Hola

 La idea es correcta. Aunque a la hora de hacer las cuentas te puede ser útil notar que:

\( (x^6+1)^2-4x^6=(x^6+1-2x^3)(x^6+1+2x^3)=(x^3-1)^2(x^3+1)^2=\\=(x-1)^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)

\( (x^2+1)^2-4x^2)=(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)=(x-1)^2(x+1)^2 \)

 Siguiendo la idea:

\(  mcd^2=\dfrac{(x-1)^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)

 de donde:

\( mcd=(x^2+x+1)(x^2-x+1)=(x^2+1)^2-x^2 \).

Saludos.

Hola

Otra de esas cosas que he leído, escuchado o visto era que un número perfecto no puede ser múltiplo de 105 , pero "creo" que no es verdad.

Si, es verdad. Lo tienes probado aquí  y también en uno de los artículos que adjuntos. En ellos puedes ver algunas condiciones necesarias que tendría que cumplir un número perfecto impar:

https://math.stackexchange.com/questions/236891/can-an-odd-perfect-number-be-divisible-by-105

Saludos.

Hola

Luis, no quiero que se malinterprete, no hubo mala intención ni nada por el estilo con Richard. "Vos tenes una caracterización..." creo que fue un "argentinismo" nada mas... Me refiero a que él conoce la forma de los números pares.

Pero si en ningún momento te malinterpreté, ni pensé que hubiese mala intención. Simplemente no entiendo lo que quisiste decir con esa frase. Que él (y todos gracias a Euler/Euclides) conozcamos la forma de los números perfectos pares no quiere decir que la use para nada relacionado con los impares.

Citar

¿Pero de dónde te has sacado eso?.

De la observación.

No estoy seguro de que quieres decir. ¿Quieres decir de "observar" ejemplos de números perfectos?

Pero para poder observar ejemplos de números perfectos, ¡primero tenemos que fijar a qué llamamos números perfectos!. Sinceramente, si no entiendes esto va a ser imposible entendernos en nada.

Si no entiendes que no se puede hablar de números perfectos, sin fijar a que llamamos número perfecto, es imposible.

Pues mira... Es todo muy dificil de explicar.

Pues mal empezamos porque mi pregunta era muy concreta:

¿La definición que he dado de número perfecto es la misma que tu estás usando SI o NO?.

Si la respuesta es NO: usas un concepto de número perfecto a priori distinto del que usamos los demás (digo a priori, porque puede que coincida en la práctica). Pero  a partir de ahí y mientras no aclares EXACTAMENTE tu definición de número perfecto, es imposible que nos entendamos.

Y desde luego no puedes seguir insistiendo como hacías en otros hilos que usas la misma definición que "todo el mundo".

Pero el número perfecto es una señal de cuando en la suma de los números naturales se puede formar el cuadrado de una potencia de dos con la suma de las acumulaciones de dos números consecutivos.

¿Es esta TÚ definición de número perfecto? Es de una imprecisión brutal. No tiene sentido así expresada. Es decir no dudo de que tu quieras decir algo coherente, pero no estás siendo capaz de explicarlo bien.

Donde hay un número perfecto, podés sumar los dos triangulares y encontrar el valor de una potencia de dos.

Veamos: la suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto:

\( T_n+T_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=\dfrac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^2 \)

Por otra parte sabemos que todo número perfecto par es triangular con \( n=2^p-1 \) es decir, de la forma:

\( T_n=T_{2^p-1}=\dfrac{(2^p-1)2^p}{2}=2^{p-1}(2^p-1) \)

En ese caso:

\( T_n+T_{n+1}=(n+1)^2=(2^p-1+1)^2=2^{2p} \)

Creo que eso lo que estás diciendo y efectivamente es una propiedad que cumplen todos los números perfectos pares conocidos y que se demuestra fácilmente (como se acaba de ver) usando la caracterización de los mismos de Euler/Euclides.

Ahora puede que no te guste lo que te muestro... Pero es lo que son los números perfectos...

¿Por qué no me va a gustar lo que me muestras?

En general la mayoría (diría que todas) de las propiedades que observas de los números perfectos son correctas. Nadie te ha dicho lo contrario (salvo lo de  que \( 1 \) sea perfecto).

Pero no es nada nuevo ni excepcional; todo se deduce fácilmente de lo que ya se sabe sobre los números perfectos.

Ni siquiera debo verificar si es primo... Ahí te agregue el número que se completa con los divisores. De la misma forma que se completa el N° perfecto, se completa el cuadrado.

Si la suma de los divisores no es número primo, cuando haces la suma de los números triangulares, no te da exacto el número.

Aquí vuelves a expresarte con una gran imprecisión. ¿No debes de verificar si es primo el qué?. Fíjate que ya antes he tenido que interpretarte. Escribe que número debes de comprobar si es primo; los divisores de qué número estás hablando; de qué números triangulares hablas; que no tengamos que adivinar a qué te refieres.

En cualquier caso, sospecho que una vez más está simplemente escribiendo propiedades de los números perfectos que son correctas, que se observan viendo los ejemplos de los mismos y que son fácilmente demostrables viendo usando la caracterización de los pares.

Saludos.

Hola

Mi pregunta es cómo presento la demostración de la igualdad hasta aquí.

No entiendo la pregunta. ¿Cómo la presentas en qué sentido? ¿Te refieres desde el punto de vista logísitico para ponerla en el foro (PDF, escribirla en un mensaje,...)?¿te refieres a qué no sabes como formalizar tu idea?¿o a qué te refieres?.

Saludos.

Hola

Tengo una duda acerca la demostración de este teorema, "Sea \(   A  \) compacto sii todo \(  B\subset A \)  infinito tiene al menos un punto de acumulación en \( A \)" quiero probar el reciproco de este teorema, he intentado por reducción a lo absurdo, donde niego la tesis, lo cual por el teorema de Heinel borel, A no es cerrado o no es acotado. pero me he quedado este parte.

Agradecería alguna ayuda, cabe recalcar que no puedo usar sucesiones ya que he visto que la mayoría de demostraciones usan sucesiones pero al momento que voy del curso no hemos visto sucesiones

Hablas del Teorema de Henie-Borel así que entiendo que trabajas en \( \Bbb R^n \) ó \( \Bbb C^n \). En ese caso y entendiendo que puedes usar ese teorema basta que pruebes que es cerrado y acotado.

- Si no fuese acotado, para cada \( n\in \Bbb N \) existe  \( x_n\in A \) tal que \( x_n\not\in B(0,n) \), es decir, \( d(x_n,0)\geq n \). Ahora \( \{x_n\}\subset A \) por hipótesis tiene un punto de acumulación \( x\in A \); supongamos que \( d(x,0)<n_0 \). Para todo \( n\geq  n_0+1 \):

\( d(x_{n},0)\leq d(x_n,x)+d(x,0)\quad \Rightarrow{}\quad d(x,x_n)\geq d(x_n,0)-d(x,0)>n-n_0\geq 1 \)

 Por tanto \( B(x,1)\cap \{x_n\}\subset \{x_1,x_2,\ldots,x_{n_0}\} \) finito y así \( x \) NO es un punto de acumulación de \( \{x_n\} \): contradicción.

- Si no es cerrado, existe \( x\in clausura(A) \) tal que \( x\not\in A \). Pero entonces para todo \( n\in \Bbb N \) existe \( B(x,1/n)\cap A\neq\emptyset \) y así existe \( x_n\in A\cap B(x,1/n) \). Entonces por hipótesis el conjunto \( \{x_n\} \) tiene un punto de acumulación \( y\in A \).

 Como \( y\in A \), pero \( x\not\in A \), \( y\neq x \). Para todo \( n>2/d(x,y) \) (y por tanto \( \color{red}1/n<d(x,y)/2\color{black} \)), se tiene que:

\( d(x,y)\leq d(x,x_n)+d(x_n,y)\quad \Rightarrow{}\quad d(y,x_n)\geq d(x,y)-d(x,x_n)>d(x,y)-\dfrac{1}{n}>d(x,y)/2 \)

 Por tanto \( B(\color{blue}y,d(x,y)/2)\color{black}\cap \{x_n\}\subset \{x_1,x_2,\ldots,x_{[2/d(x,y)]}\} \) finito y así \( y \) NO es un punto de acumulación de \( \{x_n\} \): contradicción.

Observaciones:

 1) Sinceramente me parece bastante raro estudiar el concepto de cerrado, puntos de acumulación, compacto en espacios métricos sin haber hablado de sucesiones. En la demostración que te he puesto he evitado explícitamente sucesiones; si pudiese usarla facilitaría un poco la escritura de las misma ideas.

 2) Si quieres una prueba del resultado en cualquier espacio métrico, mira por aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126748.0;attach=31234

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

CORREGIDO 2 (gracias ani_pascual)

Hola

Con "Cualquier número puede ser probado" me refiero a que cualquíer número natural puede ser sometido a análisis. En cambio, cuando elegis un p para la fórmula de Euclides, ese p, es el índice de la potencia, siempre te mueves por las potencias de 2.

Si te refieres a un criterio para decidir si un número perfecto su propia definición lo es: basta comprobar si la suma de sus divisores propios coincide con el propio número.

Las caracterizaciones suelen proporcionar criterios alternativos normalmente más rápidos. Por ejemplo la fórmula de Eculides SI da un criterio para ver si un número \( N \) par es perfecto. Se halla la potencia de dos más alta que lo divide \( 2^{k} \); si \( k+1 \) no es primo ya no es perfecto. Si es primo comprobamos si \( N/2^k=2^{k+1}+1 \). Si no se cumple ya no es perfecto. Si se cumple el número será perfecto si y sólo se \( 2^{k+1}+1 \) es primo.

Con "no quiero caracterízar" quise decir que no quiero copiar la fórmula de Euclides, sino tener algo general que abarque todo el conjunto de números naturales, para así poder probar que siempre que se cumpla que un número es perfecto será par por ejemplo.

Bueno, veremos cual es esa caracterización y sobre todo la prueba.

A ver, mi intención como ya sabrás es probar que el 1 es perfecto también...

Espero que no sea ni tu única intención ni la principal. No por nada. Si lo es, más allá de la diversión personal que pueda producirte, es invertir energía en algo nimio.

Gráficamente, a esto ya lo vi. Incluso se como integrar el cuadrado perfecto y todo... Pero hay algo que no he podido trasladar bien al modelo. Por eso es que le doy vueltas de a ratos... y se desorganiza alguna información.. Pero lo voy a terminar probando...

Bien. Si en algún momento crees tener una demostración de tus afirmaciones, mi consejo es que en principio para exponerla evites gráficos, y grandes listados de ejemplos. Como muestra mi pequeña demostración del enunciado que has expuesto de tu teorema se hace en una línea y no necesita ejemplos.

Cierto que los ejemplos pueden ayudar a clarificar las cosas; pero casi es mejor que esperes a que alguien te los pida para intentar aclarar algún punto.

También ten en cuenta que no se conocen números perfectos impares; entonces es muy fácil caer en el error de demostraciones falaces de ese hecho, y cuando alguien las critica esgrimir: "¿está mal? pues muéstrame un ejemplo donde falle". Y claro como no se conocen números perfectos impares, no se puede dar un ejemplo de número perfecto impar. Es decir, es fácil caer en el error de confundir el hecho de que una tesis pueda ser cierta, con que los argumentos que se han esgrimido para sostenerla sean válidas.

Si no puedo probarlo, pues no importa, yo siento que aprendí varias cosas sobre los números perfectos que no las he visto en ninguna teoría.

Bien. De todas formas para conocer todo el estado de conocimiento sobre un tema partícular, hay que leer muuuchhas publicaciones.

Entre ellas, que por mas trabajos que podamos hacer sobre los números que trabajemos, nada de ello conducirá a un número perfecto...

Esta frase no sé que significa. 

Saludos.

Hola

Sea \( u \) una función continua, derivable creciente y cóncava, con \( u(0)=0 \). Sea \( RDU(X)=\displaystyle\int_{0}^{b}u(x)w'(1-F(x))f(x)dx \), siendo \( w \) una función continua, derivable, creciente, con forma cóncava-convexa, definida en \( [0,1] \) tal que \( w(0)=0 \) y \( w(1)=1 \), y \( f(x) \) y \( F(x) \) la función de densidad y de distribución de una variable aleatoria \( X \). Si solamente conociera la media y la varianza de \( X \) podría hallar cotas óptimas de \( RDU(X) \)? Ayuda en algo si \( w \) fuera subaditiva en \( [0,1] \).

A vuela pluma se me ocurre empezar por estudiar que ocurre con una variable discreta en dos puntos:

\( P(X=x)=p,\quad P(X=y)=1-p \)

\( xp+y(1-p)=\mu \)
\( x^2p+y^2(1-p)=\sigma^2+\mu^2 \)

Eso relaciona \( x,y,p \) y bajo estas restricciones analizar máximo y mínimo.

Tengo que pensar y recordar con más calma; pero bajo ciertas condiciones, ciertos funcionales sobre variables aleatorias con media y varianza fijas alcanzan sus cotas precisamente en esa variables discretas. La idea es que permiten concentrar la probabilidad en los puntos donde las funciones que optimizamos son más o menos ventajosas.

Se que esto es algo vago; pero es lo primero que se me ocurre.

Saludos.

Hola

Ahora si vi lo que decís... No te había entendido... Debo revisar las hojas donde escribí... Algo puse mal ahí... porque hay un punto que solo verificaba si era perfecto.

Lo que tienes que añadir es la condición de que \( n \) sea primo. En ese caso:

\( \sigma(N)=\sigma(nz)=\sigma(n)\sigma(z)=(n+1)n=2Z=2N \)

y por tanto \( N \) es perfecto.

Saludos.

Hola

Les dejo el enunciado del Teoréma que he desarrollado sobre números perfectos. Solo dejo el enunciado.

A vuelapluma el Teorema NO es cierto. Si tomas:

\( z=8,\quad n=15,\quad N=8\cdot 15=120 \)

Se tiene que:

\( N=120=8\cdot 15=z\cdot n \)

\( \sigma(z)=\sigma(8)=1+2+4+8=15=n \)

\( Z=\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{15\cdot 16}{2}=120=N \)

Pero sin embargo \( N=120 \), NO es número perfecto.

Cuando z es potencia de 2, y la suma de sus divisores es un número primo, llegamos a un número perfecto. Prueben con esto

z=2; N=6
z=4; N=28
z=16; N=496
z=64; N=8128
z=4096; N=33.550.336

Parece muy simple, sin embargo entraña la clave de los números perfectos:

Esto si es cierto y es consecuencia del conocido Teorema de Euler-Euclides sobre números perfectos pares:

Un número par es perfecto si y sólo si es de la forma \( N=2^{p-1}(2^p-1) \) y \( 2^p-1 \) es primo.

Lo que tu llamas \( z \) es \( z=2^{p-1} \). En ese caso:

\( \sigma(z)=1+2+\ldots+2^{p-1}=2^p-1 \)

Entonces lo que dice el Teorema de Euler-Euclides es que si \( z=2^{p-1} \) y \( \sigma(z) \) es primo entonces \( z\cdot \sigma(z) \) es un número perfecto.

Saludos.

---

P.D. Al final he borrado los mensajes donde tu exponías un PDF con tu primer intento de demostración sobre numeros perfectos impares. Tu has pedido que se borre y las respuestas que te habían dado, no tenían transcendencia; en una te preguntaban algunas cosas, pero realmente no hubo ninguna información relevante en tus respuestas a esas preguntas y los demás eran mensajes sobre que cosas cabían o no cabían debatir en el hilo.

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[cerrar]

Hola

El primer punto viene a esto

Cita de: Richard R Richard en 05 Abril, 2024, 12:40 am

Vamos, vamos , no se me queden , arriba, arriba... a producir humor Eh!!!...  hay 16 páginas de ficción con errores hasta en los títulos que ya están alcanzando a estas 17 de humor... .

Hasta que se me ocurra un chiste digno, propongo a resolver el siguiente problema

Cuántas tierras planas de radio $$r$$ entran en una tierra hueca de radio $$R$$ de espesor infinitesimal y densidad sigma, ojo no me vengan con el resultado de la ciencia oficial, quiero notificarles que sí o sí, sale la mitad cuando resuelven la integral tomando $$r =R$$.

Pues no viene a cuento. Si quieres entender el contexto de la respuesta de Richard ármate de paciencia y lee el hilo completo que has citado; aunque francamente es un pérdida de tiempo. Pero más allá de que Richard tenga o no motivos para responder así en ese hilo, no tiene sentido que dediques mensajes y espacio en el foro simplemente a en un extraño espíritu justiciero o vengativo, intentar "pagar a alguien con su misma moneda".

El foro está para debatir sobre matemáticas o temas afines. Así que, por favor, en el futuro abstente de ese tipo de comentarios.

Para lo otro solo contesté que no existian. No dije que demostraria acá...

Bueno ya has publicado dos supuestas demostraciones en el foro. No me he fijado si las has borrado o no.

Saludos.