Hola.
Llevo siguiendo el hilo desde que se abrió pero hasta ahora no he podido participar por falta de tiempo. Bueno, más vale tarde que nunca...
Quisiera empezar comentando un par de cosillas que creo que no son del todo correctas y que han pasado inadvertidas:
Calcular la distribución lineal de carga \( \lambda (x) \) en una varilla metálica de longitud \( L \), neutra, aislada y alineada con un campo eléctrico externo \( E \) constante en módulo y sentido (por ejemplo, el creado en el interior de un condensador).
Cuidado con esto. Diría que ya empezamos mal. No es lo mismo meter la varilla en una región donde hay un campo uniforme que entre las dos placas de un condensador. En el segundo caso, la carga en las placas del condensador se redistribuiría para lograr en las proximidades de las placas un campo perpendicular a las mismas.
El problema se puede plantear como una varilla enfrentada perpendicularmente a un plano conductor de que genera un campo que inicialmente es uniforme.
Aquí la palabra conductor no pinta mucho, ¿verdad? Si el plano fuese conductor las cargas se irían redistribuyendo por el simple hecho de enfrentar la varilla, por lo que no es lo mismo que meter la varilla en una región con un campo eléctrico uniforme, que es el que genera una distribución plana y uniforme de carga (muy posiblemente robinlambada se refería a esto último).
El campo eléctrico interno en un punto genérico \( a \) de la varilla se obtiene integrando a lo largo de toda la varilla y debe ser el opuesto al externo \( E_0 \)
\( E_i(a)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\frac{\lambda(x) dx}{(x-a)^2}=-E_0 \) ; cumpliéndose esta ecuación \( \forall{}a\in{}(0,L) \)
Diría que no. Piensa que el campo que genera una densidad de carga positiva situada a la izquierda de \( a \) se dirige hacia la derecha. Sin embargo, el creado por una densidad de carga positiva situada a la derecha de \( a \) se dirige hacia la izquierda, por lo que a un campo habrá que restarle el otro.
La idea es derivar la expresión integral del campo e imponer que debe ser cero, salvando la singularidad \( x=a \) , para así hallar la expresión de la densidad de carga \( \lambda(x) \) con cálculo variacional, pero dudo que funcione, pues las única manera que se me ocurre que \( \lambda(x) \) evite la singularidad es que esta sea cero doble en a, por tanto de la forma \( \lambda(x)=(x-a)^2f(x) \) , lo que significa que la densidad es cero en el punto a, pero a es cualquier punto de la varilla, por tanto implica que la densidad de la varilla es cero en todos sus puntos.
Mmm... Esto no lo he entendido. Y a partir de aquí me pierdo un poco en la conversación...
Pero si por otro medio podemos calcular el campo, también podemos calcular la densidad de carga del conductor usando. \( \overrightarrow{E}(0^+)\cdot{}\vec{n}=\displaystyle\frac{\lambda}{\epsilon_o} \) Siendo \( 0^+ \) los puntos muy próximos al contorno del conductor.
Creo que esto no es correcto. Creo que te estás confundiendo con lo del campo creado en las proximidades de un conductor en equilibrio, ya que la fórmula se parece a la que das reemplazando la densidad lineal por una superficial. Pero en nuestro caso no procede considerar la densidad superficial de una varilla de radio despreciable. No sé si lo de radio despreciable es cosa mía, pero creo que lo estabais considerando todos de manera un tanto subconsciente, ¿no?
Bueno. Y ahora voy a exponer lo que pienso yo del problema. Si no os importa voy a cambiar de sistema de referencia. Voy a considerar la varilla situada en el eje \( X \) con su centro geométrico en el origen. En ese caso, el campo eléctrico creado por la densidad lineal de carga inducida en la varilla en las proximidades de un punto \( a \) de la misma tendría componente horizontal igual a:
\( \displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{-L/2}^{a}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx-\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{a}^{L/2}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx \)
El primer sumando es el creado por la carga situada a la izquierda del punto, y el segundo es el creado por la carga situada a la derecha de la carga. Se restan debido a que para un mismo signo de carga, tienen sentidos opuestos. Para que este campo anule el que inicialmente había en la región debe cumplirse, para todo \( a\in{\left[-L/2,L/2\right]} \):
\( \displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{-L/2}^{a}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx-\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{a}^{L/2}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx=E_0 \)
En esta ecuación se pone de manifiesto la indiscutible valentía (o desfachatez, según se mire) de la función \( \lambda(x) \), ya que tomando \( a=-L/2 \) se obtiene:
\( -\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx=E_0 \)
Y tomando \( a=L/2 \):
\( \displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx=E_0 \)
¿Qué es lo que falla? Posiblemente que al introducir una varilla de radio despreciable en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme, la varilla no adquiere una densidad de carga continua. Creo que la cosa se ilumina introduciendo dos cargas puntuales en los singulares puntos en los que se sitúan los extremos de la varilla. Estas cargas, podrían provenir de las cargas inducidas en las bases del cilindro que degenera en nuestra varilla al tender su radio a cero. En este caso, el campo creado en un punto de la varilla debido a las dos cargas puntuales (que, debido a la simetría del problema, vamos a considerar iguales en valor absoluto \( Q \) y de signo opuesto) y a la densidad de carga inducida en la varilla (que vamos a suponer por la misma razón que goza de la propiedad de que \( \lambda(-x)=-\lambda(x) \)) es:
\( \displaystyle\frac{Q}{4\pi\epsilon_0(L/2+a)^2}+\displaystyle\frac{Q}{4\pi\epsilon_0(L/2-a)^2}+\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{-L/2}^{a}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx-\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{a}^{L/2}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(a-x)^2}\,dx=E_0 \)
EDITADOEcuación que ya no presenta el problema de antes.
A partir de ella se puede calcular analíticamente el valor de \( Q \) tomando \( a=0 \), ya que las integrales definidas se anulan una con la otra. Por otro lado, se pueden hallar valores de la función \( \lambda(x) \) por métodos numéricos
relativamente sencillos.
Ahora tengo que irme. A ver qué os va pareciendo todo esto. Continuará...
Un saludo.
