Hola de nuevo,
Esto es precisamente lo que he tratado de explicar en mi mensaje anterior. Está claro que el trabajo de modificación del formalismo de la integración debe ser realizada por los matemáticos y yo sólo he indicado una forma de hacerlo a través de la integración HK, pues a través de la integración Lebesgue nunca se llegará a la armonización con lo que ocurre en la realidad física.
Tú no tiene ni idea de lo que es la realidad física. Sólo hablas de la física de tu mundo de unicornios, y ya te he demostrado que el integrando que pretendes integrar no es HK-integrable, pero claro, darte a ti una demostración es como darle una bicicleta a un pez.
Me apoyaré en los cálculo que hice en el siguiente mensaje:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123119.msg517214#msg517214
A continuación una descripción más detallada:
\( \displaystyle \vec E_y = \int_{0}^{2\pi}\int_{-1}^1\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\cos\theta\,dx,d\theta\ = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{2\pi} \cos\theta \int_{-1}^1\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx, d\theta\ = \)
Por otro lado tenemos que
Fijaros que la función \( f(x) =\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} \) tiene primitiva y por tanto es integrable en HK. Entonces puedo utilizar la regla de Barrow.
Aquí está el teorema de la integración HK en el que me baso:
La función a integrar es \( f(x) =\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} \) esta función sí tiene primitiva y Carlos lo dijo en un mensaje anterior:
En realidad yo había hecho otra cosa, y es calcular la intensidad del campo gravitatorio en la semiesfera superior \( S^+ \), lo que supone considerar \( (x, \theta)\in [-1, 1]\times [0, \pi] \). Si nos fijamos concretamente en su componente \( z \), resulta ser:
\( \displaystyle \vec E_z = \int_{-1}^1\int_0^\pi\frac{G\rho R^2}{(2R^2(1-x))^{3/2}}R\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{-1}^1\int_0^\pi\frac{1}{((1-x))^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\sen\theta\,d\theta\,dx = \)
\( \displaystyle \frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{1}{(1-x)^{3/2}}\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}}{(\sqrt{1-x})^3}\,dx =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx \)
Nuevamente, la integral es impropia en \( x=1 \), y una primitiva me la ha dado Mathematica:
\( \displaystyle \vec E_z =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\sqrt{8} \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right)=+\infty \)
porque el argumento de la tangente hiperbólica tiende a \( +\infty \) en \( 1 \) por la izquierda.
Y si tiene primitiva entonces según el teorema es integrables en HK y podemos utilizar la regla de Barrow y como he explicado en mi mensaje anterior el resultado final es E_y=0, E_z=0
Disparate sobre disparate. Si \( f \) es diferenciable en \( [a, b] \), entonces tienes \( f':[a, b]\longrightarrow \mathbb R \), que es una función definida en \( [a, b] \) con primitiva en \( [a, b] \), pero tú pretendes aplicar el teorema a una función \( f:\left[-1, 1\right[\longrightarrow \mathbb R \) que no está definida en \( 1 \) y, en particular, no tiene primitiva en \( 1 \), por lo que no puedes usar el teorema que citas para concluir que es integrable en \( [-1, 1] \). Y ya te he demostrado que no lo es. Si quieres justificar que lo es, tendrás que citar un teorema que se aplique a tu función. El teorema que citas no vale, porque tu función no está definida ni tiene primitiva en el intervalo \( [-1, 1] \) en el que pretendes que sea integrable.
fijaros la integral que hay que resolver\( \vec E_z =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx \)
Fijaros que el intervalo que hay que resolver la integral es [-1,1), es decir el x=1 no está en la integración.
Por lo tanto la función \( f(x) =\frac{\sqrt{1+x}}{1-x} \) definida en el intervalo [-1,1) tiene primitiva en este mismo intervalo para todos sus puntos y por lo tanto la función es integrable en HK en el intervalo [-1,1) y por lo tanto se puede utilizar la regla de Barrow y todas las propiedades de las integrales.
En este caso tenemos que la integral de una semiesfera vale:\( \displaystyle \vec E1_z =\frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx = \frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\sqrt{8} \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right)=B \)
Lo cual es una expresión matemática determinada que restada a sí mismo sale 0. Es decir la otra semiesfera generará una gravedad:
\( \displaystyle \vec E2_z =-\frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_{-1}^t\frac{\sqrt{1+x}}{1-x}\,dx =- \frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\sqrt{8} \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right)=-B \)
Y por lo tanto si sumamos ambas expresiones
\( E_z=E1_z+E2_z= B-B=0 \) donde \( B= \frac{G\rho}{\sqrt 2}\lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\sqrt{8} \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right) \) es un límite.
No hay ninguna indeterminación, absolutamente ninguna esto es igual que si calculamos:
\( \lim_{t\rightarrow +\infty} t - \lim_{t\rightarrow +\infty} t= 0 \) No hay ninguna indeterminación.
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Las burradas que dices aquí, y que ya has repetido muchas veces, no son ni más ni menos burradas que las que dirías si afirmaras que
\( 1-1+1-1+1-1+\cdots = 0 \)
Y lo "razonaras así":
\( 1-1+1-1+1-1+\cdots = (1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots = 0+0+0+\cdots = 0 \)
Y para "corroborarlo", dijeras: "las casualidades no existen, sale lo mismo si lo pensamos de esta otra forma, aún más animal que la anterior":
\( 1-1+1-1+1-1+\cdots = (1+1+1+\cdots)-(1+1+1+\cdots) = \infty-\infty = 0 \)
lo cual es "correcto" porque estamos restando una "expresión algebraica" menos ella misma.
Y lo que no quieres ver, o tu ignorancia y tu incapacidad para usar la razón no te dejan ver, es que esa serie es divergente, y que, puestos a hacer animaladas, igualmente podrías "calcular":
\( 1-1+1-1+1-1+\cdots = 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots = 1+0+0+\cdots = 1 \).
Y que si haces que cada \( -1 \) salte dos lugares hacia la derecha, te queda:
\( 1-1+1-1+1-1+\cdots = 1+1+1-1+1-1+\cdots = 3+(-1+1)+(-1+1)+\cdots = 3+0+0+\cdots = 3, \)
y así puedes hacer que la serie "sume" cualquier número entero. Igualmente, tu integral puede "dar" cualquier número real, si en vez de cancelar cada punto de una semiesfera con el de la semiesfera opuesta, agrupas los puntos de otra forma para "calcular" la integral.
Carlos siempre con tus casos rebuscados que no tienen nada que ver para nada con los sencillos casos que aquí tratamos:
En resumen tú dices que si sumamos infinitos +1 (correspondientes a la gravedad generada por semiesfera superior por ejemplo) e infinitos -1 (correspondientes a la gravedad generada por semiesfera inferior) puede dar cualquier valor.
Ahora yo te digo si esto es así, en cualquier punto exterior a la esfera, a lo largo del eje x debería ocurrir lo mismo, pues se tendría infinitos +1 (correspondientes a la gravedad generada por semiesfera superior por ejemplo) e infinitos -1 (correspondientes a la gravedad generada por semiesfera inferior), pero en este caso resulta que el único valor posible es cero.
Lo que pase para un punto de la superficie pasará para un punto exterior a la superficie y no tiene nada que ver con tus argumentos que como ves no se sostienen.
No Carlos, la física no funciona como tú dices, cada partícula actúa en el mismo instante y cada par de partículas se anulan entre sí, esté el punto de medida en donde quiera y con lo cual siempre la \( E_y = 0 \) \( E_z=0 \).
Con este resultado obtenido el problema lo tienen los matemáticos con la formalización de la integral que existe. Yo sólo estoy intentando hacer ver que hay una salida en la integración HK que es la menos restrictiva sobre la función a integrar. Pero quizás tenga que venir otro matemático dentro de un tiempo haciendo menos restrictiva el formalismo de la integración para arreglar esto. No lo sé.
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Hola a todos, para entender mejor por qué E_y =0 y E_z=0, quiero hacer un ejercicio de imaginación con todos vds.
Ejercicio de imaginación sin sentido alguno
Imaginemos que están un físico y un matemático reunidos estudiando el campo gravitatorio que crea nuestra famosa esfera hueca de una radio R semejante a un planeta y con una densidad de masa superficial homogénea, Imaginemos que el físico con sus conocimientos en física se hace tan pequeño como una masa puntual para sentir el campo gravitatorio que crea esta esfera. Este físico quiere observar la gravedad que siente sobre él a lo largo de la línea del eje X en todo el exterior de la esfera y comunicar estos datos al matemático que está como un 2º observador desde un lugar que ve tanto a la esfera hueca como al físico acercándose a la esfera hueca a lo largo del eje X.
El físico va utilizar sus conocimientos que podemos resumir en los siguientes:
a) - sabe que la esfera se puede considerar como formada de infinitas partículas iguales de masa, dm. b) - Sabe que la gravedad total que existe en cada punto en donde se situará, será la suma vectorial de cada una del vector gravedad que genera cada una de estas infinitas partículas de la esfera hueca. Por lo tanto el \( E_T = E_x + E_y+E_z \) c) - Sabe que la gravedad que genera cada una de estas partículas puntuales cumple con la ley de Newton, vectorialmente. d) - Sabe que todos los vectores de gravedad que generan estas infinitas partículas, se suman en el mismo instante. e) - Sabe que por b),c) y e) para cualquiera masa dm de las infinitas partículas de la esfera hueca, existe otra dm' en la semiesfera contraria que al sumar sus componentes \( dE_y \) y \( dE_z \) se anulan debido a la simetría esférica de la propia esfera.
Con estos conocimientos comienza a desplazarse a lo largo del eje x: 1) En la posición \( x=-2R \): El físico ve que las componentes \( E_y \) \( E_z \) se anulan debido a que en cada instante, las componentes de gravedad que generan todas las partículas de la esferas se anulan por pares (dm, dm'). Al mismo tiempo observa que la \( E_x \) es un vector en la dirección del eje X hacia el centro de la esfera, \( E_{-2R}x \). El físico comunica estos resultados al matemático y éste le dice que está de acuerdo pues el cálculo de la integral que realiza (calculando la gravedad que genera una semiesfera y sumándole la gravedad que genera la otra semiesfera opuesta) no hay ningún problema pues la función a integrar es integrable (la función está acotada) y su valor es finito para cada semiesfera y el resultado final sale \( E_y =0 \) \( E_z=0 \).
2) En la posición \( x= -R-10^{-1000} \) (en un punto muy cercano a la superficie de la esfera): El físico igual que antes ve que las componentes E_y y E_z se anulan por los mismos motivos que antes. También ve la componente E_x en este punto ha ido aumentando en valor absoluto,conforme nos hemos acercado a la superficie de la esfera. El matemático diría lo mismo que el punto 1) pero le diría al físico: "cuidado que estás muy cerca de meterte en un lugar extraño, la superficie".
3) En la posición \( x=-R \) (En la superficie de la esfera):
El físico corrobora que nada ha cambiado con respecto al punto 2), pues en cada instante las gravedades en las componentes E_y E_z se anulan por pares de partículas elementales, igual que antes y por tanto E_y =0 E_z=0.
El matemático le dirá, "que has hecho no te posicione en la superficie, pues yo no puedo calcular la E_y y la E_z, pues resulta que la función a integral para las semiesferas no están acotadas y esto provoca que la función es no integrables y por lo tanto no puedo dar un resultado para ninguna de las 2 semiesferas". El físico, le dice entonces " pues debes de ver que pasa en tu formalismo pues aquí no ha cambiado nada pues la gravedad se están sumando en el mismo instante y siempre se anulan por pares de partículas (una de una semiesfera y la otra simétrica de la otra semiesfera). Una vez vivida esta situación el físico regresa con el matemático para compartir y analizar lo vivido.
Pero como resulta que el campo gravitatorio en el propio cascarón sí depende esencialmente de la posición del punto (de si estás más o menos cerca de su superficie interior o de la exterior), resulta que no tiene sentido hablar del campo gravitatorio generado por una esfera sin espesor en los propios puntos de la esfera, porque en el caso real de un cascarón será fundamental saber dónde está el punto concretamente. Por eso el problema no tiene significado físico y, consecuentemente, desde un punto de vista matemático, la integral no existe. Todo cuadra. El campo en un punto de un cascarón puede tender a cualquier cosa cuando el espesor del cascarón tiende a 0, según cómo lo hagas tender a 0 (eso te lo demostramos con detalle hace ya muchos mensajes, pero fueron más margaritas ante porcos, como no podía ser de otra forma, dada tu incapacidad para seguir ningún argumento racional físico o matemático.
Carlos pero para que entiendas esto que explico están las esferas huecas de espesor infinitesimal que tanto te desagradan. Es el modelo más simple que se acerca más a la realidad.
En ellas no hay problema, tiene una cara interior y una cara exterior, con una gravedad idéntica pero con signo contrario, siempre hacia la superficie de la esfera.
Y en este espesor infinitesimal una gran variación de gravedad que conecta el \( +g_o \) de la superficie exterior con el \( -g_o \) de la superficie interior.
En el caso de una esfera hueca de espesor cero, lo que queda sólo el reflejo de esto al no tener espesor sólo queda la superficie "exterior" de la esfera y por eso en integración sale \( g_o=2\pi G \sigma \)
¿NO será que tú no quieres ni ver estas esferas huecas de espesor infinitesimal debido a que te rompe los esquemas sobre el sentido físico de calcular la gravedad en su superficie?
Como ya vimos desde Newton se utilizan estas esferas.
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sería tan fácil de cerrar el hilo, aunque para ello deberán:
1) Demostrar que con integración la gravedad en la superficie de nuestra famosa esfera hueca es: \( g=\frac{GM}{R^2} \)
Nadie va a demostrar eso, porque la gravedad en la superficie de la esfera no está definida, porque no tiene sentido físico ni matemático. Que tú llegues a entenderlo es otra cosa.
2) Demostrar que el campo creado en la superficie de una esfera hueca de radio infinito (\( g=4\pi G \sigma \)) es el doble que el se genera en la superficie de un plano infinito (\( g=2\pi G \sigma \)).
3) Demostrar que cuando se utiliza una superficie gaussiana cerrada formada por superficies esféricas, interconectadas (como ya he explicado muchas veces) que encierra a la esfera hueca, el flujo a través de ambas superficies no son iguales.
Todo esto no son más que memeces de las tuyas, nada que nadie tenga que demostrar. Este hilo se cerrará cuando tus chistes dejen de hacer gracia y nadie tenga el cinismo de pedir que se mantenga abierto sin aburrirse siguiéndolo (todos los que ahora son partidarios de mantenerlo abierto lo siguen más o menos de cerca, supongo, pero llegará el día en que los aburrirás, porque la carrera de todo humorista de segunda fila está necesariamente limitada en el tiempo por su limitada capacidad de conservar su gracia.)
a) Por favor responderos con sinceridad la siguiente pregunta:
¿ Antes de que DCM iniciara este hilo, cuánto creíais que valía la gravedad en la superficie de una esfera hueca? Bueno ya en mensajes anteriores dejé claro que tampoco es una invención mía esto, pues se pueden ver muchísimos ejemplos de cálculos de la gravedad en la superficie de la esfera hueca, en internet y que su valor es: \( g=-\frac{GM}{R^2} \).
Aquí habrá físicos , en el hilo, como yo que han calculado ese campo durante nuestra carrera, sólo que no pueden hablar, parece.
Pero si oficialmente sale la anterior expresión,
¿ Cómo es que no es posible obtenerla mediante el cálculo integral?.
Al contrario, si realizas la integral sale \( g=-\frac{GM}{2R^2} \) como ya lo hemos demostrado Masacroso y yo.
b) Mis análisis ahí están y se basan en unos pilares básicos de la física que son indiscutibles:
- La gravedad de una masa puntual que crea en el infinito es cero.
- El flujo a través de una superficie gaussiana se calcula conociendo el campo en cada punto de su superficie y haciendo el producto escalar entre el vector gravedad y el vector superficie en cada punto.
NO voy a volver a poner los 2 análisis pero los podéis ver en mensajes anteriores.
Esos estudios si fueran memeces ya alguien los hubiera destripado y desarticulados, pero aún nadie lo ha hecho.
El último que lo intentó fue Richard pero se quedó de nuevo mudo de lo dicho en mi último mensaje sobre estos temas que te lo expuse el 20/03/24. Ya han pasado 2 meses.
Sólo que ahora vuelve de nuevo con cosas dichas en los viejos tiempos que ya fueron rebatidas con mi último análisis. Siempre actúa de la misma forma, cuando se queda sin argumentos contra mí se calla y luego vuelve a la carga después de meses con argumentos muy antiguos.
LO cierto es que con los 3 métodos de análisis aquí descritos el resultado final es siempre el mismo
\( g=-\frac{GM}{2R^2} \) En puntos de la superficie de la esfera hueca.
¿ DE VERDAD QUE ESTO NO OS HACE DUDAR SOBRE LO DICHO EN LA OFICIALIDAD? Un saludo.
