[ancape]

Añadir a lo que ha dicho Luis que creo que el resultado te choca por lo siguiente.

Si \[ R \] es un dominio de integridad, cualquier polinomio \[ p(x) \in R[x] \] no nulo con \[ n \] raíces distintas tiene grado mayor o igual que \[ n \]. Como la mayoría estamos acostumbrados a trabajar con polinomios sobre dominios de integridad, tendemos a usar esta propiedad de manera automática.
........

Efectivamente, uno de mis problemas era que al estar acostumbrado a trabajar en los números reales (o en el campo complejo), asociaba inconscientemente grado y número de raíces distintas y llegaba a la expresión \( x^\infty \) que me producía bastante repugnancia.

Mi razonamiento era:
Si \( p(x) \) tiene las raíces \( a,b,c \) entonces \( p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x) = (x^2-ax-bx+ab)(x-c)q(x) \). Luego multiplicaba por \( (x-c) \), obtenía términos  \( x^3.... \) y si \( p(x) \) tenía infinitas raíces llegaba al temido \( x^\infty \).

Lo que pasé por alto es que haciendo sucesivas potencias de \( x \) podemos volver a \( x \). Concretamente, en los anillos booleanos \( x^2=x \) y la expresión sería  \( p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x) = ((1-a-b)x+ab)(x-c)q(x) \) y operando sucesivamente, no salimos de la potencia uno.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que pasé por alto es que haciendo sucesivas potencias de \( x \) podemos volver a \( x \). Concretamente, en los anillos booleanos \( x^2=x \) y la expresión sería  \( p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x) = ((1-a-b)x+ab)(x-c)q(x) \) y operando sucesivamente, no salimos de la potencia uno.

Pero no es eso. En el anillo \( A \) que indica geómetracat todos sus elementos \( x\in A \) cumplen \( x^2=x \). Pero ahí esa \( x \) no es la variable sobre la cuál se construye el anillo de polinomios; sino un elemento cualquiera del anillo.

Para evitar confusiones se podría decir todos sus elementos \( a\in A \) cumplen \( a^2=a \).

Cosa distinta es la indeterminada \( x \) sobre la cual se construye el anillo de polinomios. Entonces el polinomio \( x^2 \) es distinto de polinomio \( x \) y no es cierto que el polinomio \( (x-a)(x-b) \) sea igual al polinomio \( 1-ax-ab+ab \).

Lo que te explicaba geómetracat es que cuando el anillo NO es un dominio, NO es cierto en general que si \( a,b,c \) son raíces de un polinomio \( p(x) \) éste pueda escribirse como \( p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x). \)

Saludos.

[ancape]

Hola

Lo que pasé por alto es que haciendo sucesivas potencias de \( x \) podemos volver a \( x \). Concretamente, en los anillos booleanos \( x^2=x \) y la expresión sería  \( p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x) = ((1-a-b)x+ab)(x-c)q(x) \) y operando sucesivamente, no salimos de la potencia uno.

Pero no es eso. En el anillo \( A \) que indica geómetracat todos sus elementos \( x\in A \) cumplen \( x^2=x \). Pero ahí esa \( x \) no es la variable sobre la cuál se construye el anillo de polinomios; sino un elemento cualquiera del anillo.

Para evitar confusiones se podría decir todos sus elementos \( a\in A \) cumplen \( a^2=a \).

Cosa distinta es la indeterminada \( x \) sobre la cual se construye el anillo de polinomios. Entonces el polinomio \( x^2 \) es distinto de polinomio \( x \) y no es cierto que el polinomio \( (x-a)(x-b) \) sea igual al polinomio \( 1-ax-ab+ab \).

Lo que te explicaba geómetracat es que cuando el anillo NO es un dominio, NO es cierto en general que si \( a,b,c \) son raíces de un polinomio \( p(x) \) éste pueda escribirse como \( p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)q(x). \)

Saludos.

Perdona que insista, Luis, pero ahora tengo más dudas que cuando empecé y me gustaría resolverlas.

Dices que el polinomio \( p(x)=x^2 \) y \( q(x)=x \) no tienen porqué coincidir aunque sea \( a^2=a \) , \(  \forall{a\in{A}} \).

¿Es cierto que si un polinomio \( r(x) \) es tal que \( r(a)=0  \) , \(  \forall{a\in{A}} \) entonces r(x) es el polinomio nulo?.
Si no es cierto hemos acabado, pero si lo es, entonces el polinomio \( r(x)=p(x)-q(x) \) es el polinomio nulo y así los polinomios \( p(x)  \) y \( q(x) \) son iguales.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

¿Es cierto que si un polinomio \( r(x) \) es tal que \( r(a)=0  \) , \(  \forall{a\in{A}} \) entonces r(x) es el polinomio nulo?.
Si no es cierto hemos acabado, pero si lo es, entonces el polinomio \( r(x)=p(x)-q(x) \) es el polinomio nulo y así los polinomios \( p(x)  \) y \( q(x) \) son iguales.

No, no es cierto en cualquier anillo. De nuevo estás usando resultados que son ciertos para algunos anillos (en particular los reales o los enteros), pero no son ciertos en general.

Si \( A \) es un anillo finito o si \( A \) no es un dominio, entonces NO es cierto en general que si un polinomio cumple \( p(a)=0 \) para todo \( a\in A \), entonces sea el polinomio nulo.

Un ejemplo del lo primero es considerar el anillo de polinomios \( \Bbb Z_2[ x] \), es decir, los polinomios sobre el cuerpo \( A=\Bbb Z_2 \). Entonces el polinomio \( x^2-x \) se anula sobre todos los elementos de \( A \) (que sólo son dos de hecho) y No es nulo.

Un ejemplo de lo segundo, una vez más, es el ejemplo de geómetracat de los anillos booleanos. El polinomio \( x^2-x \) se anula sobre todos los elementos del anillo y NO es nulo.

Saludos.

[ancape]

Dado un anillo \( A \) si miramos \( A[x] \) (conjunto de los polinomios del estilo \( a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n \)) de forma aséptica, sin pensar que tales elementos no tienen mas propiedades que su existencia tal y como se han definido, sin pensar siquiera en la evaluación de un polinomio en un punto, veo claro que \( x^2-x \) no es el polinomio nulo aunque sea \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \) pues  si sumamos \( x^2-x \) con el polinomio \( x^3 \) nos queda el polinomio \( x^3+x^2-x \) que no es (por lo menos formalmente) el polinomio \( x^3 \). Resumiendo, para decir que \( x^2-x \) no era el polinomio nulo me tengo que limitar a ver la escritura y no me es lícito hacer nada mas (como evaluar en un punto). Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido. Es como si definiese A{x} como el conjunto de sumas \( a_0+a_1\displaystyle\int_{-x}^{x}t^2dt+\displaystyle\int_{-x^2}^{x^2}t^2dt+...+a_n\displaystyle\int_{-x^n}^{x^n}t^2dt \) y razonase sobre él sin poder evaluar las integrales. Me suena igual que aquel que escribió un libro que comenzaba diciendo: 'Sea una vaca totalmente esférica......' luego sacaba cientos de conclusiones y como era muy aparente, pretendió venderlo a todos los ganaderos del país. !! Ahora entiendo el cuadro de Goya: 'El sueño de la razón produce monstruos'

Gracias Luis y geometracat por vuestro tiempo y explicaciones.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Dado un anillo \( A \) si miramos \( A[x] \) (conjunto de los polinomios del estilo \( a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n \)) de forma aséptica

O sea, si miramos el conjunto de polinomios sobre un anillo... como lo que es.

, sin pensar que tales elementos no tienen mas propiedades que su existencia tal y como se han definido, sin pensar siquiera en la evaluación de un polinomio en un punto, veo claro que \( x^2-x \) no es el polinomio nulo aunque sea \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \) pues  si sumamos \( x^2-x \) con el polinomio \( x^3 \) nos queda el polinomio \( x^3+x^2-x \) que no es (por lo menos formalmente) el polinomio \( x^3 \). Resumiendo, para decir que \( x^2-x \) no era el polinomio nulo me tengo que limitar a ver la escritura y no me es lícito hacer nada mas (como evaluar en un punto).

Pero es que no es así. En el los anillos de polinomios que he mencionado antes, \( \Bbb Z_2[x] \) o \( A[x] \) con \( A \) un anillo booleano, y de hecho, en cualquier anillo de polinomios \( A[x] \) se puede evaluar cualquier polinomio sobre un elemento del anillo. De hecho se hace.

Simplemente que no para todos los anillos esa evaluación tiene las mismas propiedades que cuando sólo trabajas son polinomios sobre enteros o reales.

Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.

¡Pero si está a la orden del día en álgebra!. Por ejemplo en criptografía o álgebra computacional se emplean continuamente polinomios con coeficientes en cuerpos finitos; se evalúan, se factorizan, y se hacen muchas cosas con ellos que se aplican al mundo de la informática.

 Fíjate que a veces en matemáticas cuando se buscan ejemplos de objetos que no cumplen las propiedades típicas, a veces se acaba en construcciones muy exóticas que apenas se usan más allá de su valor (que no es poco) como contraejemplo.

 Pero no es el caso; los anillos que te hemos puesto no son especialmente enrevesados ni exóticos. Son de uso común una vez que uno entra en harina en matemáticas.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Amén de lo ya comentado por Luis.

Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.

Precisamente, sí tiene más recorrido. Desde el mero punto de vista formal, que curiosamente es el punto de vista que produce más riqueza conceptual, un polinomio con coeficientes en un anillo \( A \) se define como el conjunto de las sucesiones \( \left\{({a_0,a_1,a_2\ldots})\right\} \) con los \( a_j\in A \) casi todos nulos y definimos operaciones suma y producto que lo convierten en anillo.

Posteriormente, y llamando \( x:=(0,1,0,\ldots) \) los polinomios los escribimos en la forma \( \left\{{a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots}\right\} \) con los \( a_j \) casi todos y todo esto se refiere a lo que es un polinomio formal en donde \( x \) recibe el nombre de indeterminada y no el nombre de variable, pues en realidad \( x \) no significa nada y \( x^n \) viene a significar un lugar que ocupa \( a_n \). Lo que ocurre es que la expresión \( P=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots \), por su propia estructura permite definir de forma natural una función, a la que llamamos función polinómica determinada por \( P \) a saber: \( P:A\to A,\; P(a)=a_0+a_1a+a_2a^2+\ldots \).

Todos estos matices son tan importantes como para decir, por ejemplo, que \( P(x)=x^2-x \) no es el elemento neutro del anillo de polinomios, \( \mathbb{Z}_2[x] \) pero sí lo es en el anillo de las funciones polinómicas de \( \mathbb{Z}_2 \) en \( \mathbb{Z}_2 \), lo cual implica que los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes.

[ancape]

Luis y Fernando

Ante todo, gracias por vuestra atención para que pueda introducirme en un aspecto de las matemáticas en el que no he estado mas que de pasada.

Voy a insertar en parte vuestras respuestas y compararlas con lo que pienso o he dicho en comentarios anteriores para ver si aclaro exactamente mis conceptos.

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Precisamente, sí tiene más recorrido. Desde el mero punto de vista formal, que curiosamente es el punto de vista que produce más riqueza conceptual, un polinomio con coeficientes en un anillo \( A \) se define como el conjunto de las sucesiones \( \left\{({a_0,a_1,a_2\ldots})\right\} \) con los \( a_j\in A \) casi todos nulos y definimos operaciones suma y producto que lo convierten en anillo.

Posteriormente, y llamando \( x:=(0,1,0,\ldots) \) los polinomios los escribimos en la forma \( \left\{{a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots}\right\} \) con los \( a_j \) casi todos y todo esto se refiere a lo que es un polinomio formal en donde \( x \) recibe el nombre de indeterminada y no el nombre de variable, pues en realidad \( x \) no significa nada y \( x^n \) viene a significar un lugar que ocupa \( a_n \). Lo que ocurre es que la expresión \( P=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots \), por su propia estructura permite definir de forma natural una función, a la que llamamos función polinómica determinada por \( P \) a saber: \( P:A\to A,\; P(a)=a_0+a_1a+a_2a^2+\ldots \).

Todos estos matices son tan importantes como para decir, por ejemplo, que \( P(x)=x^2-x \) no es el elemento neutro del anillo de polinomios, \( \mathbb{Z}_2[x] \) pero sí lo es en el anillo de las funciones polinómicas de \( \mathbb{Z}_2 \) en \( \mathbb{Z}_2 \), lo cual implica que los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes.

Creo que la frase '\( P(x)=x^2-x \) no es el elemento neutro del anillo de polinomios, \( \mathbb{Z}_2[x] \) pero sí lo es en el anillo de las funciones polinómicas de \( \mathbb{Z}_2 \) en \( \mathbb{Z}_2 \), lo cual implica que los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes.' es análoga a lo que puse en un comentario anterior:

Dado un anillo \( A \) si miramos \( A[x] \) (conjunto de los polinomios del estilo \( a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n \)) de forma aséptica, sin pensar que tales elementos no tienen mas propiedades que su existencia tal y como se han definido, sin pensar siquiera en la evaluación de un polinomio en un punto, veo claro que \( x^2-x \) no es el polinomio nulo aunque sea \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \) pues  si sumamos \( x^2-x \) con el polinomio \( x^3 \) nos queda el polinomio \( x^3+x^2-x \) que no es (por lo menos formalmente) el polinomio \( x^3 \). Resumiendo, para decir que \( x^2-x \) no era el polinomio nulo me tengo que limitar a ver la escritura y no me es lícito hacer nada mas (como evaluar en un punto). Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.
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La frase 'los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes' refuerza mi afirmación de que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) incluso si \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \). Parece que quieres decir que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) pero sí es lo mismo en el conjunto de funciones polinómicas. Si es así, confírmamelo por favor. ¿Qué sentido tiene entonces el anillo de polinomios si hay que salir de él y entrar en las funciones polinómicas para algo tan usual como evaluar en un punto.

Si es así, resulta que en algunos ambientes, \( f(x)=Sen^2 x+Cos^2 x \) y g(x)=1 no son lo mismo salvo que salgamos de tal ambiente y entremos en uno que permita evaluar.
Esto me recuerda los password hacen diferente escribir fernando a escribir Fernando para acceder.

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 de hecho, en cualquier anillo de polinomios \( A[x] \) se puede evaluar cualquier polinomio sobre un elemento del anillo. De hecho se hace.
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Ahora me entero menos, según Fernando, no se puede confundir el anillo de polinomios (en el que no está la operación evaluar) con el de las funciones polinómicas.

Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.

¡Pero si está a la orden del día en álgebra!. Por ejemplo en criptografía o álgebra computacional se emplean continuamente polinomios con coeficientes en cuerpos finitos; se evalúan, se factorizan, y se hacen muchas cosas con ellos que se aplican al mundo de la informática.

Vuelves a afirmar que en el anillo de polinomios, se evalúa. Tendría que ver ejemplos de estudios criptográficos en los que se emplee un anillo de polinomios en el que no esté permitido evaluar, sino sólo trabajar con la estructura y propiedades formales.

Saludos

[Fernando Revilla]

Creo que la frase '\( P(x)=x^2-x \) no es el elemento neutro del anillo de polinomios, \( \mathbb{Z}_2[x] \) pero sí lo es en el anillo de las funciones polinómicas de \( \mathbb{Z}_2 \) en \( \mathbb{Z}_2 \), lo cual implica que los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes.' es análoga a lo que puse en un comentario anterior:

Dado un anillo \( A \) si miramos \( A[x] \) (conjunto de los polinomios del estilo \( a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n \)) de forma aséptica, sin pensar que tales elementos no tienen mas propiedades que su existencia tal y como se han definido, sin pensar siquiera en la evaluación de un polinomio en un punto, veo claro que \( x^2-x \) no es el polinomio nulo aunque sea \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \) pues  si sumamos \( x^2-x \) con el polinomio \( x^3 \) nos queda el polinomio \( x^3+x^2-x \) que no es (por lo menos formalmente) el polinomio \( x^3 \). Resumiendo, para decir que \( x^2-x \) no era el polinomio nulo me tengo que limitar a ver la escritura y no me es lícito hacer nada mas (como evaluar en un punto). Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.

Sí, lo que dices es correcto. Pero en lo que no estoy de acuerdo es en lo del poco reccorido, y mi mensaje iba encaminado como poco a su recorrido conceptual.

La frase 'los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes' refuerza mi afirmación de que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) incluso si \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \). Parece que quieres decir que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) pero sí es lo mismo en el conjunto de funciones polinómicas. Si es así, confírmamelo por favor.

Sí, lo que dices es correcto.

¿Qué sentido tiene entonces el anillo de polinomios si hay que salir de él y entrar en las funciones polinómicas para algo tan usual como evaluar en un punto.

El anillo de polinomios, tiene sentido como la construcción de una estructura algebraica. Y en tal estructura existe de forma natural la opción de evaluar, es decir cambiar el sentido de \( x \) como indeterminada a \( x \) como variable, y cuando se evalúa ya estamos (¡pero a la velocidad de la luz! ) en el anillo de las funciones polinómicas.

Si es así, resulta que en algunos ambientes, \( f(x)=Sen^2 x+Cos^2 x \) y g(x)=1 no son lo mismo salvo que salgamos de tal ambiente y entremos en uno que permita evaluar.

Pues efectivamente no son lo mismo según ambientes. Por ejemplo, en el anillo de las series formales \( \mathbb{R}[[X]] \), la serie formal  \( (0,1,0,-1/3!,0,1/5!,\ldots) \) o de otro modo, la serie formal \( \displaystyle\sum_{n\ge 0}\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}X^{2n+1} \) no es la función \( \sen x \), pero sí lo es al evaluar \( X \) por \( x\in\mathbb{R} \) con lo cual ya pasamos a un anillo de funciones.

Esto me recuerda los password hacen diferente escribir fernando a escribir Fernando para acceder.

Yo prefiero, incluso en los nicks, empezar con mayúscula .

de hecho, en cualquier anillo de polinomios \( A[x] \) se puede evaluar cualquier polinomio sobre un elemento del anillo. De hecho se hace.

Ahora me entero menos, según Fernando, no se puede confundir el anillo de polinomios (en el que no está la operación evaluar) con el de las funciones polinómicas.

Es que no existe contradicción entre lo que dice Luis y lo que digo yo. Evaluar en un anillo de polinomios equivale de forma inmediata a estar considerando funciones polinómicas.

[Luis Fuentes]

Hola

Resumiendo, para decir que \( x^2-x \) no era el polinomio nulo me tengo que limitar a ver la escritura y no me es lícito hacer nada mas (como evaluar en un punto). Si esto es así, lo entiendo pero tiene poco recorrido.

 El al contrario: la expresión \( x^2-\color{red}x\color{black} \) es un polinomio distinto del polinomio nulo.

  Y te es lícito hacer con él todo lo que se hace con polinomios; en particular trabajar con la función polinómica. En ese caso y si estamos \( \Bbb Z_2[x] \) sería la función nula.

 Es decir trabajar con los polinomios como se definen habitualmente en el contexto del álgebra, es mucho más enriquecedor, que trabajar simplemente con funciones polinómicas.

La frase 'los conceptos de polinomio y función polinómica no son en general equivalentes' refuerza mi afirmación de que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) incluso si \( a^2=a \), \( \forall{a\in{A}} \). Parece que quieres decir que \( x^3+x^2-x \) no es lo mismo que el polinomio \( x^2-x \) pero sí es lo mismo en el conjunto de funciones polinómicas. Si es así, confírmamelo por favor. ¿Qué sentido tiene entonces el anillo de polinomios si hay que salir de él y entrar en las funciones polinómicas para algo tan usual como evaluar en un punto.

 No hay que salir ni entrar en ningún sitio; repito la idea anterior. Tiene todo el sentido porque es un concepto mucho más amplio y completo, que simplemente trabajar con la función polinómica.

Si es así, resulta que en algunos ambientes, \( f(x)=Sen^2 x+Cos^2 x \) y g(x)=1 no son lo mismo salvo que salgamos de tal ambiente y entremos en uno que permita evaluar.
Esto me recuerda los password hacen diferente escribir fernando a escribir Fernando para acceder.

 Sobre lo que a cada uno le recuerde según que cosa... pues allá cada cuál.

 de hecho, en cualquier anillo de polinomios \( A[x] \) se puede evaluar cualquier polinomio sobre un elemento del anillo. De hecho se hace.

Ahora me entero menos, según Fernando, no se puede confundir el anillo de polinomios (en el que no está la operación evaluar) con el de las funciones polinómicas.

 Una vez más: en cualquier anillo de polinomios uno puede evaluar los polinomios y definir conceptos como la función polinómica asociada al polinomio o el morfismo evaluación.

¡Pero si está a la orden del día en álgebra!. Por ejemplo en criptografía o álgebra computacional se emplean continuamente polinomios con coeficientes en cuerpos finitos; se evalúan, se factorizan, y se hacen muchas cosas con ellos que se aplican al mundo de la informática.

Vuelves a afirmar que en el anillo de polinomios, se evalúa. Tendría que ver ejemplos de estudios criptográficos en los que se emplee un anillo de polinomios en el que no esté permitido evaluar, sino sólo trabajar con la estructura y propiedades formales.

¡Pero como te voy a poner un ejemplo de anillo donde no esté permitido evaluar si te estoy diciendo justo lo contrario!. En cualquier anillo de polinomios se "permite" (se define) la evaluación.

 Te voy a dar una (¡hay muchas!) referencia donde se resume todo esto:

"Algebra" de Serge Lang. GTM Springer. 
 
 Si pinchas en el nombre tienes acceso al libro. Te interesarán las páginas 97 y 98 que es donde se da la definición de polinomio sobre un anillo arbitrario.

 Te rescato algunos fragmentos.

 Definición de anillo de polinomios:



 Definición de función polinómica asociada a un polinomio:



 Definición del morfismo evaluación:



Saludos.

CORREGIDO