1) Carlos, te cojo la representación gráfica del campo gravitatorio en el interior de un anillo, en el plano del propio anillo, en función de la distancia al centro del anillo.
Este campo en estos puntos (que están en 2D), es un campo radial, pero resulta que su módulo aunque es función de r, pero no es del tipo \( \frac{k}{r^2} \), ya que la gravedad debe tomar valores de 0 para r=0 y infinito para valores de r=1 , lo cual es imposible con funciones del tipo \( \frac{k}{r^2} \).
La divergencia calculada en cada punto de esta superficie interior del aro sería:
\( div g\left ( r \right ) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial x}\left ( r^2 g\left ( r \right ) \right ) \)
a) Si \( g \left ( r \right ) \) fuera del tipo \( \frac{k}{r^2} \) entonces
\( div g\left ( r \right )= \frac{1}{r^2}\left ( \frac{\partial}{\partial r}\ k \right ) = 0
\)
b) Pero aquí está lo importante es que resulta que a) no se cumple por lo explicado arriba y por tanto, tenemos que el término a derivar--> \( r^2 g \left ( r \right ) \) ya no es una constante y al derivar no se anulará, sino que este término, va a depender de r y por lo tanto la \( div g\left ( r \right ) \neq 0 \).
Es decir, la divergencia en esta zona del espacio en estudio, donde no hay masa alguna, es distinta de cero.
Otra consecuencia que se deduce es que si queremos calcular el campo gravitatorio en un punto exterior del anillo mediante el teorema de Gauss, debemos de utilizar superficies gaussianas que englobe tanto al punto deseado como a un punto simètrico en el interior, pues sino lo hacemos así y utilizamos una única superficie gaussiana exterior, provocará que el resultado obtenido será erróneo, por no tener en cuenta el flujo que este anillo está generando en su interior. c) Como he mostrado las líneas de campo salen del centro del anillo y llegan a la masa del anillo de forma radial, y apoyándome en el vídeo que os envié, esta divergencia es positiva, pues si colocamos masas en torno al centro del anillo (en su plano siempre) éstas disminuirán su concentración de partículas y por lo tanto la divergencia es positiva.
dibujo 1.
Por lo tanto cualquier esfera gaussiana cerrada de radio Ra, centrada en el centro del anillo y con un radio Ra< R, tendrá un aporte en la divergencia del campo en este volumen de la superficie gaussiana , positiva debido a todos estos puntos del plano del interior del anillo, el resto de punto como no hay masa alguna, su divergencia del campo será nula.
Por lo tanto con esto se demuestra que la divergencia total es positiva para una región como la que hemos definido donde no hay masas. 2) Para entender mejor este resultado anterior y entender qué es lo que pasa realmente propongo de nuevo el ejercicio del cálculo de la divergencia del sistema de 2 partículas de masas puntuales, como expliqué en mi mensaje anterior, pero calculándola en 2 tipos de puntos (excluidos los puntos donde hay masa)
Dibujo 2 masas.
a) Puntos que están en la línea recta de unión de las 2 partículas, pero entre ambas partículas, exceptuando los puntos donde están las 2 masas, denominado por P.
b) El resto de puntos del espacio denominado por P_1
Cálculo de la divergencia:
- Caso b) Sea el punto \( P_1 \), dibujado en el esquema, el campo que crea cada partícula es un campo radial, cada uno con módulo del tipo \( \frac{-k}{r_i^2} \), es decir, para \( r_i =0 \) es infinito y para \( r_i \)=infinito su valor es cero . Con esto la divergencia de este campo debido a las 2 masas en este punto P_1 es:
\( div\overrightarrow{ g}\left( \overrightarrow{P_1}\right)=div \left(\overrightarrow{g_1}\right) \left ( \overrightarrow{r _1}\right ) +\overrightarrow{g_2}\left ( \overrightarrow{r _2}\right )= 4\pi \delta\left (r_1 \right )+4\pi \delta\left (r_1-R) \right )
\)
como el punto P1 no hay ninguna masa, entonces
\( div\overrightarrow{ g}\left( \overrightarrow{P_1}\right)=0.
\)
- Caso a) Sea el punto P dibujado en el esquema, el campo que se crea a lo largo de la recta es completamente distinto al caso anterior ya que este campo vale \( g(\frac{R}{2}= 0 \)y luego tiene a -infinito para r=0 y para r=R. Calculemos el campo que hay en cada uno de estos puntos:
\( \overrightarrow{g_P}=\overrightarrow{g_1}+\overrightarrow{g_2}=Gm\left ( \frac{-1}{r^2}+\frac{1}{\left ( R-r \right )^2} \right )\overrightarrow{u_r}=
\)
Calculamos la divergencia del campo en estos puntos P:
\( div \overrightarrow{g_P}= \frac{1}{r^2}\left ( \frac{\partial}{\partial r}r^2 \left\|g_P \right\| \right )= Gm\frac{1}{r^2}\left ( \frac{\partial}{\partial r} \frac{r^2}{ \left (R-r \right )^2} \right )
\)
calculando la derivada parcial y operando tenemos:
\( div \overrightarrow{g_P}= 2Gm\frac{R}{r\left ( R-r \right )^3} > 0 \) pues R>r y r>0
En resumen para todos los puntos de la línea recta que une las 2 partículas (excluimos los puntos que están las 2 partículas) la divergencia del campo gravitatorio es positiva. Por lo que no es extraño el resultado que hemos obtenido en el caso del anillo, como hemos visto antes.
Decir que este efecto desaparece cuando las masas m1 y m2 las juntamos haciendo R=0. Es decir, cuando las masas se hacen macizas la divergencia positiva desaparece.
He estado revisando demostraciones del teorema de gauss y os puedo decir que en todos los casos lo que se observa es siempre el cálculo del campo en un punto exterior de la estructura másica y la masa está formando una estructura maciza. Pero los resultados se han extrapolado para todo tipo de estructuras de masas.
Este es el error, pues al tener huecos en el interior de la estructura de masa, aparecen divergencias positivas, debido a que los campos gravitatorio cambian su expresión algebraica y por lo tanto para realizar un buen cálculo del campo gravitatorio en estas estructuras huecas es necesario contabilizar estas divergencias positivas ( o flujos de campo gravitatorio) que existen en su interior, por lo que las superficies gaussianas que utilicemos deben cerrar por completo tanto el exterior como el interior de estas estructuras. En caso contrario los resultados serán totalmente erróneos.
