[sedeort]

He estado probando distintas distribuciones de densidad lineal de carga como la sencilla \(  \lambda(x)=A(x - L/2) \), y aparte de no darme un \( E_i(x)=cte \) (hubiera sido una lotería, jeje), se me añade el problema de que en los extremos este campo se hace infinito.
Siempre ocurrirá así?
Probé también con funciones con pendiente nula en los extremos, como \( \lambda(x)=-Acos( \pi x / L) \) y me vuelve a salir \infty.
Demasiadas trabas estoy encontrando.
Y eso que elegí este modelo pensando que iba a ser el más fácil de resolver.

[Richard R Richard]

Hola, dibuja una carga de cualquier signo en cualquier posición sobre la varilla, fíjate a que fuerza esta sometida , hacia donde debe moverse y donde quedara en equilibrio, eso te dará la idea de la distribución física final de las cargas.

Si los extremos tienen área nula y longitud nula por definición , conque una sola carga tome esa posición ya las densidades lineal, superficial y volumétrica que calcules te darán infinito.

[sedeort]

Gracias por la idea, Richard.
Es verdad, en un extremo no hay carga "al otro lado" para poder contrarrestar la infinitud del \( E_i \).
Luego cualquier distribución con \( \lambda \) no nula en un extremo genera un campo infinito en ese extremo, no?
(Jo, pensaba que en este problema nos íbamos a librar de los molestos \( \infty \) , jeje.)
Entonces esto hace imposible resolver el problema con mi planteamiento.
Es inevitable superar el valor finito de \( -E_0 \) en las proximidades de los extremos de la varilla.
 \(  \)

[robinlambada]

Hola.

El campo eléctrico externo tiene la misma dirección que la varilla (están alineados). Situación 2 en tus gráficos.
La distribución lineal de carga es una función continua, que es lo que busco. Tiene un valor negativo en el origen. Es nula en el punto central. Y es positiva en el otro extremo.
Esta función debe ser simétrica respecto a punto central.

Estas seguro???, porque para mi fisicamente eso no sucede, si fuera de ese modo el campo eléctrico en el interior de la varilla no sería nulo, había corriente eléctrica moviendo las cargas, que llegaría a un estado estable, ubicandolas las positivas del lado de la placa cargada negativamente y viceversa...




Tu distribución es respetando el cero en el extremo de la varilla más cercano a la placa positiva.

\( \lambda=\left\{\begin{matrix}
-Q & x=0 \\
0 & 0<x<l \\
+Q & x=l
\end{matrix}\right. \)

Cuanto vale Q, de momento no me lo acuerdo, se lo dejo al que pueda, si no lo busco o quizá ya sepas como calcularlo.

Esta distribución de carga en los extremos no es compatible con que la varilla sea conductora, fíjate que en tu esquema debe haber una linea de campo que recorre la varilla (es decir con la dirección de la varilla), pero por ser varilla conductora es equipotencial y las lineas de campo deben ser perpendiculares a este, y con las cargas en los extremos no se cumple.

Esta claro que la varilla crea un el campo que modifica el existente.

Tu quieres que la densidad lineal de carga varíe de un punto respecto al contiguo en la linea del conductor,  si fuera así un punto tiene mayor potencial que el contiguo, lo que crea un campo eléctrico en entre esos puntos del conductor y como lo supones metálico este tiene las carga libres, entonces  las moverá para anular el campo(crea corriente), luego dinámicamente llevara  a la densidad de carga a permanecer constante  entre extremos donde se acumula la carga.

Este razonamiento no es correcto, ya que estas suponiendo que el campo final sigue siendo uniforme, entonces habría una diferencia de potencial entre puntos distintos de la varilla.

Como contraejemplo a tu razonamiento, es la densidad de carga que tu mismo calculaste para la placa infinita enfrentada a una carga ( en un post reciente).

La placa tiene una densidad de carga superficial radial ,se obtuvo que :

Bueno ahora a lo que vamos, que función matemática es la que expresa del densidad superficial de carga, del lado de la carga, es algo que me animo, pero no estoy seguro, pero es lógico que la derivada del campo en direcciones j y k es nula en cada punto, y la componente en i sería

\( E_i=-\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Ql}{\sqrt{l^2+r^2}^3} \)corregida

donde el signo responde a que el sentido es en contra del sistema de referencia, \( l \) es la distancia desde la carga al plano, \( r \) la distancia radial al eje de simetría que pasa por la carga que es perpendicular al plano.

como podemos hacer superficies gaussianas cada vez más pequeñas aproximándonos a casa punto de la superficie la densidad de carga encerrada por esa superficie es \( \sigma_{(r)}=-\dfrac 1{2\pi}\dfrac{2Ql}{\sqrt{l^2+r^2}^3} \)corregida

Este es el campo que obtuviste para una carga enfrentada a un plano conductor infinito.

Como ves la carga en el plano se distribuye creando un gradiente de carga ( radial) y por ello no crea diferencia de potencial en la placa, de hecho es la distribución que mantiene el potencial dela placa constante tras la introducción de la carga externa.

Si no he entendido mal tu razonamiento, si lo aplicamos a la placa y el campo creado por la carga externa +Q, la carga negativa de la placa se vería atraída por la carga externa +Q y se desplazaría hasta situarse toda en la parte más próxima de la placa a la carga, por ello la carga negativa se debería concentrar toda en la intersección del plano y la perpendicular a este que pasa por la carga externa, lo cual no es lo correcto , como se ha calculado , tanto tu como sedeort, es una distribución radial no discreta.

Lo crucial aquí es que el potencial en la varilla es constante , es decir las lineas de campo perpendiculares al esta y con tu distribución discreta no pasa.

El problema se puede plantear como una varilla enfrentada perpendicularmente a un plano conductor de que genera un campo que inicialmente es uniforme.

Saludos.

[sedeort]

No habría que meter elementos nuevos que desvíen la atención. Lo del condensador lo puse sólo como ejemplo de generador de un campo uniforme. No es importante. Olvidemonos de placas, que ya tenemos bastante con la del otro tema, jeje.

También otra cosa sería preguntarse por el campo eléctrico total fuera de la varilla. Pero ese dato no es relevante para resolver nuestro problema, no? (Porque lo único que nos interesa es lo que pasa sobre la propia varilla).

El caso es que existe ese campo externo uniforme e invariable, \( E_0 \hat{i} \).
Las únicas fuerzas que se ejercen sobre el \( dq \) de un \( dl \) de la varilla son la que ejerce \( E_0 \) y la que ejerce la carga del resto de varilla (que se obtiene integrando). Para que este \( dq \) esté en equilibrio estas dos fuerzas deben anularse.
Yo lo planteé con los campos eléctricos en ese \( dl \), que es equivalente.

[robinlambada]

No habría que meter elementos nuevos que desvíen la atención. Lo del condensador lo puse sólo como ejemplo de generador de un campo uniforme. No es importante. Olvidemonos de placas, que ya tenemos bastante con la del otro tema, jeje.

Lo he planteado, precisamente para que veamos que el campo inicial externo \( E_i \), se ve modificado por la carga de la varilla, es decir hay que dejar claro que el campo total externo deja de ser uniforme por la presencia de la varilla.

También otra cosa sería preguntarse por el campo eléctrico total fuera de la varilla. Pero ese dato no es relevante para resolver nuestro problema, no? (Porque lo único que nos interesa es lo que pasa sobre la propia varilla).

Saber el campo externo si es relevante, pues con el podríamos calcular la distribución de carga en la varilla, por Gauss.

El caso es que existe ese campo externo uniforme e invariable, \( E_0 \hat{i} \).
Las únicas fuerzas que se ejercen sobre el \( dq \) de un \( dl \) de la varilla son la que ejerce \( E_0 \) y la que ejerce la carga del resto de varilla (que se obtiene integrando). Para que este \( dq \) esté en equilibrio estas dos fuerzas deben anularse.
Yo lo planteé con los campos eléctricos, que es equivalente.

Lo de invariante ,ojo, entiendo que te refieres al campo inicial uniforme más el generado por la varilla, ya que si al final el campo total externo no puede ser uniforme, como al principio.

La idea de integrar la distribución de carga e imponer que la fuerza sobre la varilla sea cero, la he pensado, con idea del campo nulo, que es igual, pero el problema es que al integrar hay puntos de integración donde hay carga y la distancia a ella es cero y el campo en esos puntos no está definido.
Ese sería un problema a salvar que veo bastante difícil.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola no estoy tan seguro que tu crítica corresponde al caso, ahora estoy sin tiempo y escribiendo desde un móvil, no tengo una PC a mano, pero te diría que en el caso de como estamos mirando la varilla, estamos considerando que el diámetro de esa varilla es cero Pero podemos ponerle un radio que pueda ir aumentando para agrandar la superficie, que entrents contra las caras  y eso si te fijas va a ir prigresando de modo que la carga inducida por el campo eléctrico de las placas concentra la carga sobre las caras enfrentadas al campo. Eso quiere decir que las cargas estan lo mas cerca a las placas posible.
Estoy de acuerdo con que el potencial en la varilla tiene que ser constante, pero si no tuviera esas cargas los extremos la varilla no podría ser constante, justamente porque el campo se podría ser paralelo y arrastraría a las cargas ,entonces teniendo las cargas en los extremos ese campo es compensado y termina en un equilibrio, con el campo nulo perpndicular sobre la superficie
De ninguna manera estoy diciendo que la lineas de campo del conjunto placas + varillas vaya a permanecer inalterado y que se va a conservar la dirección perpendicular a las placas sino que se curva en dirección a la carga inducida .Pero las cargas inducidas van a quedar en el extremo de la varilla no van a quedar a mitad o cualquier otra fracción de camino .

[sedeort]

Tengo buenas noticias. Y es que creo que el problema tiene solución tal y como lo planteé (otra cosa es que la solución sea analítica o numérica).
Al menos he superado el mayor escollo que había encontrado hasta ahora.

Recordemos el planteamiento:
El campo eléctrico interno en un punto genérico \( a \) de la varilla se obtiene integrando a lo largo de toda la varilla y debe ser el opuesto al externo \( E_0 \)
\( E_i(a)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\frac{\lambda(x)  dx}{(x-a)^2}=-E_0 \) ; cumpliéndose esta ecuación \( \forall{}a\in{}(0,L) \)
Y otra condición es que la carga total de la varilla sea nula. O sea:
\( \displaystyle\int_{0}^{L}\lambda (x) dx =0 \)
La función \( \lambda (x) \) es la que buscamos.

Por las características y orientación del campo externo y varilla podemos adelantar que
la densidad de carga \( \lambda(x) \) en la varilla debe ser negativa en su primera mitad y positiva en la segunda. También debe tener un cero en el centro y ser simétrica (o impar) respecto a este punto.

He hecho varias pruebas de funciones.
Primero probé con funciones con máximas densidades en los extremos de la varilla. Me salía un campo interno infinito en estos extremos (escollo del que hablé). Y yo pretendo que me salga siempre un campo finito, incluso en los extremos, \( -E_0 \).
Para evitar esto, después probé con funciones de densidad con ceros en los extremos. Por ejemplo, del tipo diente de sierra o seno. Ambas también me han dado algún termino infinito del campo interno en los extremos.
Y ya casi tirando la toalla, he decidido probar con funciones de densidad que se anulen en los extremos y ademas tengan pendiente nula.

La función con la que he probado, y que cumple todos los condicionantes anteriores, ha sido:  \( \lambda(x)=A·x^2·(x-L/2)·(x-L)^2 \)
(La constante \( A \) serviría para converger al determinado \( E_0 \)).
He integrado para obtener el campo interno en un extremo de la varilla y me sale un valor ¡finito!: \( E_i(0)=- \displaystyle\frac{A}{4 \pi \epsilon _0} \displaystyle\frac{L^4}{12} \)

EUREKA!

Esto significa que es muy probable que exista siempre una distribución de carga real que origine un campo interno constante en todos los puntos de la varilla (incluso en sus extremos). Es cuestión de modificar "ligeramente", a conveniencia, la forma de esta distribución con la que he tenido éxito, si no por métodos analíticos por métodos numéricos, para obtener la solución deseada. No digo que \( \lambda(x) \) sea del mismo tipo que este polinomio de prueba pero sí muy parecida en forma y con los mismos condicionantes que destaqué en negrita.

[robinlambada]

Hola no estoy tan seguro que tu crítica corresponde al caso, ahora estoy sin tiempo y escribiendo desde un móvil, no tengo una PC a mano, pero te diría que en el caso de como estamos mirando la varilla, estamos considerando que el diámetro de esa varilla es cero Pero podemos ponerle un radio que pueda ir aumentando para agrandar la superficie, que entrents contra las caras  y eso si te fijas va a ir prigresando de modo que la carga inducida por el campo eléctrico de las placas concentra la carga sobre las caras enfrentadas al campo. Eso quiere decir que las cargas estan lo mas cerca a las placas posible.

No entiendo a que te refieres  con que el diámetro es cero pero el radio no y este último puede aumentar.

Estoy de acuerdo con que el potencial en la varilla tiene que ser constante, pero si no tuviera esas cargas los extremos la varilla no podría ser constante, justamente porque el campo se podría ser paralelo y arrastraría a las cargas ,entonces teniendo las cargas en los extremos ese campo es compensado y termina en un equilibrio, con el campo nulo perpndicular sobre la superficie

precisamente las cargas en los extremos de la varilla hace que el campo no sea cero a lo largo de la varilla, es decir no compensa al campo externo uniforme, ya que el campo que produce tu propuesta siguiente:

\( \lambda=\left\{\begin{matrix} -Q & x=0 \\ 0 & 0<x<l \\ +Q & x=l \end{matrix}\right. \)

Si integras esa densidad de carga en un entorno de \( x=0 \) ó de \( x=l \) obtienes que la carga es cero.

Creo que querías poner esto.

\( \lambda=-Q\cdot{}\delta(x) +Q\cdot{}\delta(x-l)  \)  con \( \delta(x)\equiv{}\text{ delta de Dirac} \)

De todas formas esa distribución de carga en los extremos genera el siguiente campo en un punto genérico "x" del segmento que las une ( un punto x de la varilla) como este:

\( \vec{E}_{varilla}=\displaystyle\frac{Q}{4\pi \epsilon_o}\left({     \displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{(l-x)^2}}\right)\vec{e}_x \)

Que evidentemente no es uniforme, sino que depende de la posición "x" en que se mida, por tanto no puede anular un campo uniforme

.Pero las cargas inducidas van a quedar en el extremo de la varilla no van a quedar a mitad o cualquier otra fracción de camino .

Esto como te acabo de mostrar es falso.

Saludos.

[robinlambada]

Hola:

Hola. El tema de la placa metálica infinita y "aislada" fue apasionante y la resolución de Richard aún sigue coleando.
En ese tema propuse otro problema en el que estoy interesado y que tampoco encuentro la solución (porque me atranco en lo que podría llamar una  "ecuación integral" que no sé resolver).
Pasamos de la infinitud bidimensional a la discreción en una.


Calcular la distribución lineal de carga \( \lambda (x) \) en una varilla metálica de longitud \( L \), neutra, aislada y alineada con un campo eléctrico externo \( E \) constante en módulo y sentido (por ejemplo, el creado en el interior de un condensador).
Si lo veis necesario podéis considerar que la carga eléctrica total, de cada signo, que contiene la varilla es \( Q \).

El sistema de referencia es arbitrario. Por ejemplo, colocamos el origen de coordenadas en un extremo de la varilla de longitud \( L \) y el eje \( X \) coincidiendo con ella.
El campo eléctrico externo es constante y le damos la forma \( \vec{E}=E_0\hat{i} \) , con \( E_0>0 \). (campo y varilla están alineados).
En estas condiciones, en la varilla se inducirá una polarización, los fluidos de carga  se moverán y en cada punto aparecerá una densidad lineal de carga \( \lambda (x) \). Esta función es la que pretendemos determinar.

El planteamiento físico que propongo se basa en suponer (¿posiblemente sea erróneo?) que a lo largo de la varilla se generará un campo eléctrico que llamo "interno", \( E_i \), debido a la polarización, que intenta contrarrestar al externo. Estos dos campos deberán ser de igual módulo pero diferente sentido (¿?).

Resolución:
El campo eléctrico interno en un punto genérico \( a \) de la varilla se obtiene integrando a lo largo de toda la varilla y debe ser el opuesto a \( E_0 \)
\( E_i(a)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\frac{\lambda(x)  dx}{(x-a)^2}=-E_0 \) ; cumpliéndose esta ecuación \( \forall{}a\in{}(0,L) \)
Y otra condición es que la carga total de la varilla sea nula. O sea:
\( \displaystyle\int_{0}^{L}\lambda (x) dx =0 \)

¿Cómo saco de aquí la expresión analítica de la función \( \lambda(x) \)? Será necesario aplicar métodos numéricos?

Vosotros diréis cómo haríais esta "ecuación integral" o si hay que cambiar el planteamiento...
Un saludo.

No se como has conseguido integrar para calcular el campo en un punto de la varilla, supongo que con calculo numérico, pero creo que no has tenido un hecho fundamental que ya te comente,
que la integral del capo eléctrico

El campo eléctrico interno en un punto genérico \( a \) de la varilla se obtiene integrando a lo largo de toda la varilla y debe ser el opuesto a \( E_0 \)
\( E_i(a)=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\frac{\lambda(x)  dx}{(x-a)^2}=-E_0 \) ; cumpliéndose esta ecuación \( \forall{}a\in{}(0,L) \)

Es una integral impropia de 2ª especie, pues como \( \forall{}a\in{}(0,L) \) y los límites de intergración son 0 y L, llega un momento en que \( x=a \) y el denominador se hace cero.

No se si has tenido esto en cuenta (pienso que no)

Saludos.