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Temas - mathtruco

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Matemática Aplicada / COVID-19 explicado por matemáticos
« en: 17 Junio, 2020, 02:57 pm »
Hola a todos.

No sé ustedes, pero a mí me tiene bastante aburrido el tema del COVID-19 explicado por gente que repite sin pensar mucho conceptos. Por eso comparto con ustedes la explicación de dos matemáticos sobre el COVID-19 que me pareció muy interesante y pertinente (quizás por ser explicaciones de matemáticos):

Académico de la Facultad de Matemáticas publica artículo: "El pedal acelerador de la epidemia"

y los links a los dos artículos divulgativos (en español) que tienen sobre el tema. Son cortitos y fáciles de digerir.

    http://www.mat.uc.cl/~hector.pasten/preprints/Re.pdf
    http://www.mat.uc.cl/~hector.pasten/preprints/TasaColor.pdf

Sobre los autores, Jorge es matemático aplicado con doctorado en el área de ciencias sociales, y Héctor es uno de los matemáticos (puros) más prominentes que tiene el país. Una mezcla idónea para divulgar este tema.

Espero los disfruten.

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Docencia / Prueba online
« en: 21 Mayo, 2020, 11:53 pm »
Hola a todos.

Una consulta: ¿qué preguntarían en una evaluación de cálculo integral si sólo tienen opción de preguntas de alternativas?

Si uno pregunta una integral, los alumnos podrían usar photomath o cualquier herramienta online para dar con la respuesta, así que no se me ocurre qué se puede preguntar. Creo que preguntas sobre áreas entre curvas podrían ser más fácil de hacer, aunque los alumnos también podrían usar un software para hallar la respuesta, pero al menos tendrían que darse el trabajo de saber qué deben meter al soft.

Agradezco desde ya sus comentarios.

3
Lógica / Negación de la negación de existe un único
« en: 27 Junio, 2019, 12:20 am »
Hola a todos.

Mi duda proviene al negar la negación del existe un único.

La negación de:

    \( \boxed{(\exists ! x\in A):\;p(x)} \)

es:

    \( \Big[(\forall x\in A):\;\,\sim p(x)\Big]\quad \vee\quad\Big[(\exists x_1\in A,\;\exists x_2\in A,\;x_1\neq x_2):\;\, p(x_1)\wedge  p(x_2)\Big] \).

La negación de esta última línea me debiera dar la proposición original, esto es (negando la última línea):

    \( \Big[(\exists x\in A):\;\, p(x)\Big]\quad \wedge\quad\Big[(\forall x_1\in A,\;\forall x_2\in A,\;{\color{red}x_1\neq x_2}):\;\, \sim p(x_1)\vee \sim p(x_2)\Big] \).

Esta última proposición es equivalente a la original (la que está encerrada en el rectángulo).

Me hace sentido lo escrito anteriormente porque sé a lo que quiero llegar, pero mi duda es al tratar de explicar cómo proceder mecánicamente con un ejercicio similar. Mi duda específica es al tratar de explicar porqué el término en rojo \( \color{red}x_1\neq x_2 \) es así, porque si uno procede de manera mecánica, al estar negando debiera haber escrito \( x_1=x_2 \).

¿Puede ayudarme a entender la situación?


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Hola. Planteo la siguiente inquietud.

Dada la función \( f(x)=\sqrt{1-e^{-x^2}} \),

    \( \textrm{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}:f(x)\in\mathbb{R}\} \)

                  \( =\{x\in\mathbb{R}:\sqrt{1-e^{-x^2}}\in\mathbb{R}\} \)

                  \( =\{x\in\mathbb{R}:1-e^{-x^2}\geq 0\} \)

es decir,

    \( x\in\textrm{dom}(f)\quad\Leftrightarrow\quad 1-e^{-x^2}\geq 0 \)    (*)


Entonces

    \( y\in\textrm{Rec}(f)\quad\Leftrightarrow\quad y=\sqrt{1-e^{-x^2}},\; x\in \textrm{dom}(f) \)

                            \( \Leftrightarrow\quad y^2=1-e^{-x^2},\; y\geq 0,\; x\in \textrm{dom}(f) \)

y usando (*)

    \( y\in\textrm{Rec}(f)\quad\Leftrightarrow\quad y^2=1-e^{-x^2},\; y\geq 0,\; 1-e^{-x^2}\geq 0 \)

                            \( \Leftrightarrow\quad y^2\geq 0,\; y\geq 0 \)     (acá está el paso en falso)

                            \( \Leftrightarrow\quad y\geq 0 \)


Claramente está malo. Sé resolverlo correctamente, y veo dónde está el error, pero no termino de convencerme porqué este procedimiento está malo. Si alguien me ayuda a aclararlo lo agradezco mucho.

5
Hola, tengo una consulta de notación.

Siempre he escrito las funciones usando estas flechas:   \( f:X{\color{blue}\longrightarrow} Y \), \( x{\color{blue}\mapsto} y \),   pero alguien me preguntó, ¿por qué las dos flechas no son iguales?

Yo le dije que sinceramente no tenía idea, que yo lo escribía así porque es la notación que había visto siempre: la flechita que va del dominio al codominio es \( \longrightarrow \) y la otra es \( \mapsto \).

¿Alguien sabe si hay alguna razón especial para usar la flecha \( \mapsto \)?

6
Hola a todos.

En un paper a ser enviado a una revista, cuando uno referencia figuras (o tablas, ecuaciones, secciones...) ¿Debemos usar una letra mayúscula en la primera letra? Por ejemplo, lo correcto es:

1. "See Figure 1",

2. "... The Remark 3 establishes an important...",

¿O lo correcto es lo siguiente?

3. "See figure 1",

4. "... The remark 3 establishes an important...".


A mi entender, cuando decimos "Figure 1" debiéramos usar mayúscula porque la figura lleva el nombre "Figure 1" (su nombre no es sólo el número).


Y en plural tengo la misma duda, ¿Lo correcto es lo siguiente?

5. "The Figures 1, 2, and 3 show the behavior...",

6. "... The Remarks 1 and 3 establish important...",

¿O lo correcto es sin mayúscula?

7. "The figures 1, 2, 3 show the behavior...",

8. "... The remarks 1 and 3 establish important...".


¿Por qué hago la distinción entre singular y plural?
Porque cuando digo "Juan" (en singular) uso mayúscula porque es el nombre de una persona, pero en plural uso "juanes" (sin mayúscula) porque no es el nombre específico de alguien sino una descripción.


Mi pregunta es sobre todos los casos: tables, equations, remarks, sections...


¿Qué opinan ustedes? ¿O hay alguna regla clara en algún sitio donde leerla? ¿Qué hacen ustedes en sus papers?

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Foro general / Predicción mundial de Fútbol 2018
« en: 16 Junio, 2018, 01:18 am »
Para quienes gusten de matemáticas (machine learning) y fútbol:    https://arxiv.org/abs/1806.03208

8
Hola. Tengo una duda conceptual sobre el ortogonal de un subespacio. La explico a continuación:

Sea \( V:=\langle\{(1,0),(0,1),(-y,x)\}\rangle  \) un subespacio de \( U:=\mathbb{P}^1(\Omega)^2 \) (cada componente de los elementos de \( U \) es un polinomio de grado menor o igual a 1 sobre un conjunto acotado \( \Omega\subset\mathbb{R}^2 \)). Estoy interesado en hallar el ortogonal a \( V \), que denoto \( V^\perp. \)

Es bien sabido que \( V\oplus V^\perp=U \), ya que \( V \) es un subespacio de dimensión finita de \( U \).

Es fácil verificar que

    \( V\oplus W=U \)

para \( W=\langle\{(x,0),(0,y),(y,x)\}\rangle \), pero ¿eso implica que que \( W=V^\perp \)?

El problema es que eligiendo \( v:=(1,0)\in V \) y \( w:=(x,0)\in W \) obtenemos

    \( \langle(1,0),(x,0)\rangle\neq 0 \)

para algún producto interior \( \langle\cdot,\cdot\rangle \) y algún \( \Omega \). Entonces \( W\neq V^\perp. \)

¿Qué error estoy cometiendo?

Me interesa particularmente hallar \( V^\perp \) con el producto interior \( \langle u,v\rangle:=\displaystyle\int_\Omega u\cdot v\,dA \).

De antemano, gracias por sus comentarios.

9
Hay una competición abierta a todo estudiante (grupos de 3, donde uno debe ser de posgrado) sobre optimización:

    http://coral.ie.lehigh.edu/~mopta/competition


No sé más de lo que aparece en la página. Me pareció que para algún forista puede ser interesante, ya sea para participar o para motivar a sus estudiantes.

Aprovecho a preguntar, ¿conocen otros concursos de este tipo abierto a todo público?

10
Hola a todos. Necesito probar una observación dentro de un paper. Seguramente es algo sencillo, y por eso no dan mayores detalles, pero no logro verlo.

Sea \( T \) un triángulo (o tetraedro) y \( \mathbb{P}_k(T) \) el conjunto de polinomios de grado menor o igual a \( k \) definidos sobre \( T \), con \( k\geq 2 \).

Hallar la constante \( C>0 \) tal que

    (P)   \( \left(\displaystyle\int_T(\Delta v)^2dx\right)^{1/2}\leq C\,\left(\displaystyle\int_T\nabla v\cdot\nabla v\,dx\right)^{1/2} \)     para todo   \( v\in \mathbb{P}_k(T) \)


Obviamente, \( C \) podría depender de \( T \) (el diámetro de \( T \)) y \( k \), es decir, para cada grado polinomial la constante \( C \) seguramente será distinta.

Necesito hallar esta constante \( C \) de manera explícita, porque es fundamental para un cálculo que debo hacer (que nada tiene que ver con el paper). Así que si alguien conoce otra forma de calcular \( C \) me sería igual de útil.

La indicación es hallar el valor propio más grande \( \lambda \) del siguiente problema de valores propios generalizado: Hallar \( u\in\mathbb{P}_k(T)\setminus\mathbb{R} \) y \( \lambda \) tal que

    (I)  \( \displaystyle\int_T\Delta u\,\Delta v\,dx=\lambda\,\int_T\nabla u\cdot\nabla v\,dx \)    para todo    \( v\in\mathbb{P}_k(T)\setminus\mathbb{R} \)


El paper de donde lo saqué está en este link, es el Remark 4, en la página 4.

Desde ya, gracias por sus comentarios.


P.S. Compartí el link del artículo desde mi Dropbox. Yo lo bajé legalmente, así que no creo que sea ilegal compartir la versión digital aquí con mis amigos  ;)

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Hola.

¿Alguien conoce algún listado de ejercicios para aprender a programar?

Es para un jovencito al que estoy orientando que aún no ingresa a la universidad. Estábamos viendo el listado de https://projecteuler.net/  pero es demasiado complejo para comenzar. En el spoiler dejo los primeros tres problemas de este listado, para que vean el grado de dificultad.

Spoiler
Problem 1

If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.

Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.



Problem 2

Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.



Problem 3

The prime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29.

What is the largest prime factor of the number 600851475143 ?

[cerrar]

Ahora estoy revisando la siguente web: http://progra.usm.cl/apunte/ejercicios

Como no quiero fallar nuevamente en la elección de los problemas, les pido un consejo a ustedes: ¿les parece apropiado aprender a programar con estos ejemplos? ¿Tienen una mejor sugerencia?

Gracias!

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Sé que no es novedad que entre los mejores empleos de esta época están los relacionados a matemática, pero me parece positivo recordarlo de cuando en cuando.

  • 1.  Profesional de las estadísticas
  • 2.  Administrador de servicios médicos
  • 3.  Analista de investigación de operaciones
  • 4.  Analista de seguridad informática
  • 5.  Científico de datos
  • 6.  Profesor universitario
  • 7.  Matemático
  • 8.  Ingeniero de softwares
  • 9.  Terapista ocupacional
  • 10. Fonoaudiólogo

   Fuente  El definido/.

Estos resultados están basados en resultados de Estados Unidos, pero en Chile no es muy distinto (aunque acá yo sacaría a Terapista Ocupacional y Fonoaudiología de la lista)

¿Será igual en todos los países? Sería interesante que comenten su percepción sobre este tema en su país.

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Hola.

¿Cómo puedo saber si un resultado ya está en algún libro o paper? Más precisamente, si tengo alguna idea sobre matemática que quiero desarrollar para luego enviar a alguna revista para publicarlo, ¿cómo puedo saber si el resultado ya está documentado?

Una forma es buscar en google, claro, pero eso podría llevarme a los papers más clásicos y populares, y no necesariamente a los últimos.

Conozco los siguientes sitios donde hacer búsquedas, aunque no sé si los uso correctamente.


No sé tampoco si hay otros sitios de este tipo, o si la búsqueda en estos sitios es suficiente para quedar tranquilo o es mejor complementarla con algo más.


Agradezco sus comentarios.

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Enlaces sugeridos / Lista de "Predatory Journals"
« en: 09 Mayo, 2017, 10:55 pm »
En esta era donde es tan fácil hallar información mediante google, es bueno tener presente que no todas las revistas son igualmente confiables, y por ende, no todos los papers hallados en internet son confiables. Algunas revistas han nacido con prácticas fraudulentas, seguramente para obtener beneficios económicos.

Dicho esto, es bueno tener a la mano una lista de revistas dudosas

    https://predatoryjournals.com/journals/

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Algunas animaciones de métodos numéricos en optimización.

An Interactive Tutorial on Numerical Optimization

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Hola. Escribo mi duda a continuación. Es pequeña, pero el enunciado se ve largo sólo porque explico el contexto.

Sean \( (x_1,y_1) \), \( (x_2,y_2) \) y \( (x_3,y_3) \) los vértices de un triángulo \( T \).

Sean \( (\hat x_1,\hat y_1)=(0,0) \), \( (\hat x_2,\hat y_2)=(1,0) \), \( (\hat x_3,\hat y_3)=(0,1) \) los vértices de un triángulo de referencia \( \hat T \).

Consideramos la transformación afín \( F:\hat T\longrightarrow T \) definida por

    \( F(\hat x,\hat y)=B\begin{pmatrix}\hat x\\ \hat y\end{pmatrix}+b \)

donde \( B=\begin{pmatrix} x_2-x_1&x_3-x_1\\ y_2-y_1&y_3-y_1\end{pmatrix} \) y \( b=\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix} \).

Claramente \( F(\hat x_i,\hat y_i)=(x_i,y_i) \), \( i=1,2,3 \) (digo claramente, porque fue definida para que cumpla esto).

Dato no relevante
Esta es la transformación usual en métodos numéricos, ya que permite llevar integrales sobre triángulos cualquiera a uno de referencia, donde se conoces los puntos de cuadratura para hacer integrales. Esto lo digo como contexto, pero no es relevante para mi duda.
[cerrar]

Consideramos una función \( u:T\longrightarrow\mathbb{R} \).
Definimos \( \hat u:\hat T\longrightarrow\mathbb{R} \)  por  \( \hat f(x,y)=f(F(\hat x,\hat y)) \).

Sea \( L \) el lado del triángulo \( T \) que une los vértices \( (x_2,y_2) \) and \( (x_3,y_3) \).

Ahora viene mi duda:

    Necesito calcular \( \boxed{\int_L\nabla u\cdot\nabla u\,dl} \)

pero sólo conozco \( \hat u \) (no conozco \( u \)) por lo que debo hacer un cambio de variables apropiado.

En una integral del tipo  \( \int_L u dl \) no hay problema, sería:

    \( \int_L u dl=|F|\displaystyle\int_0^1 u(r(t))\,dt \)

donde \( r \) es la parametrización \( r(t)=(x_2,y_2)(1-t)+(x_3,y_3)t \) con \( 0\leq t\leq 1 \).

Si la integral fuera sobre el elemento tampoco hay problema, quedaría:

    \( \int_T\nabla u\cdot\nabla u\,dx=\int_{\hat T}B^{-T}\hat\nabla \hat u\cdot B^{-t}\hat\nabla \hat u\,|J|\,d\hat x \)

donde \( |J|=\textrm{det}(B) \) es el jacobiano de la transformación. Con \( \hat\nabla \) me refiero a que es el gradiente (sus derivadas) son con respecto a \( \hat x \) y \( \hat y \).

El problema en la integral que encerré en la caja es que es sólo sobre un lado del elemento y considera derivadas de la función.

Gracias por su tiempo.

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Docencia / "El lamento de un matematico" de Paul Lockhart
« en: 01 Agosto, 2015, 07:46 pm »
Acabo de leer "El lamento de un matematico" ("A Mathematician's Lament" o "Lockhart's Lament"). Me parece una interesante una reflexión sobre lo que es matemática y como debiera enseñarse contrastado con lo que se enseña, es decir, en lo que se ha convertido.

Por lo que dice en wikipedia, habría sido publicado en inglés el año 2009, por lo que la versión en español debe ser más nueva que eso.

Lo comparto acá porque seguramente alguien lo encontrará interesante también.


P.D. Me enteré de la existencia del texto gracias a Rex, un forista que espero algún día vuelva por acá.

18
Hola,

  tengo una duda sobre notación. En la página 88 de este pdf, en la ecuaciòn (4.3), aparece

    \( D_\phi G(\nu,\phi(\nu))\in{\cal L}(X,Z) \)  (la derivada de Fréchet de \( G \) con respecto a \( \phi \))

¿Cómo se define esta derivada en este contexto?

Yo esperaría que fuera

    \( D_\phi G(\nu,\phi(\nu))=\displaystyle\lim_{\epsilon\to 0}\dfrac{G\big(\phi+\epsilon(\nu,\phi(\nu)\big)-G(\phi)}{\epsilon} \)


pero esto no tiene sentido porque no puedo sumar \( \phi \) a \( (\nu,\phi(\nu)) \).

Entonces, ¿cómo definiría \( D_\phi G(\nu,\phi(\nu)) \)?

Es la misma notación utilizada en la página 297 en el libro clásico: Finite element methods for Navier Stokes, de Girault y Raviart.

19
Hola.

Mi pregunta es un poco vaga: ¿Qué actividades "intelectuales" les parece buena idea que se puede hacer con un jovencito de 15 años durante vacaciones?

1. Una es incentivarlo a leer, buscando literatura que pueda ser de su interés (ej: el libro de alguna película a la moda...). ¿Tienen algún libro a sugerir?

2. ¿Les parece buena idea enseñarle a programar?  Si es así, ¿qué lenguaje será el apropiado o qué tipo de problemas puede ser buena idea?

¿Se les ocurre otra idea?

20
Hola,

 estoy cursando el curso An Introduction to Functional Analysis, acaba de empezar. Está impecable por si alguien quiere seguirlo.

PD:  y como no recordar a Asimov  http://www.youtube.com/watch?v=CtOCcLCGhKk

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