Hola.

Y hola robinlambada, me alegra también coincidir de nuevo contigo en el foro Mucho tiempo!

A ver respecto del post... Lo que yo había hecho fue esto: para una corriente filamental tendríamos que, aplicando el mismo desarrollo que en mi primer post:

 
\( \displaystyle \nabla \cdot \mathbf{A}=\nabla \cdot\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \frac{I^{\prime} d \mathbf{s}^{\prime}}{R}\right)\underbrace{=}_{\text{ I' corriente estacionaria}}\frac{\mu_{0} I^{\prime}}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \nabla \cdot\left(\frac{d \mathbf{s}^{\prime}}{R}\right) = -\frac{\mu_{0} I^{\prime}}{4 \pi} \oint_{C^{\prime}} \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{R}\right) \cdot d \mathbf{s}^{\prime}\underbrace{=}_{\text{stokes}}-\frac{\mu_{0} I^{\prime}}{4 \pi} \int_{S^{\prime}}\left[\nabla^{\prime} \times \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{R}\right)\right] \cdot d \mathbf{a}^{\prime} = 0  \)

Y generalicé ese resultado para distribuciones de densidades de corriente asumiendo que ésta se podía dividir en sus componentes escalares y aplicar el mismo resultado a cada una de sus componentes. Sí que es cierto que, como comenta geometracat, necesitas una 3-variedad sin borde, pero es lo que yo asumí, puesto que en alguna de las páginas anteriores vi que se evaluaban esas integrales sobre todo el espacio pero pensándolo bien no sé, no tiene mucho sentido porque esa integral se cumple también para volúmenes finitos. Así que un desarrollo alternativo sería este:

Reescribamos la integral dada como \( \displaystyle  -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \boldsymbol{j}(2)  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \) siguiendo los pasos de mi primer post. Me deshago de las constantes antes de la integral que molestan, y para el siguiente análisis no influyen en nada,  y reescribo la integral sin más como \( \displaystyle  \int \boldsymbol{j}(2)  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \). Ahora, dado un abierto \( V_2 \subset \Bbb R^n \) (en este caso \( n=3 \) pero así queda la generalización para dimensiones superiores aunque ahora que lo pienso no sé qué significado tendría esto en física jeje) con frontera \( \Gamma=\partial V_2 \) entonces la integración por partes sobre \( \mathbf{F}  \cdot   \nabla u \) nos dice que

\( \displaystyle  \int_{V_2}\mathbf{F}  \cdot   \nabla u \space d V_2 =\int_{\Gamma} u \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} d \Gamma-\int_{V_2} u \nabla \cdot \mathbf{F} d V_2 \)

Identificando el volumen sobre el que se integra en la integral dada como \( V_2 \) e identificando \( u \to \frac{1}{r_{12}} \) y \( \mathbf{F} \to \boldsymbol{j}(2) \) tenemos que

\( \displaystyle  \int_{V_2} \boldsymbol{j}(2)  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) d V_{2} =  \int _{\Gamma}\frac{\boldsymbol{j}(2)}{r_{12}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d \Gamma - \int_{V_2} \frac{1}{r_{12}} \nabla \cdot \boldsymbol{j}(2)  d V_{2}  \)

Ahora bien, \(  \boldsymbol{j}(2) \) es una corriente estacionaria y como el volumen \( V_2 \) debe encerrar a todas las corrientes que generan el vector potencial \(  \boldsymbol{A} \), podemos hacer \( V_2 \) suficientemente grande (\( V_2 \to \infty) \) tal que la densidad de corriente no cruza la frontera \( \Gamma \), esto es, la densidad de corriente en la frontera de \( V_2 \), \( \Gamma \), es nula, luego la integral \( \displaystyle \int _{\Gamma}\frac{\boldsymbol{j}(2)}{r_{12}} \cdot \hat{\mathbf{n}} d \Gamma \) es cero. La otra integral también es cero pues \( \nabla \cdot \boldsymbol{j}(2) = 0  \) y esto es porque las componentes de \( \nabla \) que operan sobre \( \boldsymbol{j}(2) \) darán cero pues \( \boldsymbol{j}(2) \) depende de las componentes del vector \( \vec{r}\,' \) mientras que  \( \nabla \) depende de las componentes del vector \( \vec{r}_{12} \), y así \( \displaystyle  \int_{V_2} \boldsymbol{j}(2)  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2}  = 0 \) y \( \nabla \cdot  \boldsymbol{A} = 0 \)


Pd: Leyendo vuestros posts me he dado cuenta que en el fondo hemos hecho lo mismo (que en este post me refiero).


Saludos.

Sí entiendo, pues mira, doble ejercicio que te llevas Lo único, quería que te dieses cuenta de que para hablar de continuidad, has tenido que estudiar los límites laterales de la función, por definición de continuidad, vaya. Y según tu comentario, lo que me da a entender es que dices que es continua y con eso justificas la existencia de los límites laterales pero, de nuevo, para saber que es continua, has tenido que estudiar los límites laterales (argumento circular), a no ser que te hayan dicho que es continua en el enunciado.

Saludos.

Hola.

\( \nabla \cdot J = 0 \) se verifica para corrientes estacionarias o constantes. De hecho, es parte de la condición de que la carga neta se conserva (y se deduce de ahí). Para comprobar que la integral es nula, observa que

\( \displaystyle \nabla \cdot A(1)=\nabla  \cdot \left ( \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{\boldsymbol{j}(2) d V_{2}}{r_{12}} \right ) = \frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla \cdot \frac{ d V_{2}}{r_{12}}  \) y nota que \( \displaystyle \nabla \cdot\left(\frac{d V_{2}}{r_{12}}\right)=d V_{2} \cdot \nabla\left(\frac{1}{r_{12}}\right)+\frac{1}{r_{12}}\left(\nabla \cdot d V_{2}\right)=-\nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2}  \) puesto que \( \nabla \cdot d V_{2}=0 \) ya que  \( d V_{2} \) es constante respecto de las componentes de \( \vec{r}_{12} \) (mira la nota al final del post si tienes dudas de esto) (esta aproximación obviamente no se cumple a pequeña escala y la integral y casi toda la electrodinámica de campos deja de cumplirse).

Mejor ignorad las siguientes dos líneas.

Ahora, reescribiendo la integral con esto último, usando el teorema de stokes  y que el rotacional de un gradiente es cero, obtienes el resultado:

\( \displaystyle \frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla \cdot \frac{ d V_{2}}{r_{12}} = -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int  \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right) \cdot d V_{2} \underbrace{=}_{\text{stokes}} -\frac{\boldsymbol{j}(2)}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \underbrace{\nabla^{\prime} \times \nabla^{\prime}\left(\frac{1}{r_{12}}\right)}_{=0} \cdot d^4\tau   = 0   \).

Nota: \(  \nabla^{\prime} \) hace referencia a que evalúa el operador \( \nabla \) respecto de las coordenadas de \( dV_2 \) (implícitamente, lo que significa es que \( {\vec{r}\,}'
 \) es el vector que va desde el origen al elemento \( dV_2 \), \( \vec{r} \) es el vector que va desde el origen al extremo final de \( \vec{r}_{12} \), y \( \vec{r}_{12} = \vec{r} - {\vec{r}\,}'  \). Naturalmente, las coordenadas de \( {\vec{r}\,}' \) y \( \vec{r} \) son independientes, y así \( \nabla ({{r}\,}') = \nabla^{\prime} {r} = 0 \))

Saludos.

Sí, es correcto. Lo único que no sé bien a dónde quieres llegar con

Es continua, luego los límites laterales existen

Saludos.

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No sé si os he comprendido bien. Francis es un radical a favor del rigor, la divulgación correcta sin paripés, la crítica con argumentos sólidos ... además de un entusiasta, prolífico, prestigioso, PhD Maths y experto en otros campos y requerido para los más diversos asuntos.
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Yo hablaba en general, no me refería en concreto a esa persona.

Saludos.

Hola.

Mmm no a ambas. Para la primera, fijado un \( r \in \Bbb{R} \) deberías definir \( \dfrac{1}{\delta} > r^{3/2} \) de modo que para \( 0 <|x|<\delta \) se tiene que \( x < \delta < \dfrac{1}{r^{3/2}} \) y así \( \dfrac{1}{x^{2/3}} > r \) (asumiendo que has querido decir \( x^{2/3} \) y no \( x^{1/3} \) que en esencia sería lo mismo sólo que tendría que ser \( x\to 0^+ \))

Para la segunda... es un límite algo complejo. Si \( a\in \Bbb R \) entonces debería ser \( x \to 0^{+} \) ya que hay casos donde no está definido el límite por la izquierda (ej \( x^{1/3} \)). Para \( a \in \Bbb Q \) pasa algo parecido. si \( a = b/c \) entonces tendríamos que tener que \( b= 2n \) para algún \( n\in \Bbb N \) (o sea \( b \) ha de ser par). En caso contrarío el límite no está definido.

Saludos.

Hola.

Es que estás comparando la primera entrada de un vector con un vector. Aparte de eso, le estás dando a la segunda posición del vector a el valor fijo n, que es 7. Lo que intentas se podría hacer así:

minlista (L) := block ([n,a,i,k],
n:length (L),
k:1,
a:[L[1],1],
for i from 1 thru n do
(if a[1]> lmin(L) then k:k+1,a[1]:L[k], a[2]:k),
    a)$;
Saludos.

Hola.
A partir de la tercera igualdad, observa que  \( \displaystyle\sum_{i=1}^n \left ( E(\overline{X}^2)-2E(X_i\overline{X}) \right )= n E(\overline{X}^2)- \sum_{i=1}^n  2E(X_i\overline{X}) =  n E(\overline{X}^2)- 2 n E(\overline{X}^2) = - n E(\overline{X}^2)  \). Además tenemos que \(  E(\overline{X}^2) = \mu^2 + \dfrac{\sigma^2}{n}  \) Por tanto:

\(   \begin{eqnarray} E(S^2)&=&E\left (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})^2}) \right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{E(X_i^2)+E(\overline{X}^2)-2E(X_i\overline{X})}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{E(X_i^2)- n E(\overline{X}^2)} \\ &=& \frac{1}{n}\left ( nE(X_i^2)- n E(\overline{X}^2) \right) = \frac{1}{n}( n(\mu^2 + \sigma^2) - n(\mu^2+\sigma^2/n)) = \frac{\sigma^2 (n-1)}{n} \end{eqnarray}  \)


Saludos.

¿No es que la propiedad de DeMorgan asegura que, si \( A,B \) son conjuntos y \( \overline{\color{white}aa} \) indica el complemento, \( \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \)?

\( \overline{A} \) es la clausura de un conjunto. Cuando dije "En general" me refería a "En general, en el espacio topológico \( (X,T) \)".

Saludos.

Una pista para cada uno:

Tienes que \( U \cap \overline{A} \subset U \subset \overline{U} \) y que \( U \cap \overline{A}  \subset \overline{A} \). En general, también que \( \overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B} \).

Para el siguiente: sea \( x \in U \). Si E es un entorno de \( x \) tenemos que \( E \cap D \neq \emptyset \) por ser D denso. Pero entonces \( E\cap U \) también es un entorno de \( x \) y así \( E \cap U \cap D \neq \emptyset \).