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Mensajes - mathtruco

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Hola zaibelzambrano.

Son cálculos largos, lo que no significa que sea más difícil, sólo que hay más cálculos involucrados. Pero es sólo aplicar la fórmula que escribí (la misma del link a wikipedia).

Considero que lo que más te puede ayudar es que no te escribamos el ejercicio resuelto. Te sugiero que escribas cómo calcularías los dos vectores faltantes y acá lo miramos y lo corregimos. Pero escribe todos los detalles necesarios para poder revisar. Más que seguir el orden de alguien más, es importante que encuentres tu propio orden para hacer las cuentas.

Por otra parte, recuerda que estás buscando una base ortogonal, así que todos los vectores que encuentres deben ortogonales entre sí. Esto te sirve para verificar que vas bien en las cuentas.

Espero atento tus cálculos para revisarlos.

Un saludo.

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Teoría de Conjuntos / Re: Duda en teoría de conjuntos
« en: 15 Octubre, 2020, 11:04 pm »
Hola

Bajo mi punto de vista, en las matemáticas el por qué de las cosas es tan importante como saber cómo son.


Concuerdo con que es bueno comprender cada concepto y resultado en matemática, pero esto depende del grado de profundidad que se busque. En muchas asignaturas y carreras las matemáticas son sólo una herramienta más para comprender la disciplina, y no son el fin último, por lo que basta con conocerlas lo suficiente como para poder aplicarlas. Dependiendo lo que se busque, a veces explicar algún resultado en profundidad puede desviar la atención del estudiante de lo importante del curso, e incluso matar su intuición, y por eso a veces concientemente se omiten las explicaciones de ciertos detalles.

Una forma de formalizar tu demostración:

(1) Por definición de subconjunto, \( B\subseteq A \) significa que \( x\in B\Rightarrow x\in A \).

(2) Sabemos que cuando el valor de verdad de \( p \) es Falso, entonces \( p\rightarrow q \) es Verdadero, independiente del valor de verdad de \( q \).

(3) \( x\in \emptyset \) es Falso, ya que el vacío por definición no tiene elementos.

Por tanto, \( x\in \emptyset\Rightarrow x\in A \) es Verdadero, ya que \( x\in \emptyset \) es Falso, con lo que hemos demostrado que \( \emptyset\subseteq A \).

3
En el símbolo sigma, ¿te referías a eso?


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Teoría de números / Re: Sucesion y polinomio
« en: 13 Octubre, 2020, 08:19 pm »
Hola Julio_fmat.

Este mensaje te puede ser de ayuda: Imagen de un polinomio.

5
Hola emarquezb.

Hace poco respondí una pregunta que te puede servir.

Lo primero es comprender el símbolo de la sumatoria. Lo primero es notar que el subíndice puede cambiar

    \( \displaystyle\sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\dots a_n=\sum_{j=1}^na_j \)

Teniendo eso claro, ya puedes convencerte que para la \( k \) y \( m \) que aparecen en tu problema podrías usar la misma letra (u otra) por lo que lo que debieras probar es:

   \( p(n) \):    \( \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} \).

Con esto:

(1) Debes probar que se \( p(1) \) es verdadera.

(2) Supones que \( p(n) \) es verdadera, esto es, supones que

    \( \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} \).

(3) Pruebas que \( p(n+1) \) es verdadera, esto es, quieres demostrar que

    \( \displaystyle\sum_{k=n+2}^{2(n+1)}\dfrac{1}{k} = \sum_{k=1}^{2(n+1)} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} \).

----

Nota que (3) es sólo reemplazar \( n \) por \( n+1 \) en (2).

Como recomendación: verificaca que p(1), p(2), p(3) son verificar que comprendes bien lo que hay que probar (si comprendes bien la notación de sumatoria) y si la proposición tiene sentidol. Nunca comiences a hacer una demostración "en general" sin entender algunos ejemplos particulares.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Espacios vectoriales
« en: 09 Octubre, 2020, 05:56 pm »
Hola TheMagi.

Cuidado con la notación. Tal como lo escribiste sería un vector cuyas componentes son polinomios:

     \( (1,x+1,x^2+x+1,x^3+x^2+x+1) \)

Para denotar un conjunto debes usar llaves { y }:

    \( \{1,x+1,x^2+x+1,x^3+x^2+x+1\} \)

Para verificar que es base lo primrero a es tener 4 "vectores" (en este caso polinomios), porque la dimensión de \( P_3(\mathbb{R}) \) es 4. Como el conjunto tiene 4 elementos, el conjunto efectivamente puede ser base.

Para demostrar que es base tendrías que verificar que son "vectores" (polinomios) linealmente independientes, directo de la definición:

sean \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\in\mathbb{R} \).

    \( \alpha_1+\alpha_2(x+1)+\alpha_3(x^2+x+1)+\alpha_4(x^3+x^2+x+1)=0 \)

    \( \Leftrightarrow (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)+(\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)x+(\alpha_3+\alpha_4)x^2+\alpha_4x^3=0 \)

    \( \Leftrightarrow \)
    \( \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0 \)
    \( \alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0 \)
    \( \alpha_3+\alpha_4=0 \)
    \( \alpha_4=0 \)

Para que sea linealmente independiente tienes que probar que \( \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0 \), es decir, debes probar que la única solución del sistema es la nula.

La forma general para analizar si el sistema de ecuaciones anterior tiene única solución  es calcular el rango de la matriz de coeficientes. Pero en este caso es mucho más fácil, porque de la última ecuación \( \alpha_4=0 \) (no hay otra opción), reemplazando en la penúltima ecuación obtienes \( \alpha_3=0 \) (no hay otra opción), reemplazando en la segunda ecuación obtienes \( \alpha_3=0 \) (no hay otra opción) y reemplazando estos valores en la primera ecuación obtienes \( \alpha_1=0 \) (no hay otra opción).

Por tanto \( \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0 \) es la única solución del sistema, y por tanto los vectores son linealmente independientes, y por tanto el conjunto es efectivamente una base.

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Hola zaibelzambrano. Revisa las respuestas anteriores. No estás buscando el espacio orgonal, estás buscando una base de vectores ortogonales de tu espacio.

Tienes los vectores:

     \( \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( \mathbf{v}_2=(-1, 1, 0, 2, -1) \), \( \mathbf{v}_3=(1, -1, 1, 0, 2), \) y \( \mathbf{v}_4=( 2, -1, 1, -1, 0) \).

El Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt es como sigue:

    \( \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1 \)

          \( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{(-1, 1, 0, 2, -1)\cdot( 1, 0, -1, 2, 1 ) }{( 1, 0, -1, 2, 1 )\cdot ( 1, 0, -1, 2, 1 )}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

          \( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{2}{7}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

          \( \color{red}\xcancel{=\left(\dfrac{9}{7},\dfrac{-2}{7},-1,\dfrac{10}{7},\dfrac{9}{7}\right)} \)

          \( \color{red}=\left(\dfrac{-9}{7},1,\dfrac{2}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{-9}{7}\right) \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2 \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_4 = \mathbf{v}_4-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_3\rangle\over\langle\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_3\rangle}\mathbf{u}_3 \)


Te dejo a ti calcular \( \mathbf{u}_3 \)  y \( \mathbf{u}_4 \).

Nota que el espacio generado por \( \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} \) es el mismo que el generado por \( \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4\} \). Entonces, ¿qué ganamos con este trabajo? Tener una base ortogonal del subespacio vectorial (una base de vectores ortogonales que genera el mismo espacio).


Puedes ver la fórmula general en wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_ortogonalizaci%C3%B3n_de_Gram-Schmidt

P.D. Lo que está en rojo es una modificación hecha luego de la primera intervención de el_manco

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No quiero parecer pedante. Lo expuesto está correcto, y la redacción es algo muy personal. Pero al menos a mí me agrada más evitar palabras cuando no es necesario. Por ejemplo, este problema lo escribiría así

    \( |x|\leq 3\Leftrightarrow -3\leq x\leq 3 \)

                   \( \Leftrightarrow -12\leq 4x\leq 12 \)

                   \( \Leftrightarrow -14\leq 4x-2\leq 10 \)

                   \( \Rightarrow -14\leq 4x-2\leq 14 \)

                   \( \Leftrightarrow |4x-2|\leq 14 \)

Pero es cosa de gustos, claro.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Resolver $$\sqrt{x}-x+2=0.$$
« en: 08 Octubre, 2020, 03:46 am »
Planteo una forma más cuadrada de resolver la inecuación.

Hola, me gustaría saber como resolver la ecuación :

 
\( \sqrt{x}-x+2=0. \)


La ecuación es equivalente a:

  \( \sqrt{x}=x-2 \)

Esta expresión sólo tiene sentido si \( x\geq 0 \) y si \( x-2\geq 0 \), es decir, buscamos \( x\in R_0:=[0,\infty[\,\cap [2,\infty[\;=[2,\infty[ \) tal que

  \( \sqrt{x}=x-2 \)

Ahora, si \( x\in R_0 \) no tenemos problemas con escribir la equivalencia

  \( \sqrt{x}=x-2\quad\Leftrightarrow\quad x=(x-2)^2\quad\Leftrightarrow\quad \dots\quad x\in\{-1,2\} \).

Y la solución es  \( x\in\{-1,2\}\cap R_0=\{2\} \).

Con esto nos evitamos tener que verificar que si a lo que llegamos es solución del problema inicial (en el fondo es lo mismo).


Recomiendo siempre hacer todas las restricciones al inicio del problema, porque en ocasiones podemos determinar enseguida que el problema no tiene solución.

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Correcto  :aplauso:

No creo que haya otra forma de demostrarlo, ya que es una demostración básica por lo que la única herramienta para demostrarla es a partir de la definición, como hiciste.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Personas en una gala
« en: 07 Octubre, 2020, 01:10 am »
Debo decir que cuando leí el enunciado tampoco caí en que debían bailar en parejas, y menos que éstas debían ser mixtas. Con eso llegué a un sistema de infinitas soluciones que había que analizar.

Luego que delmar lo sugirió me parece la interpretación correcta, ya que en este tipo de ejercicios no hay que asumir nada rebuscado. Pero concuerdo que la redacción no está bien.

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Por otro lado, en \(  \mathbb R^5  \) te dan 4 vectores, luego el subespacio ortogonal tiene dimensión 1. En otras palabras, te basta encontrar un vector ortogonal a los que te dan, que es base del espacio pedido.

Ojo que la pregunta es hallar una base ortogonal del espacio generado por esos cuatro vectores, no están preguntando una base para su ortogonal. Por otra parte, no sabemos si el espacio generado por esos 4 vectores es de dimensión 4, para asegurarnos tendríamos que verificar que son linealmente independientes, así que su espacio ortogonal puede tener dimensión mayor que uno.

POR FAVOR NECESITO AYUDA CON ESTE EJERCICIO, OJALA PUEDAN AYUDARME !!
HALLE UNA BASE ORTOGONAL DEL SUBESPACIO VECTORIAL DE \( IR^5 \) generado por los vectores \( ( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( (-1, 1, 0, 2, -1) \),
\( (1, -1, 1, 0, 2), \) y \( ( 2, -1, 1, -1, 0) \) considerando el producto interno usual en \( IR^5 \).

Lo que te están pidiendo es que apliques el Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Seguro tendrás un ejemplo en tu cuaderno, es sólo aplicar la fórmula. Revisa la fórmula y aplícala y si quieres escribe el desarrollo acá y lo revisamos.

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Álgebra / Re: La norma
« en: 06 Octubre, 2020, 03:50 am »
No busqué la pregunta de límites que mencionas, porque si no has puesto el link me imagino que no es necesario verla para contestar acá.

Nota que \( (x,y)\in\mathbb{R}^2 \)

    \( \|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2} \).

Además, como \( (x,y)=(0,0) \),

    \( \|(x,y)-(0,0)\|=\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2} \)

Pero nota que \( x^2+y^2 \) es un real, no un vector, por lo que \( \|x^2+y^2\| \) no tendría sentido (no sería la norma de un vector).

¿Esto responde la duda?

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Lógica / Re: Contrarrecíproco de esta proposición.
« en: 04 Octubre, 2020, 07:52 pm »
Toda la razón manooooh, escribí la negación de la proposición. Gracias por estar atento.

Como bien dice manooooh, el contrarecíproco de \( p\rightarrow q \) es \( \sim q\rightarrow \sim p \), por lo que el contrarecíproco de

    \( a<b\quad\longrightarrow\quad \Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

es

    \( \sim\Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \quad\longrightarrow\quad\sim(a<b) \)

que es equivalente a

    \( \Big[(\exists \lambda\in(0,1))\;\, a\geq \lambda a+(1-\lambda)b\Big] \quad\longrightarrow\quad a\geq b \)

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Lógica / Re: Contrarrecíproco de esta proposición.
« en: 04 Octubre, 2020, 04:24 pm »
Hola w a y s.

No sé porqué a veces se colocan los cuantificadores al final, aunque es una práctica habitual te aconsejo reescribir el enunciado con los cuantificadores al principio:

    \( a<b\quad\longrightarrow\quad \Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

Recordando que la negación de \( p\rightarrow q \) es \( p\wedge\sim q \), la negación de la proposición es equivalente a

    \( a<b\quad\wedge\quad \sim\Big[(\forall \lambda\in(0,1))\;\, a<\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

lo que es equivalente a

    \( a<b\quad\wedge\quad \Big[(\exists \lambda\in(0,1))\;\, a\geq\lambda a+(1-\lambda)b\Big] \)

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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Probar por Inducción
« en: 04 Octubre, 2020, 03:56 am »
Hola nktclau.

Normalmente es más fácil usar el símbolo de sumatoria y sus propiedades y evitar expandirlo, porque escribimos menos.

    Hipótesis de Inducción: \( \displaystyle\sum_{k=2n+1}^{3n}(2k-1)=5n^2 \)

    Tesis de Inducción: \( \displaystyle\sum_{k=2(n+1)+1}^{3(n+1)}(2k-1)=5(n+1)^2 \)

Hasta ahí ibas bien. Tienes razón, que debemos hacer aparecer la hipótesis de induccion, así que debemos preocuparnos que la sumatoria comience y termine en los mismos números que la hipótesis de inducción.

    \( \displaystyle\sum_{k=2(n+1)+1}^{3(n+1)}(2k-1)=\sum_{k=2n+3}^{3(n+1)}(2k-1)=-\big[2(2n+1)-1\big]-\big[2(2n+2)-1\big]+\left[\displaystyle\sum_{\color{blue}k=2n+1}^{3n+3}(2k-1)\right] \)

Nota que lo que hicimos es hacer que la sumatoria parta desde donde queremos, y con esto la sumatoria tiene dos términos extra que son los que restamos para que se mantenga la igualdad. El límite superior de la sumatoria es aún más sencillo:

    \( \displaystyle\sum_{k=2(n+1)+1}^{3(n+1)}(2k-1)=-\big[2(2n+1)-1\big]-\big[2(2n+2)-1\big]+\left[\displaystyle\sum_{\color{blue}k=2n+1}^{\color{blue}3n}(2k-1)\right]+\big[2(3n+1)-1\big]+\big[2(3n+2)-1\big]+\big[2(3n+3)-1\big] \)

Ahora ya es sólo reemplazar la hipótesis de inducción y hacer cuentas algebraicas.

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Hola alpertron, se ve bueno tu sitio, debe haber mucho trabajo ahí. Además noté que compartes el código que hay detrás en github, lo que me parece excelente.

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Hola OriolRama.

Para la próxima, para mantener el orden, cuando tengas preguntas distintas hazlas en hilos distintos.


pd: me podeis ayudar a encontrar la suma de: \( \sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}(\frac{5}{2^n}-\frac{2}{3^n})} \). (una pista)

Una idea:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\left(\frac{5}{2^n}-\frac{2}{3^n}\right)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{5}{2^n}-\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{2}{3^n}=\dots \)

ya se va pareciendo a series geométricas, ¿no?

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Foro general / Re: Linealidad
« en: 28 Septiembre, 2020, 04:56 pm »
Vamos a ver, no hay que confundir las cosas, el movimiento de un proyectil en un campo como el g no es lineal, eso está claro pero eso no quiere decir que un movimiento de caída libre no este regulado por una ecuación lineal:

\( \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=g \)

Si esa ecuación no es lineal que venga dios y lo vea. En general la dinámica clásica está básicamente regida por el segundo postulado de Newton:

\( \displaystyle F=m\frac{d^2x}{dt^2} \)

que no puede ser más lineal. Lo que son lineales (en mis comentarios) son los sistemas y las ecuaciones que los rigen, es decir los sistemas están regidos por ecuaciones lineales, no los fenómenos que muestran que pueden ser lineales, parabolicos, polinómicos de cualquier orden, periódicos y hasta exponenciales. No es lo mismo.

Salu2

Yo sólo me refería a que hay relaciones en la naturaleza que no son lineales, pensé que esa era la inquietud de la pregunta inicial. En este problema (lanzamiento de un proyectil) tal como lo escribí la ecuación diferencial es lineal, claro, pero es porque es un problema simplificado.

La ecuación \( x''=g \) es lineal porque estás suponiendo a g como constante y que no hay roce con el viento ni vientos que la mueven. Supongo que un modelo más completo tendrá no linealidades.

Como ejemplo, si consideras un avión volando (más complejo que nuestro proyectil), el modelo del fluído que pasa por las alas serían las ecuaciones diferenciales de Navier--Stokes, las cuales son no lineales.


Mi objetico al responder era:

- Dar ejemplos donde las relaciones entre las variables son no lineales que no sean extraños y que podamos visualizar (evitando conceptos que escapan a nuestra intuición, como mecánica cuántica que, aunque tomé un curso al respecto alguna vez, sinceramente no estoy en condiciones de debatir).

- He dado ejemplos donde la solución no es continua y no es derivable. De nuevo, que no son nada extraños.

- Y creo también que he dejado claro que la matemática que se ve en el colegio y universidad son ejemplos básicos, y que no hay que quedarse con que la matemática de verdad será tan ideal o simple. Por supuesto que el ejemplo sencillo se ajustará sólo al problema de pizarrón. Pero hay matemáticos trabajando en problemas reales, y con modelos reales.


Pongo un ejemplo extra. He hecho clases de cálculo a estudiantes de la carrera de negocios. Ustedes sabrán que existen curvas de oferta (creciente) y demanda (decreciente).



En el gráfico que se forma con estas curvas, hay áreas que representan el superávit del consumidor y productor. En el curso de economía propiamente tal, siempre consideran estas curvas como rectas, así que es fácil sacar su intersección, y más fácil calcular el superávit del consumidor y productor (son áreas de triángulos rectángulos). Y tiene todo el sentido del mundo, porque ellos quieren explicar conceptos de economía, y no quieren pasarse la clase completa haciendo cálculos de integrales, la clase de economía perdería el norte.

Cuando veo cálculo de áreas en el curso de cálculo para ellos, siempre explico esto: que estas curvas no tienen porqué ser rectas, y hacemos ejemplos. Y es una pregunta fija de prueba además. Pero en esta pregunta de la prueba (sería calcular área entre curvas), los alumnos que están repitiendo el curso normalmente "mueren", porque no entienden como las curvas de oferta y demanda no son rectas (como ellos ya vieron en economía), y como sea se las ingenian para graficar dos rectas y sacar áreas de triángulos.

De hecho, esto de tener curvas conocidas de oferta y demanda también es teórico. Lo que se tiene en la práctica es un conjunto de datos en excel con oferta y demanda y habrá que usar una cuadratura numérica para hacer el cálculo en realidad.


No sé si yo mismo ya estoy respondiendo algo distinto a lo que inició el hilo, pero al menos yo no seguiré respondiendo el hilo, por mi parte ya he transmitido lo que quería aportar.

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