Hola
Si, tengo que hallar máximos y mínimos dentro del disco. De la función ya se que hay un solo minimo en (00)(en la primer pregunta quería saber si esto era cierto, pero después me convencí que si). Mi problema es ahora en la restricción.
Aun pienso en la a sugerencia que me dio Fernando, no se cómo usarla (lo sigo pensando); Lo que pude ver es que tengo una curva de nivel de f igual a 9-sen(9) en los puntos de la circunferencia, pero no se que pasa con los puntos interiores al circulo.
En general los máximos y mínimos de una función de clase uno en un compacto (cuya existencia tenemos garantizada) estarán:
- O bien en puntos donde se anulan simultáneamente ambas derivadas.
- O bien en la frontera.
En tu caso por lo que has hecho hasta ahora sabes que en el \( (0,0) \) hay un punto crítico. Para analizar que ocurre en la frontera puedes
en general usar los multiplicadores de Lagrange, calculando los puntos críticos en ella candidatos a máximos y mínimos. Si consideras:
\( F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda(g(x,y)) \)
los puntos críticos son aquellos donde se anulan simultáneamente las tres parciales de \( F \), siendo \( g(x,y)=0 \) la ecuación de la frontera.
Lo que ocurre que en este caso la función en la frontera...¡es trivialmente constante!. La frontera el disco de radio \( 3 \) es la circunferencia de radio \( 3 \) y sobre cualquiera de sus puntos:
\( f(x,y)=x^2+y^2-sin(x^2+y^2)=9-sin(9) \)
Entonces los puntos candidatos a máximos y mínimos son el \( (0,0) \) y cualquiera de la circunferencia de radio \( 3 \). Dado que en el primero la función vale cero y en los segundos \( 9-sin(9)>0 \), el mínimo se alcanza en \( (0,0) \) y vale \( 0 \) y el máximo en cualquier punto de la citada circunferencia y vale \( 9-sin(9) \).
Saludos.
P.D. Pudiera ser que la frontera estuviera definida a otros; entonces habría que analizar cada trozo por separado y como puntos singulares extras los puntos de intersección de cada trozo (los vértices de la frontera).
P.D.D. Si usas el método de Fernando simplemente reduce el problema al cálculo de máximos y mínimos de una función de una variable en el intervalo \( [0,3] \). ¿Lo has intentado?.
CORREGIDO: Ojo, porque como bien ha apuntado Fernando en un mensaje posterior, también hay puntos críticos en la circunferencia \( x^2+y^2=2\pi \). Aunque no cambia la conclusión.
