuerdo que ningún racional cumple tal operación;

Y ningún irracional cumple tal operación (ecuación más bien). ¿De acuerdo o no? En caso contrario dime dos irracionales con \( y\neq 0 \) que cumplan \( x+y=x=x-y \).

Entonces de nuevo esa propiedad no caracteriza (distingue) a los racionales porque la cumplen todos los números reales.

Sabía que dirías eso, Luís . Sólo era una anécdota histórico-especulativa para mostrar que nuestras ideas no surgen por generación espontánea, ni nos caen del cielo, ni nacemos con ellas dentro y por eso cabría esperar que fueran las únicas y verdaderas; más bien evolucionan: pasan por diferentes etapas a través de múltiples expresiones y así se van desarrollando, hasta que al final, suelen también morir en manos de otras ideas -o se integran y disuelven en ellas.

Aquí comentas mi observación sobre mi falta de interés en los antencedentes histórico-filosóficos. Pero pasas por alto contestar a mis objeciones más importantes como cuando te digo que:

Si, bueno es la demostración que he hecho arriba: por reducción al absurdo. Pero vale para cualquier número real, no hace falta hablar de racionales.

En el contexto de que la ecuación \( x=x+1 \) no tiene solución ni para racionales ni para reales. De nuevo no es nada que distinga a los números racionales de cualquier otro número irracional o real.

Como ya he dicho, ningún racional cumple esta ecuación de continuidad, que implica romper su transitividad y por tanto, su identidad puntual. ¿Quién sí lo cumple? Pues los elementos irracionales, es decir, elementos que se han llevado, de algún modo, hasta el infinito. Así se aprecia clarísimamente con los infinitesimales, que no son transitivos en la medida que expresan, precisamente, una continuidad al ser solución a expresión del tipo $$x-x=\pm{y}$$, con $$y\neq  0$$

¿Pero qué número irracional \( x \) cumple que \( x-x=\pm y \) con \( y\neq 0 \)? Dímelo. ¡Ninguno! No tiene sentido alguno.

Mezclas los números irracionales con no se muy bien que. Algo que llamas "los infinitesimales" que no se a que viene.

Suponemos que $$\sqrt[ 2]{2}$$ es un número racional, único y específico, y por ello transitivo y perfectamente distinguible de los infinitos otros racionales que le rodean. Entonces:

$$\sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}$$, siendo a,b dos números coprimos cualqueira.

$$2b^2=a^2$$

$$2b^2+ab=ab+a^2$$

$$b(2b+a)=a(b+a)$$

$$\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}$$

Esto implica que $$2b+a=a$$ y que $$b+a=b$$,

¡Pero eso está mal!

$$\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}$$

NO implica que \( 2b+a=a \) y que \( b+a=a \).

¿\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6} \) implica que \( 1=3 \) y \( 2=6 \)?.

¿No ves qué cometes un error de bulto?.

Que \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{a}{b} \) lo que significa es que \( xb=ay \).

El mismo razonamiento que haces se podría hacer tomando en vez \( \sqrt{2} \) simplemente \( 2 \) y te quedaría:

$$\displaystyle\frac{4b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}$$

¿Deducirías de ahí que \( 4b+a=a \) y \( b+a=b \)? ¿Dirías ahora que \( 2 \) rompe "la transitividad"?.

En fin...

Saludos.

[RDC]

Hola Luís

Hola
¡Pero eso está mal!

$$\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}$$

NO implica que \( 2b+a=a \) y que \( b+a=a \).

¿\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6} \) implica que \( 1=3 \) y \( 2=6 \)?.

¿No ves qué cometes un error de bulto?.

Que \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{a}{b} \) lo que significa es que \( xb=ay \).

El mismo razonamiento que haces se podría hacer tomando en vez \( \sqrt{2} \) simplemente \( 2 \) y te quedaría:

$$\displaystyle\frac{4b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}$$

¿Deducirías de ahí que \( 4b+a=a \) y \( b+a=b \)? ¿Dirías ahora que \( 2 \) rompe "la transitividad"?.

En fin...

Saludos.

Sí, tienes razón Luís: un error de bulto; pero y qué? No veo que eso afecte a la idea que intento exponer. Esta mañana tenía prisa y lo he expresado mal, muy mal, cierto  ; pero la cuestión es que:

Partimos de que si queremos encontrar un valor medible, racional y por tanto, relativo a una unidad arbitraria cualquiera, para la operación \( \sqrt[ ]{2}=\sqrt[ ]{1+1} \), entonces es necesario que la ecuación siguiente tenga sentido:

\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}\longrightarrow{2b^2=a^2} \). Con $$a,b$$ coprimos entre sí.

Esta ecuación es lo mismo que decir:

\( 2b^2+ab=a^2+ab \), que nos lleva a:

$$\sqrt{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}\longrightarrow{\displaystyle\frac{a}{b}-\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=0=\displaystyle\frac{a^2-2b^2}{b(a+b)}}$$.

Sin embargo, para que eso fuera posible entonces:

\( a^2-b^2=b^2=(a-b)(a+b) \)

Ello conlleva, dicho rápido, que \( b=a+b \), o si \( b=xy \), entonces \( x=a+xy=x+x+x+...+x+a=x+z=x \) siendo $$z=x(y-1)+a $$. En cualquier caso, estamos ante la expresión aritmética de la contradicción, con lo cual se demuestra entonces la irracionalidad de \( \sqrt[ ]{2} \).

Ahora bien, lo que sí es posible, siempre que $$b^2+1\neq 2·n$$ (siendo $$n$$ un impar), es que:

\( a^2-b^2=b^2+1=(a-b)(a+b) \)

Con lo cual:

\( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Y si al principio considerábamos que:

\( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}=\sqrt[ ]{2} \)

Ello nos muestra que, en todo caso:

\( \sqrt{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Y esta expresión rompe la transitividad, dado que es como decir que \( x=x+y \), siendo \( x=\displaystyle\frac{a}{b}, y=\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Por tanto, a partir de haber establecido el principio de no contradicción, o de transitividad, mediante la expresión $$x\neq x \pm{y}, y\neq0 $$, se pone de manifiesto la imposibilidad de que \( \sqrt[ ]{1+1}=\sqrt[ ]{2} \) tenga un valor racional, es decir, medible, puntual y relativo a una unidad cualquiera.

Ahora bien, dado que ante lo irracional y contradictorio tendemos a buscar una forma de volverlo lógico y coherente, aquí se puede también intentar racionalizar y dar sentido a esta operación de algún modo. Por ejemplo:

\( \displaystyle\frac{a}{b}\approx{\sqrt{2}}\approx{\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)}} \)

Esto, para nosotros, sí tiene sentido, es coherente y lo podemos operar.

Lo que sucede es que ello imposibilita dar un valor concreto a $$\sqrt{2}$$ y relacionarlo con una unidad, la que sea. Ello conlleva, parece ser que el valor de \( \sqrt[ ]{2} \) se vuelve difuso: una aproximación, un intervalo, una especie de continuidad, etc.

También es cierto, pero, que podemos imaginar que $$\sqrt{2}$$ tiene un valor propio y puntual, aunque independientemente de cualquier unidad, y por tanto nos resulta incognoscible. Y entonces podemos "hacer ver" que operamos con tal valor de $$\sqrt[ ]{2}$$, por ejemplo diciendo que:

\( \sqrt[ ]{2}\neq\sqrt[ ]{2}+y, y\neq 0 \)

Aquí estamos haciendo como si \( \sqrt[ ]{2} \) tuviera un valor puntual, y por ello, fuera transitivo, porque nos lo imaginamos. Pero sólo nos lo imaginamos, porque de tal valor imaginario no tenemos nada más que aproximaciones e intervalos finitos entre racionales. (ya ni hablo de decimales)

Lo que en realidad tenemos es una inmensa contradicción, que podemos mostrar mediante esta expresión:

\( \displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)}=\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}=\sqrt{2} \)

Ahora bien, parece ser que si llevamos las variables $$a,b$$ al infinito para que sean tan grandes como queramos, entonces desaparece la contradicción de la expresión anterior:

El término \( \displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \) parece que tendería a reducirse a $$0$$, con lo cual los términos \( \displaystyle\frac{a}{b} \) y \( \displaystyle\frac{a+2b}{a+b} \) convergirían en algún punto, dado que \( \displaystyle\frac{a}{b}-\displaystyle\frac{a+2b}{a+b}=\displaystyle\frac{1}{b(a+b)}\longrightarrow{0} \).

Pero, ¿Qué significa eso? ¿Acaso eso significa que en el infinito la operación \( \sqrt[ ]{2} \) tiene solución y da un valor preciso y concreto? ¿Pero cómo puede tener un valor preciso y concreto si no atiende a ninguna unidad?


Veámoslo con ejemplo:

Empezamos con un primer valor de $$\sqrt{2}$$:
 
\( \displaystyle\frac{7}{5}=\sqrt{2}=\displaystyle\frac{7}{5}+\displaystyle\frac{1}{60}=\displaystyle\frac{17}{12} \)

Luego proseguimos con un segundo valor:

\( \displaystyle\frac{17}{12}=\sqrt{2}=\displaystyle\frac{17}{12}+\displaystyle\frac{1}{493}=\displaystyle\frac{41}{29} \)

Y así podemos proseguir indefinidamente.

Observaciones:

Se aprecia como en cada iteración lo único que podemos hacer con la operación \( \sqrt[ ]{2} \) es acotarla a través de un intervalo de racionales. ¿Qué más se puede hacer?

En la primera iteración el intervalo es \( [\displaystyle\frac{7}{5},\displaystyle\frac{17}{12}] \), con lo cual podemos decir que:

\( \exists{x},x\in{\Bbb Q}, x\in{[\displaystyle\frac{7}{5},\displaystyle\frac{17}{12}]} \). Y puesto que \( \sqrt[ ]{2} \) no puede ser ningún racional, entonces tenemos que:

\( x\pm{y}=\sqrt[ ]{2}=[\displaystyle\frac{7}{5},\displaystyle\frac{17}{12}]
 \)

Se puede considerar, pues, que \( \sqrt[ ]{2} \) es siempre un intervalo entre racionales, y en tal sentido cabe pensarlo como un valor "continuo" y no puntual.

En la segunda iteración el intervalo es  \( [\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29}] \), con lo cual podemos decir que:

\( x\in{\Bbb Q}, x\in{[\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29}]} \), entonces:

\( x\pm{y}=\sqrt[ ]{2}=[\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29}]
 \)

Por ejemplo:

Dado un racional \( x, x=\displaystyle\frac{458697}{324347} \), y tomando el valor de \( \sqrt{2} \) como el intervalo \( [\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29}] \), entonces:

\( \displaystyle\frac{458697}{324347}-\sqrt{2}\longrightarrow{[\displaystyle\frac{458697}{324347}-\displaystyle\frac{17}{12}],[\displaystyle\frac{458697}{324347}-\displaystyle\frac{41}{29}]}=[\displaystyle\frac{-9535}{3892164}],[\displaystyle\frac{3986}{9406063}] \).

Entonces, haciendo los cálculos se aprecia que el racional \(  \displaystyle\frac{458697}{324347} \) está dentro del intervalo \( [\displaystyle\frac{17}{12},\displaystyle\frac{41}{29}] \), el cual nos identifica el valor de \( \sqrt[ ]{2} \). Con lo cual, parece lógico poder definir lo siguiente:

\( \displaystyle\frac{458697}{324347}-\displaystyle\frac{9535}{3892164}=\displaystyle\frac{458697}{324347}+\displaystyle\frac{3986}{9406063}=\sqrt[ ]{2} \)

Questiones

Al ampliar estas iteraciones lo que hacemos es "reducir" el intervalo dentro del cual representamos el valor de \( \sqrt{2} \). ¿Pero eso qué significa?

a) ¿Conocemos cada vez mejor, con más precisión, su supuesto valor real?

b) ¿Nos acercamos cada vez más a su supuesto valor real?

No parece que sea decididamente afirmativa ninguna de las dos preguntas anteriores.  Por más que iteremos nuestra ignorancia sobre el supuesto valor real de \( \sqrt{2} \) se mantiene intacta. Por más que acotemos el intervalo, este puede seguir acotándose más y más, dado que no hay límite.

En todo caso, el hecho de ir acotando cada vez más el valor de un irracional como en este caso \( \sqrt[ ]{2} \), nos permite, pienso, aplicar un truco muy útil:

Podemos tomar un racional como sería por ejemplo el mismo \( x=\displaystyle\frac{458697}{324347} \) y usarlo como pseudovalor, o solución-aparente, a \( \sqrt[ ]{2} \). Este truco sirve hasta que rebasemos los límites que marca el intervalo escogido, ciertamente, pero permite tratar la operación \( \sqrt[ ]{2} \) como si tuviera una solución racional, es decir, medible, puntual, coherente y bien definida por la unidad.

Sin embargo, no parece raro sospechar que el supuesto valor puntual y por ello transitivo de \( \sqrt[ ]{2} \) sea aparente y aproximado.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 Como dije unos mensajes atrás cada vez estoy más cerca de dejar este debate. Hay dos motivos, uno ya te lo comenté y otro no.

- Ya te había dicho que cada vez me cuesta más encontrar un sentido coherente a lo que dices. Entonces me cuesta concretar las críticas.
- Lo nuevo: cuando las concreto, te dejo una serie de objeciones y preguntas a las que simplemente no respondes. En mi último mensaje incluso las dejé en negrita. Nada. Estás en tu derecho, por supuesto. No tienes obligación de responder a nada; pero simplemente en ese caso no tiene sentido el debate, no tienen sentido mis contrarréplicas si las ignoras en su mayoría.

Sí, tienes razón Luís: un error de bulto; pero y qué?

Qué digas "¿y qué?" ya es mala señal; es algo así como "yo voy a seguir con mis ideas aunque se basen en argumentos que son errores de bulto".

Lo que quieres decir, supongo, es que puedes reargumentar de otra manera.... pero como te razonaré a continuación vuelves a cometer errores de bulto o sacarte cosas de la manga que no tienen sentido.

\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}\longrightarrow{2b^2=a^2} \). Con $$a,b$$ coprimos entre sí.

Esta ecuación es lo mismo que decir:

\( 2b^2+ab=a^2+ab \), que nos lleva a:

$$\sqrt{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}\longrightarrow{\displaystyle\frac{a}{b}-\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=0=\displaystyle\frac{a^2-2b^2}{b(a+b)}}$$.

Sin embargo, para que eso fuera posible entonces:

\( a^2-b^2=b^2=(a-b)(a+b) \)

De acuerdo.

Ello conlleva, dicho rápido, que \( b=a+b \), o si \( b=xy \), entonces \( x=a+xy=x+x+x+...+x+a=x+z=x \) siendo $$z=x(y-1)+a $$.

Pues ahí tienes que razonar de donde te sacas eso; porque desde luego sin más explicación no es cierto.

Uno puede razonar así: dado cualquier divisor \( p \) primo de \( b \) como \( b^2=(a-b)(a+b) \) se tiene que \( p \) divide a \( a-b \) o a \( a+b \); pero entonces \( p \) divide a \( a \), lo cual contradice la coprimalidad de \( a,b \). Así que la única posibilidad es que \( b=1 \), pero en ese caso tendríamos:

\( 1=(a-1)(a+1) \)

de donde \( a-1=1 \) y \( a+1=1 \) ó \( a-1=(-1) \) y \( (a+1)=(-1) \) y ambas cosas son imposibles.

Es cierto entonces que suponer que \( \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}  \) con \( a,b \) enteros lleva a contradicción y como cualquier demostración por reducción al aburdo, eso simplemente demuestra que \( \sqrt{2} \) no es cociente de enteros.

Por cierto, a la misma conclusión se llega si uno simplemente plantea la ecuación:

\( 2b^2=a^2 \)

Es una ecuación que no tiene solución en los enteros (y ahí no interviene ningún número irracional).

O esta otra: \( a^2+1=0 \). Tampoco tiene solución en los enteros (ni en los reales de hecho) y ahí no interviene ningún número irracional.

Es decir no hace falta hablar de números irracionales para que haya ecuaciones que no tienen solución en los enteros. ¿De acuerdo?

En cualquier caso, estamos ante la expresión aritmética de la contradicción, con lo cual se demuestra entonces la irracionalidad de \( \sqrt[ ]{2} \).

Lo que prueba la irracionalidad de \( \sqrt{2} \) es que por reducción al absurdo hemos probado que no puede expresarse como cociente de racionales.

Hay muchas demostraciones por reducción al absurdo que no tienen nada que ver con los números irraciones; hago esta puntualización para que veas que no tiene sentido asociar "llegar a una contradicción" con "número irracional". ¿De acuerdo?

Ahora bien, lo que sí es posible, siempre que $$b^2+1\neq 2·n$$ (siendo $$n$$ un impar), es que:

\( a^2-b^2=b^2+1=(a-b)(a+b) \)

Eso es otra ecuación diferente. Es decir:

\( a^2-b^2=b^2+1 \)

es una ecuación diferente de:

\( a^2-b^2=b^2 \)

¿De acuerdo?.

Con lo cual:

\( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Ese "con lo lo cual" significa que:

\( a^2-b^2=b^2+1 \) equivale a \( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \): correcto..

y por otra parte esta otra ecuación diferente:

\( a^2-b^2=b^2 \) equivale \( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}=\sqrt{2} \): correcto.

Pero...

Y si al principio considerábamos que:

\( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}=\sqrt[ ]{2} \)

Ello nos muestra que, en todo caso:

\( \sqrt{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Esto no tiene sentido. No muestra nada de eso. Mezclas dos ecuaciones distintas. Para que lo veas claro lo que haces es algo así:

considero la ecuación \( x+y=3 \)
considero la ecuación \( x+y=4 \)

y digo: eso nos muestra en todo caso que,

\( 3=x+y=4 \) 

Las conclusiones que sacas de aquí ya ni las comento porque parten de un razonamiento profundamente erróneo, sin sentido de hecho.

Más adelante comentas un método para aproximar la expresión decimal de \( \sqrt{2} \). Bien no me meto ahí. No lo he mirado en detalle, pero ya lo habías explicado en otro hilo y es correcto.

Por en medio usas esa palabra "transitivo" con un significado que sólo manejas tú y mal (incluso con tu propia acepción del término). Porque si transitivo (para ti) significa esto:

Principio de transitividad:

\( x-y<x \), y \( x<x+y \), por tanto \( x-y<x+y \)

Es decir, dado dos racionales \( x,y \) es posible, siempre, discernir el número que hay antes de \( x \) con el que hay después de \( x \), tomando el número \( y \) como distancia.

El número \( \sqrt{2} \) y en general cualesquiera números reales cumplen esas mismas propiedades que (sospecho) sólo atribuyes a los racionales.

Saludos.

P.D. Por otra parte si en lugar del Teorema de Cantor, querías defender que no existen los números irracionales (y retroceder 25 siglos en la historia de las matemáticas), quizá sería mejor que lo hubieras explicado en otro hilo. El Teorema de Cantor, se puede discutir sin hablar nada de números irracionales.

Mezclar una cosa con otra solo crea confusión.

[feriva]

Podemos tomar un racional como sería por ejemplo el mismo \( x=\displaystyle\frac{458697}{324347} \) y usarlo como pseudovalor, o solución-aparente, a \( \sqrt[ ]{2} \). Este truco sirve hasta que rebasemos los límites que marca el intervalo escogido, ciertamente, pero permite tratar la operación \( \sqrt[ ]{2} \) como si tuviera una solución racional, es decir, medible, puntual, coherente y bien definida por la unidad.

Sin embargo, no parece raro sospechar que el supuesto valor puntual y por ello transitivo de \( \sqrt[ ]{2} \) sea aparente y aproximado.

Mira

\( 2^{0,499999999991}=1,4142135623{\color{red}642726} \)

Las cifras en rojo ya no se corresponden con las de \( 2^{0.5} \), pero, si añado más nueves, puedo conseguir que hasta ahí sí sean las mismas que en raíz de 2:

\( 2^{0,499999999999999991}=1,4142135623730951 \).

No es raíz de 2, evidentemente, pero tiene al menos las 17 primeras cifras iguales.

Sólo será raíz de 2 cuando la mantisa tenga infinitos nueves, porque en ese caso será lo mismo que 0,5 ( infinitos nueves del infinito numerable, el del cardinal de N, que es único).

Raíz de dos será solamente \( lim_{x\rightarrow0,4999...}\,\,\,2^{x} \) y no otro número con menos nueves en su mantisa; luego será único (y si es único no puede ser "aproximadamente único", no existe esa definición en matemáticas). 

Pero el peso de la “cuenta”, la definición del límite, no recae sobre un irracional, recae sobre un racional (al menos considerado así).

Cuando la cantidad de nueves tiende a infinito, entonces su valor es el número natural racional 0,5 (exactamente 0,5) pese a que seamos incapaces de escribir infinitos nueves.

Es cierto que al ser racional podemos escribirlo, o digamos representarlo, sin de forma que se acabe, pero también es cierto que mientras la cantidad de nueves sea finita no será 0,5, será un número real distinto.

Saludos.

[RDC]

Por tanto, la suposición de la existencia de irracionales, como raíz de 2, implica la suposición de que existen números supranaturales, o suprarracionales. .

No es una suposición que exista raíz de 2. Ten encuenta que \( 2^{1/2} \) es un valor \( \dfrac{a}{b} \) para el que sí es verdad que no existen a,b enteros, pero a/b sí existe como número real, porque su valor no es infinito ( raíz de 2 es menor que 2 y mayor que 1, es un valor finito, real). Si le quitas la coma, entonces sí que su valor es infinito y la distancia a un número real no se va a distinguir de “otro” valor infinito en cuanto a la distancia a ese mismo número real; ahí sí. Existe un modelo no estándar donde se consideran esos números "supernaturales" y demás, y en ese modelo se les llama hiperreales: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal Pero no cambia nada, es estirar "la goma", que se puede estirar lo que uno quiera. Lo que se puede resolver el modelo no estándar se puede resolver también en el estándar. 

Otra cosa es que un número irracional no se pueda terminar de escribir; no podemos ver una última cifra, porque eso es lo que no existe. Del mismo modo, cualquiera puede distinguir a Joe Biden del presidente de otro país, y de cualquier persona, aunque sólo le vea por la televisión. No hace falte verle el culo a Joe Biden para saber que es Joe Biden, de igual manera que no hace falte ver una última cifra de raíz de 2 para saber que es \( 2^{1/2} \).

Saludos.

Hola feriva, ayer no vi tu comentario.

Lo cierto es que de \( \sqrt[ ]{2} \) no tenemos propiamente ningún valor. Lo único que tenemos es una operación: la de medir la diagonal de un cuadrado de lado "unidad" (y a raíz de tal operación hemos desarrollado múltiples operaciones equivalentes entre sí).

Sabemos que esta operación, que inicialmente fue de medida simple y directa, no tiene solución y por ello valor. Es decir, no se puede medir. Ello no significa que no exista la diagonal de un cuadrado de lado unidad; que no tenga medida sólo significa que no se puede poner en relación con la unidad. Al ser la unidad el patrón de toda medida y por tanto, proporcionalidad.

Esto es lo que chocó a los pitagóricos al descubrir la irracionalidad de raíz de 2, porque entendían que todo cuanto existe, por el sólo hecho de existir, se puede medir, está estructurado mediante un patrón o proporción y sigue un orden, con lo cual se puede reducir o relacionar directamente con la unidad. 

Parece ser que sólo conocemos la unidad; sea lo que sea que tomemos por unidad. Porque es en base a ella que generamos formas, estructuras, calculamos y medimos. De modo que una distancia que no tiene una medida porque no se puede relacionar con la unidad, como raíz de 2, se vuelve incognoscible. Quizás nada. Aquí ha habido disparidad de opiniones durante siglos.

En realidad no niego que imaginemos la existencia de raíz de dos como número. Y en tal caso, reconozco que es lógico pensar que como número sea puntual, pues respete el principio de transitividad y por tanto cumpla que:

\( \sqrt[ ]{2}\pm{k}\neq \sqrt[ ]{2} \).

Pero decimos eso, no porque sea así, sino porque es lo lógico de pensar. Pensar otra cosa nos resulta profundamente absurdo. Inimaginable. Hecho que nos convence sin paliativos de que no puede ser. Y puesto que las matemáticas nacen, crecen y se alimentan de nuestras consideraciones, entonces, damos por hecho que eso es imposible.

Sin embargo, parece ser que a fin de cuentas no tenemos mucho sobre números como raíz de 2. Sólo tenemos operaciones; operaciones que nos dan valores racionales aparentes y que consideramos que son una aproximación al hipotético valor real de \( \sqrt[ ]{2} \). Por ejemplo \( \displaystyle\frac{99}{70} \), es uno de estos valores racionales aparentes que se considera una aproximación al hipotético valor real.

Parece ser que gran parte de las operaciones efectivas que les atribuímos a estos valores ideales como raíz de 2, pues saben a puros ideales, surgen de emplear sus valores racionales aparentes. Por ejemplo, retomemos la expresión de antes:

\( \sqrt[ ]{2}\pm{k}\neq \sqrt[ ]{2} \).

En realidad no sabemos si esto es realmente cierto, dado que del valor de raíz de dos no sabemos nada más que mediante valores racionales aparentes, y es precisamente teniéndolos a ellos en mente se confirma como esa ecuación debe cumplirse. Y ciertamente:

\( \displaystyle\frac{17}{12}\pm{x}\neq \displaystyle\frac{17}{12} \)
\( \displaystyle\frac{41}{29}\pm{x}\neq \displaystyle\frac{41}{29} \)
\( \displaystyle\frac{99}{70}\pm{x}\neq \displaystyle\frac{99}{70} \)
...

Pero todo esto es interpretación, como el mundo que crea Cantor. Y reconozco que es una interpretación sumamente potente, con lo cual no en vano ha conseguido triunfar después de siglos de consideraciones, discusiones y reflexiones. Simplemente la tanteo, con mis torpezas y limitaciones, que son muchas como salta a la vista.  Y en concreto, después de dar una cierta vuelta al hilo, tanteo la posibilidad de que estas operaciones sin solución medible y racional definitiva se interpreten de una forma no idealista -aunque confieso que yo tampoco tengo muy claro como enfocarlo en el fondo. Ahora bien, igual este tanteo no lleva a nada interesante... no sé. En el último siglo ha sido fructífero en muchos campos, porque no aquí?

Un saludo

[RDC]

Hola

 Como dije unos mensajes atrás cada vez estoy más cerca de dejar este debate. Hay dos motivos, uno ya te lo comenté y otro no.

- Ya te había dicho que cada vez me cuesta más encontrar un sentido coherente a lo que dices. Entonces me cuesta concretar las críticas.
- Lo nuevo: cuando las concreto, te dejo una serie de objeciones y preguntas a las que simplemente no respondes. En mi último mensaje incluso las dejé en negrita. Nada. Estás en tu derecho, por supuesto. No tienes obligación de responder a nada; pero simplemente en ese caso no tiene sentido el debate, no tienen sentido mis contrarréplicas si las ignoras en su mayoría.

Sí, tienes razón Luís: un error de bulto; pero y qué?

Qué digas "¿y qué?" ya es mala señal; es algo así como "yo voy a seguir con mis ideas aunque se basen en argumentos que son errores de bulto".

Lo que quieres decir, supongo, es que puedes reargumentar de otra manera.... pero como te razonaré a continuación vuelves a cometer errores de bulto o sacarte cosas de la manga que no tienen sentido.

\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}\longrightarrow{2b^2=a^2} \). Con $$a,b$$ coprimos entre sí.

Esta ecuación es lo mismo que decir:

\( 2b^2+ab=a^2+ab \), que nos lleva a:

$$\sqrt{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}\longrightarrow{\displaystyle\frac{a}{b}-\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=0=\displaystyle\frac{a^2-2b^2}{b(a+b)}}$$.

Sin embargo, para que eso fuera posible entonces:

\( a^2-b^2=b^2=(a-b)(a+b) \)

De acuerdo.

Ello conlleva, dicho rápido, que \( b=a+b \), o si \( b=xy \), entonces \( x=a+xy=x+x+x+...+x+a=x+z=x \) siendo $$z=x(y-1)+a $$.

Pues ahí tienes que razonar de donde te sacas eso; porque desde luego sin más explicación no es cierto.

Uno puede razonar así: dado cualquier divisor \( p \) primo de \( b \) como \( b^2=(a-b)(a+b) \) se tiene que \( p \) divide a \( a-b \) o a \( a+b \); pero entonces \( p \) divide a \( a \), lo cual contradice la coprimalidad de \( a,b \). Así que la única posibilidad es que \( b=1 \), pero en ese caso tendríamos:

\( 1=(a-1)(a+1) \)

de donde \( a-1=1 \) y \( a+1=1 \) ó \( a-1=(-1) \) y \( (a+1)=(-1) \) y ambas cosas son imposibles.

Es cierto entonces que suponer que \( \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}  \) con \( a,b \) enteros lleva a contradicción y como cualquier demostración por reducción al aburdo, eso simplemente demuestra que \( \sqrt{2} \) no es cociente de enteros.

Por cierto, a la misma conclusión se llega si uno simplemente plantea la ecuación:

\( 2b^2=a^2 \)

Es una ecuación que no tiene solución en los enteros (y ahí no interviene ningún número irracional).

O esta otra: \( a^2+1=0 \). Tampoco tiene solución en los enteros (ni en los reales de hecho) y ahí no interviene ningún número irracional.

Es decir no hace falta hablar de números irracionales para que haya ecuaciones que no tienen solución en los enteros. ¿De acuerdo?

En cualquier caso, estamos ante la expresión aritmética de la contradicción, con lo cual se demuestra entonces la irracionalidad de \( \sqrt[ ]{2} \).

Lo que prueba la irracionalidad de \( \sqrt{2} \) es que por reducción al absurdo hemos probado que no puede expresarse como cociente de racionales.

Hay muchas demostraciones por reducción al absurdo que no tienen nada que ver con los números irraciones; hago esta puntualización para que veas que no tiene sentido asociar "llegar a una contradicción" con "número irracional". ¿De acuerdo?

Ahora bien, lo que sí es posible, siempre que $$b^2+1\neq 2·n$$ (siendo $$n$$ un impar), es que:

\( a^2-b^2=b^2+1=(a-b)(a+b) \)

Eso es otra ecuación diferente. Es decir:

\( a^2-b^2=b^2+1 \)

es una ecuación diferente de:

\( a^2-b^2=b^2 \)

¿De acuerdo?.

Con lo cual:

\( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Ese "con lo lo cual" significa que:

\( a^2-b^2=b^2+1 \) equivale a \( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \): correcto..

y por otra parte esta otra ecuación diferente:

\( a^2-b^2=b^2 \) equivale \( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}=\sqrt{2} \): correcto.

Pero...

Y si al principio considerábamos que:

\( \displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}=\sqrt[ ]{2} \)

Ello nos muestra que, en todo caso:

\( \sqrt{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{1}{b(a+b)} \)

Esto no tiene sentido. No muestra nada de eso. Mezclas dos ecuaciones distintas. Para que lo veas claro lo que haces es algo así:

considero la ecuación \( x+y=3 \)
considero la ecuación \( x+y=4 \)

y digo: eso nos muestra en todo caso que,

\( 3=x+y=4 \) 

Las conclusiones que sacas de aquí ya ni las comento porque parten de un razonamiento profundamente erróneo, sin sentido de hecho.

Más adelante comentas un método para aproximar la expresión decimal de \( \sqrt{2} \). Bien no me meto ahí. No lo he mirado en detalle, pero ya lo habías explicado en otro hilo y es correcto.

Por en medio usas esa palabra "transitivo" con un significado que sólo manejas tú y mal (incluso con tu propia acepción del término). Porque si transitivo (para ti) significa esto:

Principio de transitividad:

\( x-y<x \), y \( x<x+y \), por tanto \( x-y<x+y \)

Es decir, dado dos racionales \( x,y \) es posible, siempre, discernir el número que hay antes de \( x \) con el que hay después de \( x \), tomando el número \( y \) como distancia.

El número \( \sqrt{2} \) y en general cualesquiera números reales cumplen esas mismas propiedades que (sospecho) sólo atribuyes a los racionales.

Saludos.

P.D. Por otra parte si en lugar del Teorema de Cantor, querías defender que no existen los números irracionales (y retroceder 25 siglos en la historia de las matemáticas), quizá sería mejor que lo hubieras explicado en otro hilo. El Teorema de Cantor, se puede discutir sin hablar nada de números irracionales.

Mezclar una cosa con otra solo crea confusión.

Hola Luís, antes de nada una disculpa por no contestarte la parte que comentas. Ayer se me hizo muy tarde y me centré en lo otro.

Por otro lado, ayer mismo pensaba lo mismo: el hilo se ha ido del tema.

Abriré otro en teoría de números para responder a tus comentarios, y los de feriva, y reenfocar esto, que tengo un par de dudas. Lo haré mañana que hoy vengo muerto.

Un saludo!

[feriva]

Sabemos que esta operación, que inicialmente fue de medida simple y directa, no tiene solución y por ello valor. Es decir, no se puede medir. Ello no significa que no exista la diagonal de un cuadrado de lado unidad; que no tenga medida sólo significa que no se puede poner en relación con la unidad. Al ser la unidad el patrón de toda medida y por tanto, proporcionalidad.

¿A qué unidad te refieres, al 1 tal cual?

Imaginemos un triángulo rectángulo de catetos \( \dfrac{2}{5} \) y \( \dfrac{3}{7} \).

Podemos medir ambos en un número de fracciones enteras; lo explico:

Tomemos como unidad común de medida el número racional \( u=\dfrac{a}{b} \) y los números naturales “n” y “m”. Éstos existen de tal forma que

\( \dfrac{2}{5}=n\cdot\dfrac{a}{b} \) y \( \dfrac{3}{7}=m\cdot\dfrac{a}{b} \).

Se demuestra fácilmente:

\( \dfrac{2}{5n}=\dfrac{3}{7m}=\dfrac{a}{b} \)

de donde

\( 14m=15n \)

con lo que basta hacer m=15 y n=14 para que se dé la igualdad.

Así tenemos \( u=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{35} \), si no me equivoco.

Si el valor de la hipotenusa es irracional, ésta no se podrá medir con un número entero de veces “u”.

Podemos buscar entonces una unidad racional común más pequeña, pero tampoco se podrá medir con ella la hipotenusa de medida irracional (usándola un número entero de veces, se entiende).

Siempre podremos elegir una “u” común para los catetos tan pequeña como queramos, sin embargo, tampoco servirá para medir de forma “entera” la hipotenusa irracional; tampoco, dicho en caso de que sea una “u” racional (pues sería contradictorio).

En la práctica esto no pasa, porque hay un umbral en torno a la medida, un límite de precisión donde no podemos notar diferencias, es teórico. Pero, además, en el mundo físico-teórico nos podríamos plantear si aisladamente existen las cosas que miden un valor irracional o sólo existen por comparación a la hora de considerar una unidad común respecto de la medida de otros objetos. No obstante, esto (que, por cierto, ya lo planteé hace muchos años en el foro) se sale de las matemáticas, es física o incluso filosofía.

...

Pero no veo la relación de eso con esto que pones

\( \sqrt{2}\pm{k}\neq\sqrt{2} \)

lo cual sólo será mentira si k=0.

Los números llamados infinitesimales, en su versión pasados de rosca, son lo mismo que el número cero (exactamente) y en su versión normal son distintos de cero y, por tanto, al ser sumados o restados a cualquier otro número real cambian el resultado.

Saludos.

[sugata]

Dices que:
\( \sqrt[ ]{2}\pm{}1\neq\sqrt[ ]{2} \)

En realidad no sabemos si esto es realmente cierto, dado que del valor de raíz de dos no sabemos nada más que mediante valores racionales aparentes, y es precisamente teniéndolos a ellos en mente se confirma como esa ecuación debe cumplirse

¿No sabemos si ésto es realmente cierto?
\( \sqrt[ ]{2}-1=\sqrt[ ]{2}\\ \sqrt[ ]{2}- \sqrt[ ]{2}=1\\0=1 \)
Sin saber los decimales ni nada.
Ya lo demostramos para todo \( x \) mensajes atras.

[RDC]

Le he estado dando vueltas a este tema. Pero de momento sólo quería apuntar un detalle, a ver qué os parece:

Tenemos que es posible poner en biyección los naturales con los irracionales algebraicos y dado que Cantor demostró que los irracionales (algebraicos+trascendentales) son mayores que los naturales, de ello se infiere que los transcedentales son mayores que los naturales y los algebraicos.

La demostración de que los algebraicos son numerables no se hace tomando los valores de los propios núemros, sino tomando el números de polinomios mónicos y demostrando que éstos son numerables. Y me parece muy significativo observar, una vez más, como los irracionales algebraicos se deben tomar como operaciones y no como números con un valor concreto para poder tratarlos un poco.

En todo caso, y por curiosidad, estos días pensaba en hallar una función que pudiera transformar un irracional algebraico cualquiera en un racional exclusivo y único -si naturales y algebraicos son biyectivos eso debería ser posible.

La propuesta es la siguiente:

tomamos la lista de todos los números primos: 2,3,5,7,11,13,17,... y sacamos el 2 y el 3 de la lista, que los usaremos para representar una suma y una resta respectivamente. Con lo cual nos queda la lista: 5,7,11,13,17,19,23,29,31...

Numeramos esta lista, de modo que el 5 es el 1º valor, el 7 es el 2º valor, el 11 es el 3º valor, etc...

1) Para representar números naturales usaremos los valores de la lista que son múltiplos de 3 (el 11,19,31, etc), en el sentido que el primer natural que aparece será un múltiplo de 11, el segundo será un múltiplo de 19, etc..

1.2) Una vez empleado el primo correspondiente, éste es elevado al número primo que representa según su posición. Así, por ejemplo, el número 6 es representado por el primo de valor 6º de la fila, es decir, el 19.

2) Para representar raíces usaremos el producto de dos primos consecutivos cuyo valor en la lista no sea múltiple de 3  (5,7/13,17/23,29/etc), en el sentido que la primera raíz será representada por la primera pareja de primos (5,7), la segunda raíz que aparezca será representada por la segunda pareja (13,17), etc

2.1) Para representar una raíz la pareja de primos se usa de la siguiente forma: el primer primo de la pareja se eleva al nº primo de la lista que corresponde al exponente de la raíz y el segundo primo se eleva al primo que representa el número de la raíz. Con ello obtenemos un natural característico. Por ejemplo: \( \sqrt[ 3]{6}\rightarrow{5^11·7^19} \)

2.2) Cuando tengamos una raíz dentro de una raíz primero representamos como hemos dicho la raíz interior, y su representación será el número que emplearemos para representar el número de la raíz exterior.

3) En esta representación sólo existen multiplicaciones y divisiones.

3.1)Los números de las divisiones, sean racionales o raíces, siguen representándose mediante primos siguiendo la numeración que llevaban arriba.

4) Para representar una suma multiplicamos por 2.

5)Para representar una restra multiplicamos por 3 elevado al número primo que representa al número que resta al otro.

Ejemplos:

\( \sqrt[ 5]{14}\longrightarrow{5^{13}·7^{53}} \)

\( \sqrt[ 5]{14}-3\longrightarrow{5^{13}·7^{53}·3^7·11^{11}} \)

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ 5]{14}}{9}-3=\displaystyle\frac{\sqrt[5 ]{14}-27}{9}\longrightarrow{\displaystyle\frac{5^{13}·7^{53}·3^7·11^{109}}{19^{31}}} \)

\( \sqrt[5 ]{3+\sqrt[ 2]{10}}\longrightarrow{13^{17}·17^{11^{11}·2·5^7·7^{37}}} \)