Hola. Tengo la siguiente definición de una función delta de dirac discreta. La idea es utilizarla para hacer cálculos numéricos, así que no puede valer infinito, sino más bien ser como una gaussiana pero con soporte definido.
La definición de \( \varphi \)es la siguiente:
- \( \varphi(r) \) es continua.
- \( \varphi(r)=0 \) para \( |r|\geq 2 \).
- \( \displaystyle\sum_{i\textrm{ par}}\varphi(r-i)=\sum_{i\textrm{ impar}}\varphi(r-i)=\frac12 \) para todo \( r \).
- \( \displaystyle\sum_{i}(r-i)\varphi(r-i)=0 \) para todo \( r \).
- \( \displaystyle\sum_{i}(\varphi(r-i))^2=C \) para todo \( r \)
\( i \) es un entero que va desde \( 0 \) a \( N-1 \) (una grilla equiespaciada típica en métodos numéricos, con la distancia entre nodos igual a \( h \)) y \( r\in\mathbb{R} \).
La función delta de dirac discreta será \( \delta_h(x)=\dfrac{1}{h}\varphi\left(\dfrac{x}{h}\right) \), por lo que mientras más fina sea la malla \( (h \) tienda a cero) esta función se parecerá más a la delta de dirac continua.
Hice las cuentas, y la gráfica de la función \( \varphi \) es la siguiente:
En realidad, en mi pregunta no importa mucho que estemos tratando de definir una función delta de Dirac discreta, ya que mi pregunta es sobre la función \( \varphi \) recién definida.
Mi pregunta es,
¿Cómo puedo entender que la función \( \varphi \) definida anteriormente tendrá esta forma de campana?Las propiedad 1 es esperable, la segunda impone que tenga soporte finito, y la tercera sería el análogo discreto a \( \displaystyle\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1 \) (además de imponer cierta simetría). Pero sólo hasta ahí me parece intuitivo. No sé porqué las otras condiciones imponen que esta función tendrá efectivamente una forma de campana.
¿Alguien ve porqué es evidente que la gráfica de la función será lo que uno espera (la del dibujo)? Qué condiciones en su definición imponen esto?
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