Hola.
Vale. Entonces es a eso a lo que yo he llamado \( E_0 \). No obstante, permíteme recalcarte un matiz. No es lo mismo meter la varilla en una zona en la que hay un campo uniforme, creado por una, dos, o las que sean, distribuciones planas, indefinidas y uniformes de carga, que meterlo entre dos placas conductoras conectadas a un cierto potencial. En el segundo caso, las cargas inducidas en la varilla provocan un campo que afecta a la distribución de carga en las placas conductoras, modificando la componente del campo que éstas crean. De momento, todos estamos considerando en nuestras ecuaciones el primer caso.
Hola Martiniano , como va, si entiendo que son diferentes, por eso no estamos considerando el segundo caso, por varias razones
- El enunciado dice que el campo externo a la varilla es constante, cosa que en la vida real planos infinitos no tenemos, y placas conductoras que no desvíen su campo en presencia de la carga de los extremos de la varilla tampoco tenemos
Ya. Entiendo que en el enunciado se habla de un caso ideal.
Por eso aclaro como sugerencia que hubiera sido mejor que escribas "cierta diferencia de potencial", en vez de "cierto potencial" , pues puede traer a confusión que puede ser el mismo.
De acuerdo. No pensé en la posible confusión. Me estaba refiriendo a la diferencia de potencial entre ellas. El caso es que si consideras que el campo lo crean dos placas conductoras entre las que metes la varilla, también conductora, ya no puedes considerar que el campo que generan las dos placas es \( \displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_0} \). Ya que, entre otras cosas \( \sigma \) ha dejado de ser constante. Por cierto, que para deducir esa fórmula, que insisto aquí no se podría utilizar, se admite como hipótesis que ambas placas deben ser infinitas. No sé si os resistís a utilizar objetos infinitos porque no existen en la realidad o porque complican las cosas. Si es por lo segundo no tiene demasiado sentido, ya que en realidad lo que pasa es que las facilitan.
El caso, es que por simplicidad, yo consideraría,
al igual que habéis hecho todos vosotros hasta ahora en vuestras fórmulas, que el campo no se ve afectado al introducir la varilla, y esa situación se da cuando el campo lo crea una distribución de carga plana, uniforme e infinita. Si consideramos que esa distribución está sobre un material conductor la cosa falla porque la distribución deja de ser uniforme al enfrentar una varilla conductora.
Al limitarnos a ese caso, las cargas en las bases del cilindro se reducen a dos cargas puntuales, que he llamado \( Q \) y \( -Q \).
El tema es que si haces eso conviertes a la varilla en un dipolo de cargas puntuales \( +Q \) y \( -Q \) separadas la distancia \( l \) cada una de las cargas a una distancia \( d \) de las placas, pero en los dipolos el potencial entre las cargas no es constante, y aquí si lo necesitamos, por ser la varilla conductora.
Eso nos lleva a pensar entonces toda la carga no esta en el extremo, que esta distribuida y puedo hallar su función creadora.
Diría que necesitas ambas cosas. Una distribución de carga lineal sobre la varilla y dos cargas puntuales sobre los extremos. Considerar sólo las cargas puntuales no es suficiente, como dices, para conseguir que el potencial en la varilla sea constante. Por otro lado, si sólo se considera la densidad lineal tampoco es posible calcularla como demostré en mi respuesta anterior. Sé que, por lo que dices a continuación, no crees que la ecuación en la que me basé sea correcta. Vamos pues a debatir eso.
Aprovecho para comentar, que una vez aclarados los detalles que me llevaron a proponer dicha ecuación, para comprobar la validez del modelo (cosa que todavía está pendiente hacer formalmente) habría que preguntarse sobre la existencia y unicidad de la carga \( Q \) y la función \( \lambda(x) \). Ese es un problema matemático que pienso que puede valer la pena. Posiblemente, con vuestro permiso, y si no conseguimos resolverlo aquí, pienso que deberíamos hablar de él en otra sección del foro para que pueda participar gente que no tenga conocimientos de física o que no le apetezca leerse toda está conversación para poder participar en la pregunta. Una vez probada la existencia y unicidad de \( Q \) y de \( \lambda \) y con ello la validez del modelo, hallar aproximaciones de las mismas sería cuestión de aplicar métodos numéricos. No creo que se pueda hacer analíticamente. La verdad es que se me están ocurriendo muchos métodos para hacerlo y creo que va a ser muy interesante compararlos. Pero, como digo, primero hay que aclarar alguna que otra cosilla.
Vale. Ya veo de dónde ha salido la integral que te marqué en azul en la anterior respuesta. Aquí la has puesto separada. Quieres que el primer sumando sea el campo creado por la carga lateral de la varilla a un lado del punto en el que estamos calculando el campo y el segundo sumando el creado por la que se halla al otro lado. Para empezar, esos dos campos deben restarse, no sumarse, ya que actúan en sentidos opuestos, por lo que las dos integrales no se pueden agrupar.
No eso no es cierto el campo creado por la carga del lado derecho tiene que ser siempre mayor que la del lado izquierdo más un valor constante que es el del campo externo, de ese modo el campo interior es nulo.
Claro, en eso creo que estamos todos de acuerdo.
Fijate que lo que le da dirección al campo es el signo de la carga y no el signo el de la integral, si haces Gauss y cierras la superficie mas allá un \( dx \) lo que se encierra de carga es un \( d\lambda \)
No sé muy bien si te he entendido. Supongo que por signo de la carga te refieres al signo de \( \lambda(x) \). El signo de esa función afecta de forma directa al signo de la integral. Es decir, cambiarle el signo a una, es exactamente lo mismo que cambiárselo a la otra.
las flechas en azul son de campo nulo solo el flujo externo a la varilla compensa el campo externo, luego cada diferencial que te muevas tiene que tener la misma carga encerrada pues compensa el mismo campo exterior, así el diferencial de lambda es nulo. en definitiva solo hay carga en la superficie de la cara en la punta de la varilla.
Mmmm... ¿No habías dicho que \( l \) era la longitud de la varilla? En el dibujo no parece que estés llamando \( l \) a eso... De lo de si esas integrales hay que sumarlas o restarlas hablaré más abajo.
Entiendo también que llamas \( X \) a la coordenada del punto en el que estás calculando el campo y \( x \) a la coordenada del punto que lo crea. Creo también que llamas \( r \) al radio del cilindro y \( r
_0 \) a la coordenada radial del punto en el que se está calculando el campo. Si es así, en lo que te he puesto en rojo, ¿no habrás querido poner \( X \)?
No, revisa, la interpretación de cada variable es correcta, pero la integral la evaluas desde el inicio de la varilla en d hasta la posición X que esta entre d y d+l, el campo a la izquierda lo sumas al de la deracha y ambos compensan al campo externo.
Diría que estás equivocado. No es posible que el campo creado en un punto \( X \) de la varilla por un elemento diferencial de carga situado en un punto \( x \) también de la varilla no dependa de \( X \) pero sí dependa de la distancia arbitraria \( d \) de la varilla a un origen de coordenadas también arbitrario.
A ver si aclaramos esto y lo del signo que hay que anteponer a cada integral con un caso más sencillo. Supón una varilla de longitud \( l \) que está colocada sobre el eje \( OX \) ocupnado los puntos que hay entre \( x=d \) y \( x=l+d \). Supón que la varilla está cargada con una densidad lineal de \( \lambda=2\,C/m \) y que queremos calcular el campo en un punto situado a una distancia \( X \) del origen de coordenadas.
Si llamamos \( \vec{E_1} \) al campo creado por el trozo de la varilla que queda a la izquierda de \( X \) y \( \vec{E_2} \) al creado por el trozo que queda a la derecha, entonces sus módulos valen:
\( E_1=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{d}^{X}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(X-x)^2}\,dx \)
\( E_2=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{X}^{l+d}\displaystyle\frac{\lambda(x)}{(X-x)^2}\,dx \)
Fíjate que en ambos casos \( \displaystyle\frac{\lambda(x)}{(X-x)^2}\,dx \) es el campo creado en \( X \) por el diferencial de carga \( \lambda(x)\,dx \) , situado en \( x \). Es por ello que en el denominador hay que poner la distancia entre el elemento diferencial y el punto en el que crea el campo. A lo de poner una \( d \) ahí en lugar de una \( X \) no le veo mucho sentido...
Por otro lado, fíjate en que los dos campos tienen sentido opuesto, por lo que si queremos calcular el módulo y sentido del campo resultante habrá que restar estos dos módulos. Si los sumamos obtenemos otra cosa. Fíjate también en que si la función \( \lambda(x) \) cambia de signo en algún intérvalo y que ello repercute en el sentido de alguno de los dos campos, también repercutirá en el signo de la integral correspondiente, por lo que los cambios de signo de la función \( \lambda(x) \) no afectan a la operación que haya que hacer con los resultados de ambas integrales.
¿Cómo lo ves? Un saludo.
