Autor Tema: Hilo intrascendente

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15 Febrero, 2021, 11:49 am
Respuesta #130

Carlos Ivorra

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He estado pensando (así el cerebro que aún me queda no desaparece), y creo haber descubierto el porqué respondiste con insultos a mi inocente comentario de que Luis había dado una respuesta bastante fácil de entender y que no comprendía porqué se alargaba el asunto.

Pues el resultado ha sido el habitual: no has entendido nada. Nihil novum sub solem.

Efectivamente no me paré a pensar que tú habías ya respondido poniendo un ejemplo físico que a mi entender obscurecía el problema planteado pero que hacía alarde de tu sabiduría no sólo matemática sino también física. Siento no haberme dado cuenta de que lo pretendías era que se viese el gran conocimiento de un tema aunque fuera a costa de obscurecer el problema inicialmente planteado.

Que no te paraste a pensar se suponía. Otra cosa es que en algún momento hayas pensado lo que tendrías que pensar si tuvieras vocación de profesor, que ya se ve que no (que no lo has pensado y que no tienes tal vocación).

Dices que "a tu entender" oscurecía el problema. Bien. Pero la pregunta es: ¿Y a quién le importa lo que tu entiendas (aparte de a ti)? ¿No entiendes que el juicio que importa no es el tuyo, sino el de quien ha formulado la duda?

Y resulta que UnEstudianteDeFísica había dicho:

Pero vamos,  estoy empezando a darme cuenta de que tener una buena intuición en física no necesariamente ayuda en matemáticas.

Así que, ante esta observación (que a tu entender no habría que tener en cuenta), pensé que tal vez le ayudaría mostrarle que el problema que plantea admite una interpretación física que le puede ser útil o no, pero que tal vez le podría interesar. Así que la formulé: si le interesaba bien, y si no, también. Pero, aunque te resulte difícil de concebir, no estuvo motivada por ningún intento de presumir de conocimientos (esa necesidad la acaparas tú en este foro) sino porque había indicios de que podría ayudar a UnEstudianteDeFísica.

¿Qué tendría que haber hecho? ¿Decir: Se me ocurre una interpretación física del problema que tal vez te pueda ayudar, pero como ancape dice que oscurece el problema, aunque a ti te pueda ser ilustrativa, no te la digo? ¿Qué criterio importa, el de ancape o el de UnEstudianteDeFísica?

Y que a priori dudaras de que ese enfoque físico pudiera oscurecer el problema o ser inadecuado, tendría un pase, dada tu estrechez de entendimiento, pero que lo digas a posteriori, después de que UnEstudianteDeFísica la valorara positivamente:

Muchas gracias, no te puedes imaginar como me ayudo este ejemplo.

Y lo de Einstein xDDD

Y, más aún, después de ver que es por esa línea —y no por la que planteó Luis— por la que UnEstudianteDeFísica ha seguido avanzando en el problema, es decir, después de ver que ese enfoque es el que ha cuajado realmente, que a pesar de estas evidencias sigas diciendo que "no entiendes cómo se ha alargado tanto el hilo", es una muestra más de que para ti sólo hay dos personas en el mundo: tu ego y tú. ¿Es que UnEstudianteDeFísica no cuenta para nada? ¿Sólo hay que decir o dejar de decir lo que a ti te parezca relevante?

Spoiler
Un inciso que sé que no necesitará ningún lector que no seas tú, pero como la cabra tira al monte, lo aclaro: Acabo de destacar que ha sido precisamente mi enfoque físico y no el puramente matemático de Luis el que finalmente ha cuajado y el que ha llevado a UnEstudianteDeFísica a engancharse e ir razonando sobre el problema hasta entenderlo. No debería hacer falta aclarar que es totalmente perverso enfocar un hilo como éste o cualquier otro como una competición a ver quién lo hace mejor, quién da la mejor idea, quién qué se yo. Luis ha dado la solución más simple y razonable desde un punto de vista matemático pero, casualmente, el enfoque físico se ha adaptado mejor a UnEstudianteDeFísica que el matemático. Eso es meramente anecdótico y me repugna la idea de que alguien —aunque seas tú, cuyo criterio no es relevante— pueda interpretar mis palabras como que estoy presumiendo de que "yo lo he hecho mejor que Luis". He recalcado que mi enfoque ha cuajado sólo para mostrarte lo egocéntrico que es tu criterio de no tener en cuenta para nada el efecto que un mensaje tiene sobre quien formula la duda a la hora de valorarlo, pero no para insinuar que haya ninguna clase de competición en los hilos (que sí que la hay, pero sólo en tu mente entre tú y el resto del mundo).

Tú tiendes a hacer comparaciones del estilo de "tú practicas judo y yo peleas callejeras", pero no te das cuenta de que el mero hecho de compararte con un judoka ya pone en evidencia tu inmadurez y tus complejos. Aquí nadie viene a pelear (menos tú), ni elegantemente ni no elegantemente. Aquí venimos a colaborar, y cualquier aportación provechosa es bienvenida venga de quien venga. No importa si es de uno o de otro. Nadie gana frente a otro que pierde. Si un hilo acaba resolviendo una duda, ganamos todos, y si no, perdemos todos. Ganarías mucho en calidad humana si dejaras de ver los hilos como combates y los vieras, por ejemplo, como coreografías de baile, donde todos tienen que cooperar para que el resultado sea satisfactorio, sin competir unos con otros.

Pero claro, en tu caso, si hay que compararte con un bailarín, desde que has entrado en el foro no has hecho sino ensayar con mucho éxito el vals de los patinadores. Qué le vamos a hacer.
[cerrar]

¿Qué tendríamos que haberle dicho al ver que, después de las primeras indicaciones, seguía creyendo que la aplicación no es suprayectiva? Supongo que, según tú, habría que haberle dicho: Mira, nene, Luis ya te lo ha dejado bien clarito, si no lo entiendes, dedícate al fútbol, porque nunca llegarás a ser un buen matemático, ni tampoco un buen físico.

Pues no. El hecho de que ancape considere que con la primera respuesta de Luis el problema ya estaba claramente resuelto no tiene relevancia alguna si el que ha formulado la pregunta no ha llegado a entender la respuesta. Y lo que procede es seguir dialogando con él lo que haga falta, a ser posible no dándole la solución sin más, sino procurando que la vaya encontrando por sí mismo con la ayuda necesaria, porque así se aprende. Y claro, eso se puede alargar, pero no alargar innecesariamente, como tú piensas (y piensas mal, por no facer mudanza en tu costumbre).

Resulta que esos diálogos innecesarios son la esencia de un foro como este: las intervenciones se adaptan a las necesidades del que pregunta, y eso lleva a diálogos. Y aquí es donde tendrías que preguntarte: ¿en cuántos diálogos similares has participado tú? O, más sencillamente: ¿cuándo alguien ha respondido o agradecido alguna intervención tuya? De los 189 mensajes que llevas hasta el momento en que escribo estos, ¿cuántos han servido para algo? Por regla general, tus intervenciones pasan desapercibidas. Nadie les hace caso. Salvo casos muy excepcionales, sólo recibes respuestas en las situaciones siguientes:

1) Cuando lo que dices es incorrecto, con lo que otros tienen que corregirte para que no líes a terceras personas.
2) Cuando le dices directamente a otro que lo que ha dicho está mal, en cuyo caso te responde que está bien, y a lo sumo te lo aclara un poco para que lo entiendas mejor y entonces contestas: "ah, bueno, así ya está bien", pero en realidad estaba igual de bien al principio, antes de tu intervención pedante.
3) Cuando ofendes a otros cuestionando su capacidad como matemáticos, o juzgando lo que saben o no saben, etc., en cuyo caso, o bien replica el aludido, o intervengo yo pare reírme un rato con vosotros (con tu ego y contigo).

Pero, salvo en los casos anteriores, no digo yo que no se haya dado alguna vez el caso, pero por regla general tus intervenciones en el foro son como las de Bruce Willis en El sexto sentido: metes baza en conversaciones ajenas, pero para los demás interlocutores eres invisible.

Por poner un ejemplo de lo que digo, mira este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115771

¿Han ayudado a algo a anna tus intervenciones? No. Tú rectificas erróneamente a Luis (parece mentira que aún no hayas aprendido que si Luis dice algo y tu crees que se equivoca es prácticamente seguro que el que se equivoca eres tú), Luis te explica por qué lo que dices son tonterías y al final anna se entiende con Luis, que es el único en ese hilo (bueno, junto con una intervención de Fernando) interesado en ayudar a anna. Tú, salvo por la alusión directa a Luis que conlleva la respuesta pertinente, eres como el fantasma de El sexto sentido. Si no estuvieras, nadie lo notaría (no tenemos niños videntes en este foro). Y ese ejemplo es típico: nunca ayudas a nadie. Tú sólo le hablas a tu ego. Te guías por lo que tu ego considera oportuno y conveniente, sin tener en cuenta para nada los intereses o necesidades de los que preguntan.

Cuando intervienes sin aludir erróneamente a nadie y sin meter la pata (a veces lo consigues), nadie hace caso de tus intervenciones, porque no aportan nada, porque son obviedades o pedanterías. No digo yo que no puedas encontrar una o dos excepciones si buscas bien, pero para encontrarlas tendría que buscar mucho y no estoy dispuesto a hacer nada sobre ti que no sea gracioso.

Me extrañó que no hicieses referencia a la trayectoria de la partícula para ir desde t=a hasta t=b por lo que supongo que se mueve en un espacio de hiperreales con lo cual se puede hablar de velocidades infinitas y no tendrías que disculparte con Einstein.

He aquí una muestra más de tu inmadurez. Crees que te burlas de mí al burlarte de los números hiperreales como si los hubiera inventado yo. La ignorancia es atrevida. Por otro lado, no haces sino evidenciar cada vez más tu ignorancia: si supieras un poco más, sabrías que es irrelevante que supongas que hablamos de la recta real o hiperreal, porque, teniendo en cuenta ciertas condiciones lógicas que no entenderías, cualquier problema formulable en términos de números reales, tiene exactamente la misma solución si lo planteas en términos de hiperreales. El uso de hiperreales puede simplificar el argumento, pero no llevar a conclusiones distintas. En este caso, si consideras números hiperreales las velocidades pueden ser infinitas, pero también tienes puntos infinitamente lejanos a los que llegar, luego al final la conclusión es la misma, que la velocidad que necesitas es \( v= e/(b-a) \), con independiencia de si \( e \) y \( b-a \) son finitos, infinitos o infinitesimales. No cambia nada. Ni siquiera cambia la necesidad de dejar a Einstein de lado.

Por otro lado, el ejemplo de los números hiperreales era sólo un contraejemplo a tu afirmación falsa de que los objetos que se consideran números y que pertenecen a un cuerpo tienen que ser finitos. ¿Por qué tendría que hablar de ellos a un estudiante de física que pregunta algo sobre integrales? Eran pertinentes para tu pregunta, no para la pregunta de UnEstudianteDeFísica, pero claro, eso de adaptarte a las necesidades e intereses del que pregunta no va contigo. Requeriría que te interesaras por alguien distinto de las Dos Personas (que a la vez son Una) de la Santísima Binaridad.

15 Febrero, 2021, 12:26 pm
Respuesta #131

ancape

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Carlos

Sigo pensando que tienes manía persecutoria y aires de grandeza que sólo se pueden tratar atacando e insultando a alguien que en este caso he sido yo. Te vuelvo a aconsejar que consultes con un psicólogo pues como lo dejes mucho, al final tendrás que ir al psiquiatra.

 Ya he visto en tu anterior respuesta que sigues dominando el latín y escribes de vez en cuando frases en este idioma no sé si para que no me entere yo o para que no se entere nadie. Me recuerda los médicos de la edad media que disimulaban su ignorancia de la medicina con latinajos. La frase 'Nihil novum sub solem' la he consultado con el cura de mi pueblo, Don Cosme, y me ha dicho qué significa 'Nada nuevo bajo el sol'. Podrías haberlo escrito así y te entenderíamos todos.

No había visto que en la respuesta física que diste, lo que realmente querías es competir con Luis y demostrar que tú incluso sabes más. Perdona por no haberlo entendido a la primera sino después de leer tu frase 'El hecho de que ancape considere que con la primera respuesta de Luis el problema ya estaba claramente resuelto no tiene relevancia alguna si el que ha formulado la pregunta no ha llegado a entender la respuesta', que yo sepa, nunca manifestó UnEstudianteDeFisica no entender la respuesta de Luis. Incluso luego detallas lo agradecido a ti que estaba UnEstudianteDeFisica y no a Luis por su respuesta. Es penoso ver cómo la gente se arrastra por conseguir un 'Like'

Bueno, cómo ya está bendecida por ti la división por cero, puedo escribir:

\( \displaystyle\frac{1}{0} \)s saludos

15 Febrero, 2021, 12:53 pm
Respuesta #132

Carlos Ivorra

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Sigo pensando que tienes manía persecutoria y aires de grandeza que sólo se pueden tratar atacando e insultando a alguien que en este caso he sido yo. Te vuelvo a aconsejar que consultes con un psicólogo pues como lo dejes mucho, al final tendrás que ir al psiquiatra.

Lo que me sorprendería es que alguna vez entendieras algo.

Ya he visto en tu anterior respuesta que sigues dominando el latín y escribes de vez en cuando frases en este idioma no sé si para que no me entere yo o para que no se entere nadie.

Pues debería estar claro: es para que no te enteres tú.

Me recuerda los médicos de la edad media que disimulaban su ignorancia de la medicina con latinajos. La frase 'Nihil novum sub solem' la he consultado con el cura de mi pueblo, Don Cosme, y me ha dicho qué significa 'Nada nuevo bajo el sol'. Podrías haberlo escrito así y te entenderíamos todos.

Pues la idea es que te recuerde a ti mismo cuando disfrutas presumiendo de lo que sabes ante quienes crees que saben menos que tú (aunque normalmente te equivocas y resulta que es al revés).

No había visto que en la respuesta física que diste, lo que realmente querías es competir con Luis y demostrar que tú incluso sabes más. Perdona por no haberlo entendido a la primera sino después de leer tu frase 'El hecho de que ancape considere que con la primera respuesta de Luis el problema ya estaba claramente resuelto no tiene relevancia alguna si el que ha formulado la pregunta no ha llegado a entender la respuesta',

Bien. Veo que tu capacidad de entendimiento es la de siempre. Es evidente que tu cerebro sólo concibe ese planteamiento competitivo y que cualquier otro le resulta inimaginable. Nihil novum sub solem. (Como ahora ya lo entiendes...)

que yo sepa, nunca manifestó UnEstudianteDeFisica no entender la respuesta de Luis.

Claro, no lo sabes porque es raro que tú sepas algo que deberías saber y porque no te has dignado a leer las respuestas de UnEstudianteDeFísica, ya que lo que él pueda decir te ha dado siempre igual. Si te hubieras interesado por él, habrías leído esto:

...pero claro, aun asi la respuesta es que no se puede.

Que, interpretado en su contexto, se entiende como que UnEstudianteDeFísica cree que la aplicación no es suprayectiva. Pero claro, ¿cómo ibas a saber tú si había entendido o no la respuesta? Para eso tendrías que interesarte por él, por lo que dice. ¿Y desde cuándo ancape se va a rebajar a ver si alguien que pregunta algo entiende la respuesta? Si la respuesta es satisfactoria para ancape, entonces asunto zanjado.

Incluso luego detallas lo agradecido a ti que estaba UnEstudianteDeFisica y no a Luis por su respuesta. Es penoso ver cómo la gente se arrastra por conseguir un 'Like'

Claro. Ponerle a un estudiante de física una interpretación física de un problema matemático siguiendo indicación de que no ve cómo conectarlo con su intuición física es "arrastrarse por un like". ¿Se puede tener una visión más pervertida de las cosas? Pero si no has entendido el argumento, no merece la pena que te lo vuelva a explicar. Más penoso me parece que finjas responder dudas ajenas sin que te importe lo más mínimo resolvérselas a quien las pregunta, sino meramente presumir de lo que careces.

Bueno, cómo ya está bendecida por ti la división por cero, puedo escribir:

\( \displaystyle\frac{1}{0} \)s saludos

La ignorancia es atrevida.

17 Febrero, 2021, 12:04 am
Respuesta #133

ancape

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No existen polinomios no nulos que sean divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él. Si p(x) fuese un tal polinomio con grado n, tendría n raíces (iguales o distintas, reales o complejas), si estas son \( x_1.....x_n \) y \( a\neq i \) \( i=1.....n \) entonces x-a es polinomio de grado 1 no divisor de p.

Con lo que te gusta ceñirte a los enunciados sin suponer nada, estás suponiendo muchas cosas. El problema es para un anillo R arbitrario, no necesarialmente el de los números reales. También estás pasando por alto casos triviales, pero no despreciables.

Por ejemplo, la respuesta a 3) es que un polinomio, por ejemplo de grado 2, sobre el anillo adecuado, puede ser divisible entre \( 2^{\aleph_0} \) polinomios mónicos distintos.

Sigo sin saber cual es el anillo adecuado (ya sabes que mi ignorancia es bastante profunda pero si me lo dices tal vez lo entienda). Vuelvo a insistir en que 'No existen polinomios no nulos que sean divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él porque si fuese así, tal polinomio sería divisible por los infinitos monomios x-n donde n es un elemento del anillo (que supongo convendrás que tiene infinitos elementos) y tendría grado infinito. (Ya sé que para ti infinito es un número como otro cualquiera). Un conjunto con un número finito de elementos tiene muchos inconvenientes.

La respuesta a la pregunta '¿existen polinomios no nulos que sean divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él? no puede responderse con que R sea anillo arbitrario, si no diríamos que como los números reales tienen estructura de anillo y no lo cumplen, es falso que la afirmación sea cierta para todo anillo. Sólo podríamos decir que existen anillos para los cuales.....

18 Febrero, 2021, 09:52 am
Respuesta #134

Luis Fuentes

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Hola

Sigo sin saber cual es el anillo adecuado (ya sabes que mi ignorancia es bastante profunda pero si me lo dices tal vez lo entienda). Vuelvo a insistir en que 'No existen polinomios no nulos que sean divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él porque si fuese así, tal polinomio sería divisible por los infinitos monomios x-n donde n es un elemento del anillo (que supongo convendrás que tiene infinitos elementos) y tendría grado infinito. (Ya sé que para ti infinito es un número como otro cualquiera). Un conjunto con un número finito de elementos tiene muchos inconvenientes.

En el hilo original ya te había puesto un ejemplo:

Si tienes un anillo unitario \( R \), para cualquier elemento \( a \) que verifique \( a^2=1 \) se tiene que \( x^2-1 \) es divisible por \( x-a \).

Ahora sólo tienes que tomar anillos donde existan infinitos elementos verificando  \( a^2=1 \). Por ejemplo toma cualquier conjunto infinito \( A \) (y puedes jugar incluso con la magnitud de infinito) y considera el anillo de funciones de \( A \) en \( \Bbb Z \).

 Por concretar considera el anillo \( A \)  de funciones de \( \Bbb N \) en \( \Bbb Z \) con las operaciones usuales suma y producto:

\( (f+g)(n)=f(n)+g(n) \)
\( (f\cdot g)(n)=f(n)g(n) \)

 El neutro es la función constante igual a \( 1 \). Le llamo en un abuso de notación la función \( 1 \).

 Consideramos polinomios con coeficientes en \( A \). Entonces para cualquier función \( f \), verificando \( f^2=1 \) se tiene que:

\(  (x-f)(x+f)=x^2-f^2=x^2-1 \)

 Por tanto el polinomio \( x^2-1 \) es divisible por \( x-f \) para cualquier función \( f:\Bbb N\to \Bbb Z \) cumpliendo \( f^2=1 \).

 Finalmente, para cualquier subconjunto \( X\subset N \) definimos la función:

\( f_X:\Bbb N\to \Bbb Z \) como \( f_X(n)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x\in X\\-1 & \text{si}& x\not\in X\end{cases} \)

 La función \( f_X \) claramente cumple \( f_X^2=1 \). Por tanto el polinomio \( x^2-1 \) es divisible por todos los polinomios de la forma \( x-f_X \), con \( X\subset N \). Es decir es divisible por tantos polinomios como el cardinal de \( \Bbb P(\Bbb N) \), es decir, por \( 2^{\aleph_0} \) polinomios mónicos distintos.

Saludos.

18 Febrero, 2021, 10:44 am
Respuesta #135

geómetracat

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Otra clase de ejemplos la dan los anillos booleanos. Estos son anillos \[ R \] tales que \[ a^2=a \] para cualquier elemento del anillo. Por tanto el polinomio \[ x^2-x \] es divisible por todos los monomios de grado \[ 1 \].

Hay una correspondencia biunívoca entre anillos booleanos y álgebras de Boole, como se explica en el enlace. Por tanto, si tomas el anillo booleano asociado a una álgebra de Boole infinita (por ejemplo, el álgebra de partes de un conjunto infinito) tienes un ejemplo de un polinomio de grado \[ 2 \] divisible por infinitos polinomios de grado \[ 1 \].

Por otro lado, el tema de 'No existen polinomios no nulos que sean divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él' ya se discutió largo y tendido en el otro hilo. En particular, el ejemplo que dio creo que martiniano, \[ x^2-x \] con coeficientes en \[ \Bbb Z/(2) \] es un ejemplo muy simple con coeficientes en un cuerpo (y el único que existe con coeficientes en un dominio de integridad, como ya se dijo). No sé qué pegas le puede encontrar alguien a este ejemplo. Tampoco sé a qué te refieres con "un conjunto con un número finito de elementos tiene muchos inconvenientes".
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Febrero, 2021, 12:10 pm
Respuesta #136

ancape

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Gracias Luis y geometracat.

Por los ejemplos que ponéis entiendo que existe un anillo con infinitos elementos en el cual hay polinomios divisibles por todos los monomios del tipo \( x-n \)
con n elemento del anillo. Lo que me cuesta ver es la representación de tales polinomios.
Me surgen, entre otras, las siguientes preguntas:

Sea \( p(x) \) un polinomio de los que son divisibles por todos los monomios \( x-n \).
¿Podemos decir que \( p(x) \) tiene grado infinito?
Si es así cómo puedo representar p(x),\(  p(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+.... \) ¿Qué sentido tienen los puntos suspensivos?

Otra vez gracias a los dos.

Un saludo

18 Febrero, 2021, 12:22 pm
Respuesta #137

ancape

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.......
 Tampoco sé a qué te refieres con "un conjunto con un número finito de elementos tiene muchos inconvenientes".

Por supuesto que existen conjuntos con un número finito de elementos con propiedades interesantes, por ejemplo los anillos de congruencias, a lo que me refería con esa frase es que en un conjunto con un número finito de elementos, comprobar si una propiedad la satisfacen todos sus elementos se reduce a examinar esto uno a uno.
Por ejemplo, si N tuviese un número finito de elementos, ¿qué belleza tendría la demostración de teoremas como el último teorema de Fermat?. No es que desprecie los conjuntos con un número finito de elementos hay muchos que incluso han tenido, como las Algebras de Boole, enormes aplicaciones prácticas.

Saludos

18 Febrero, 2021, 12:35 pm
Respuesta #138

Luis Fuentes

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Hola

Por los ejemplos que ponéis entiendo que existe un anillo con infinitos elementos en el cual hay polinomios divisibles por todos los monomios del tipo \( x-n \)
con n elemento del anillo. Lo que me cuesta ver es la representación de tales polinomios.

En el ejemplo de geómetracat el polinomio \( x^2-x \) es divisible por TODOS los monomios de tipo \( x-n \). En el que puse yo, el polinomio \( x^2-1 \) es divisible por infinitos polinomios de la forma \( x-n \), pero no por todos.

Citar
Me surgen, entre otras, las siguientes preguntas:

Sea \( p(x) \) un polinomio de los que son divisibles por todos los monomios \( x-n \).
¿Podemos decir que \( p(x) \) tiene grado infinito?

Ya ves que no; en el ejemplo de geómetracat \( x^2-x \) es de grado dos y divisible por todos los monomios (que son infinitos).

Saludos.

18 Febrero, 2021, 01:12 pm
Respuesta #139

geómetracat

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Añadir a lo que ha dicho Luis que creo que el resultado te choca por lo siguiente.

Si \[ R \] es un dominio de integridad, cualquier polinomio \[ p(x) \in R[x] \] no nulo con \[ n \] raíces distintas tiene grado mayor o igual que \[ n \]. Como la mayoría estamos acostumbrados a trabajar con polinomios sobre dominios de integridad, tendemos a usar esta propiedad de manera automática.

Esto se prueba por inducción en \[ n \]. El caso \[ n=1 \] está claro. Si \[ p(x) \] tiene \[ n+1 \] raíces, entonces toma una raíz \[ a \] y divide \[ p(x) \] por \[ x-a \] para obtener \[ p(x)=(x-a)q(x) \]. Si \[ b \neq a \] es otra raíz entonces \[ 0=p(b)=(b-a)q(b) \]. Ahora viene el paso clave: como \[ b-a \neq 0 \] y \[ R \] no tiene divisores de cero debe ser \[ q(b)=0 \]. Luego \[ q(x) \] tiene \[ n \] raíces distintas, y por hipótesis de inducción es de grado al menos \[ n \]. Luego \[ p(x)=(x-a)q(x) \] es de grado al menos \[ n+1 \].

Pero si \[ R \] tiene divisores del cero esto ya no tiene por qué cumplirse. Por eso puedes tener polinomios de grado finito (grado \[ 2 \] en los ejemplos que hemos puesto) con infinitas raíces. El motivo es que, digamos en el ejemplo de Luis con el polinomio \[ x^2-1 \], si \[ f \] es una raíz del polinomio, tenemos que \[ x^2-1=(x-f)(x+f) \]. Pero si \[ g \] es otra de las raíces con \[ g \neq f, -f \], tienes que \[ (g-f)(g+f)=0 \] a pesar de que ninguno de los dos factores \[ g-f, g+f \] es cero. Por eso en este caso la demostración del teorema falla.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)