1) En primer lugar os dejo un video muy explicativo de la divergencia de un campo en el explica muy bien su significado intuitivo con mucha sencillez.
Me resulta importante hacer notar la similitud entre los siguientes campos que adjunto en el dibujo:
Figura 1
El comportamiento de ambos campos definidos por esas líneas de campo son semejantes en cuanto al de flujo y la divergencia del campo en Sn y Vn.
En ambos casos tenemos que el flujo del campo a través de Sn es >0, pero con la diferencia que en el caso de la partícula eléctrica positiva existe una carga dentro de la superficie Sn mientras en el 2º caso no existe ninguna partícula creadora del campo dentro de la superficie Sn.
Esto es importante tenerlo claro para seguir en el razonamiento.
Ahora en los siguientes puntos, lo que voy a exponer es que este tipo de campos gravitatorios del 2º tipo existen dentro de las esferas huecas.
2) Quiero que seamos conscientes de varias cosas:
a) Los simulador de líneas de campo eléctrico o gravitatorio, utiliza las ecuaciones del campo eléctrico o gravitatorio para calcular la intensidad del campo resultante en cada punto , las líneas que se dibuja son tal que el campo es tangente a éstas y el sentido de las líneas coincide con el del vector campo. Es decir el simulador realizar los cálculos numéricos de los campos representados en un diagrama o dibujo según he indicado anteriormente.
b) Las líneas de campo parten de las partículas y llegan a su fin a un lugar donde el campo se anula. Es decir o bien en el infinito o en un lugar geométrico dónde el campo se anule.
c) Para una superficie cerrada gaussiana determinada que definamos, cuando las líneas de campo entran en esta superficie implica que el flujo del campo en ese punto es negativo y si salen es positivo. Contabilizando el nº de líneas que entran o salen de ésta es indicativo del flujo del campo total en esta superficie.
d) Si el nº de líneas de campo que entran es igual a la que salen de esta superficie, el flujo del campo es cero, pero si existe diferencia entre el nº de estas entradas y salidas de líneas el flujo es distinto de cero.
Entonces para los casos de líneas de campo que expuse , para analizar el signo del flujo de campo es muy sencillo, se trata de analizar el nº de líneas de campo que salen y que entran de la superficie gaussiana que he explicado.
Para mí esto es muy claro.
dibujo 2
Pues hagamos el ejercicio para el caso de 8 partículas, que por resolución de la imagen se puede hacer perfectamente, en el caso
El resultado, salvo, error en alguna línea al contar:
Nº líneas de campo que salen de la superficie gaussiana (representada por la circunferencia en rojo)---> 41 Líneas
Nº líneas de campo que entran en la superficie gaussiana ---> 0 lineas, debido a la cercanía de las partículas contiguas no entra ninguna línea de campo. Si la distancia fuera mayor entre ellas, sí entrarán líneas de campo.
Es decir, para la superficie gaussiana que utilicemos que contenga a estas líneas de campo (que salen del centro y terminan en las partículas) va haber un aporte de flujo y de divergencia del campo positivo.
Con esta distribución de líneas de campo si juntamos las partículas tanto que no hay separación entre ellas, es decir formando una circunferencia, resultará que este efecto anterior (sobre el flujo y la divergencia) se hará mucho mayor y todas las líneas de campo ,que estén en el plano que contenga a la circunferencia, del interior de la circunferencia, partirán del centro donde el campo se anula y terminarán en las partículas. Esto es lo que se aprecia en el ejemplo de 32 partículas.
Y si formamos infinitas circunferencias a éstas para formar una esfera hueca, el efecto final será que absolutamente todas las líneas de campo del interior partirán del centro de la esfera y terminarán en la superficie de las partículas que forman la esfera hueca.
Por lo tanto usando el cálculo numérico de los simuladores hemos llegado a que:
Siempre en una distribución másica de una esfera hueca, las líneas del campo parten de las partículas de masas y llegan al centro geométrico donde el campo se anula. No puede ser de otra forma pues las líneas de campo no atraviesan la materia, pero sí deben terminar en el lugar que el campo se anule.
Con esta distribución de líneas siempre el flujo de una superficie gaussiana en el interior del hueco va a tener un flujo distinto de cero, positivo y por lo tanto una divergencia positiva en el volumen de la superficie gaussiana.
e) Para entender por qué en las superficies gaussianas dentro de una esfera hueca la divergencia es positiva (,aún sin contener masa en esta superficie gaussiana ) deciros que esto es debido a que la expresión del campo dentro del hueco no se parece en nada al campo de una partícula individual, como veis en las líneas de campo de 8 y 32 partículas
- Una partícula individual de masa, el campo es de tipo radial y su módulo es \( g=\frac{GM}{r^2} \): Es infinito en la propia partícula y va disminuyendo hasta llegar a cero en el infinito. En este caso la divergencia es cero para todo punto que no esté la partícula. ya que
\( div g = \frac{1}{r^2}\left ( \frac{\partial}{\partial r}\frac{r^2GM}{r^2} \right ) = div g = \frac{1}{r^2}\left ( \frac{\partial}{\partial r}GM \right ) =0 \).
- Una esfera hueca, crea en el hueco interior, una campo radial también, pero parte de cero en el centro de la esfera para ir aumentando en valor hasta llegar a un valor finito en cualquier parte de la superficie interior.
La expresión algebráica es muy distinta y no va a ser del tipo \( \frac{k}{r^2} \). Por ello la divergencia de este campo no se anula en los puntos interiores de la esfera hueca.
Un ejemplo de campo gravitatorio radial dentro del hueco de la esfera hueca con una masa M, radio R y \sigma:
\( g=g_o\left ( 1- \alpha \frac{\left ( R-r \right )^2}{r^2}\right ) \) \( R\leq r\leq r_o \) donde \( r_o \) >0 / g(ro)=0
\( r_o< r\leq 0 \) donde \( g_o= \frac{GM}{2R^2} \)
donde \( \alpha \varepsilon \Re \) y \( \alpha \) >0 / \( \alpha =\frac{r_o^2}{\left ( R-r_o \right )^2} \) (es el coeficiente que hace que se anule el campo para \( r_o \))
Si calculamos la divergencia de este campo (en coordenadas esféricas, en un sistema colocado su origen en el centro de la esfera hueca) en una superficie esférica gaussiana de radio R-\( [tex] \)\epsilon[/tex] cuando \( \epsilon \) --> 0.
Si suponemos que\( r_o \) --> 0 (pa\( \)ra hacer coincidir el punto de campo nulo con el origen de la esfera) entonces \( \alpha --> 0 \). Con estas premisas
El resultado es: \( div g= 2\pi GM \) > 0 y esto es la mitad del flujo total gravitatorio total debido a la masa M de la esfera hueca. ¿Os suena esto?.
3) En este punto quiero tratar de explicar cómo se forman las líneas de campo de los diagramas anteriores, cuando las partículas de unen formando circunferencias y esferas.
Supongamos un sistema de referencia en coordenadas esféricas (\( \rho, \theta,\phi \)), en cuyo origen ponemos una masa puntual con una masa m1. Supongamos que queremos calcular el campo gravitatorio que crea esta partícula en un punto cualquiera del espacio, P, sea g_1 este campo. Supongamos que ponemos otra masa puntual de masa m2=m1, en la línea que une la partícula m1 y el punto P, a una distancia R y queremos calcular también el campo resultante en P debido a las 2 partículas puntuales, para cualquier punto de la recta que une estas 2 partículas (pero r>0 y r<R)
Dibujo 3
En todos los casos tanto el vector g1 como g2 son vectores que sólo tienen componente radial, por lo que g_p será un vector en la dirección radial, con lo que en módulo tendremos:
suponemos que m1=m2=m
\( g_P=g_1+g_2=Gm\left ( \frac{-1}{r^2}+\frac{1}{\left ( R-r \right )^2} \right )
\)
donde podemos ver claramente que en el punto de la recta que dista de m1 \( \frac{R}{2} \), su gravedad \( g_P=0 \) y hacia la derecha de este punto el campo aumenta pero con sentido positivo del vector radial mientras a la izquierda el campo aumenta pero el sentido del campo es en sentid contrario. Esto supondría una línea de campo así:
dibujo 4
Es decir, en el punto equidistante de ambas partículas el campo es cero y la línea de campo sale a la derecha hacia m2 y hacia la izquierda hacia m1. Volviendo a lo explicado en el video inicial. Si ponemos unas partículas en torno al punto campo 0, estas partículas que caigan en esta recta, divergerán hacia las partículas.
Bien pero que pasa si seguimos poniendo más pares de partículas a lo largo de la circunferencia de diámetro R en la que estaría las 2 masas?. Pues para cada par de partículas dispuesta en una distribución simétrica, aparecerán otra línea de campo como esta anterior.
dibujo 5
Esto mismo es lo que se obtiene en las líneas de campo para 8 y 32 partículas.
Y así sucesivamente, hasta formar toda una circunferencia continua y una esfera hueca continua.
Y esa divergencia que se observaba entre las 2 partículas se ve amplificada cuando tenemos una circunferencia y en una esfera hueca debido a que se crea un campo radial que tiene un valor nulo en el centro de la esfera hueca y un valor finito en la superficie interior que forma las partículas de la esfera hueca. Los simuladores de líneas de campo no se equivocan, esta es la realidad y estas son las conclusiones.
En el interior de una esfera hueca existe un campo radial, y que cualquier esfera gaussiana del interior de la esfera hueca, tendrá un flujo positivo y una divergencia positiva pero sin masa en su interior.
Un saludo.
