Hola, muchas gracias por tu revisión y comentarios:
2) La nota 3 de la página 11, es discutible o al menos poco clara. Si y son múltiplos de es cierto que tu expresión del Lema 2 queda:
\( z^n=\dfrac{(x-y)(x-y)^{n-1}A_1^n}{A_2^n}=\dfrac{(k_1)^nA_1^n}{k_2^n} \)
pero eso no sustituye la expresión inicial, es decir, no podemos afirmar que:
\( z^n=\dfrac{(x'-y')(x'-y')^{n-1}A_1^n}{A_2'^n} \)
con \( x'-y',A_2' \) no múltiplos de \( n \)
Estoy de acuerdo contigo, pero creo que podemos considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)
ya que en caso de que lo fuera \( (x-y)=a.n \),\( x=a.n+y \) y partiendo de que \( (x,y,z) \) sean coprimos, podemos poner el término
general del UTF como \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
y para el caso particular de \( n=3 \) nos queda \( z^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2+y^3-y^3 \) luego \( 3 \)
divide a \( z^3 \) y a \( z \). Poniendo \( z=3.k \) nos queda \( z^3=(3.k)^3=(3a)^3+3.(3a)^2.y+3.y^2 \)
y esto implica que \( y^2 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \) y contradice que \( z \) sea coprimo con \( y \). ¿Es correcto?
La demostración del lema 7.1 no me queda clara.
-- Por ejemplo la afirmación i) de la página 18 donde dices que , no la veo suficientemente justificada.
-- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).
Al final de la página 17 se ve que \( M \) tiene que ser múltiplo de \( n \) y en \( M=n.M_{u_1} \) considero
3 casos según los divisores de \( M_{u_1} \):
En iii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( y \)
En ii) y para el caso particular \( n=3 \) se puede ver que
\( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( x-z=y-b \) y \( M_{u_1}=(z+y)=(x-y)+(y+b) \)
ya que \( M=3.M_{u_1} \), \( M_{u_1}=(x-y)+(y+b) \) y esto no puede ser ya que \( 3 \) no lo es de \( (x-y) \)
- La demostración del lema 7.2 tiene el error (troncal) que te indiqué en el post anterior.
Sí, como dices hay que considerar \( (x-y).(y-n.p.q.r).M=n^n.p^{n}.q^n.r^n \). Como \( M \) es múltiplo de \( n \)
podemos poner
\(
(y-n.p.q.r)=p^n \)
\( M=n^n.q^{n}
\)
\(
(x-y)=r^n
\) y llegar a
\( (r^n+p^n+n.p.q.r)^n-(p^n+n.p.q.r)^n -(r^n+n.p.q.r)^n=0 \) y el Corolario 7.3 no se puede aplicar ya que
\( (r^n+p^n+n.p.q.r)^n-(p^n+n.p.q.r)^n -(r^n+n.p.q.r) \) puede ser mayor o menor que cero dependiendo del valor de \( q \) (...)
Sin embargo para el caso particular \( n=3 \) tenemos que \( M=3^3.q^{3}
\) tiene que ser igual a
\( M=3((x-y)+(y+b))=3(x+b)
\). Como \( x=r^3+p^3+b
\), y \( b
\) tiene a \( q
\) como divisor, tenemos que encontrar
\( r \),\( p \) de modo que \( 3.(r^3+p^3) \) sea múltiplo de \( 3^3 \) y ¿Esto no es posible por la misma explicación
que he dado antes para considerar en la prueba que \( (x-y) \) no sea múltiplo de \( n \)?
Ahora para \( n=5 \) tenemos que
\( M=5.(a^3+2.a^2.(y+b)+2.a.(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2.b+y.b^2+b^3))=5^5.q^5 \)
con \( a=(x-y)=r^5 \),\( y=p^5+b \)
Pero no tengo explicación para esto
Saludos
