[*Rafa*]

Buenas que hay, les planteo un problema:
Encontrar una relacion que cumpla las propiedades de una relacion de equivalencia y de orden a la vez.   

Viendo las propiedades, deberia ser una relacion que cumpliera las propiedades simetrica y antisimetrica a la vez, ademas de la reflexiva y transitiva.
Mi pregunta es, ¿es esto posible?

Saludos, Rafa.

[Fernando Revilla]

La relación de igualdad.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Prueba además que la igualdad (todo elemento está únicamente relacionado consigo mismo) es la única relación que cumple tus condiciones. Te llegan las propiedades reflexiva, simétrica y antisimétrica.

Saludos.

[*Rafa*]

Vale muchas gracias a los dos. Pero también cumpliría la propiedad transitiva, entonces ¿qué tipo de relación sería? ¿De orden o de equivalencia?
Saludos.

[Fernando Revilla]

Sería de orden y de equivalencia. A lo que se refería el_manco es a que no necesitas la transitiva para demostrar que la única relación que es simultáneamente de orden y de equivalencia, es la igualdad.

Despidamos el año demostrándolo. Si en un conjunto E no vacío, tienes una relación R que es de orden y de equivalencia, supongamos que para dos elementos a y b de E se verifica aRb. Entonces por la simétrica, bRa. Por la antisimétrica a=b. La reflexiva garantiza que siempre aRa para todo a en E.

No hemos necesitado la transitiva.

Saludos.   

[Jabato]

Observa que si no se cumple la reflexiva no puede demostrarse que dicha relación sea la identidad ya que solo puede demostrarse que dos elementos son iguales si están relacionados, pero nadie dice que un elemento deba estar relacionado consigo mismo en todos los casos, es decir, de la relación de dos elementos se deduce su igualdad, pero de la igualdad no puede deducirse la relación ya que:

"a,b Î A    (aRb) Þ (bRa) Þ (a = b)

pero si no se cumple la reflexiva esta otra es falsa:

"a Î A    (a = a) Þ (aRa)

lo que nos dice que algún elemento no estaría relacionado consigo mismo, y eso descarta a la identidad como posible relación.

Entiéndese por lo tanto que la propiedad reflexiva es necesaria para realizar tal demostración, aunque bién es cierto que no lo es la transitiva, como afirmó Phidias.


Saludos, Jabato.

[*Rafa*]

Ok, lo tengo medio entendido, no es necesario demostrar la propiedad transitiva, pero si quisiera, ¿podría hacerlo así?
En un conunto \( A \) se cumplen las propiedades de una relacion equivalencia y de orden.

\( \forall{ a, b, c } \in{}A \) 

\( aRb\Rightarrow{ a=b}  \)

\( bRc \Rightarrow{b=c}  \)

\( aRc \Rightarrow{a=c} \)

Saludos a todos, y feliz año.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tu demostración no es correcta del todo. En realidad no sé exactamente cuales son tu hipóteisis. Una vez probado que la única relación que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y antisimétrica es la de igualdad, quizá quieras probar que ésta cumple la propiedad transitiva. Esto es muy obvio, pero formalmente sería así.

 Sea \( A \) un conjunto y \( R \) la relación de igualdad en \( A \). Entonces para \( a,b,c\in A \):

\( \left.\begin{matrix} aRb & \Rightarrow{ }& a=b\\bRc & \Rightarrow{}& b=c\end{matrix} \right\}\Longrightarrow{}\quad a=b=c \quad \Rightarrow{} \quad aRc \)

luego cumple la transitiva.

Saludos.

[LauLuna]

Yo diría que la demostración de el_manco presupone la transitividad de la identidad. Y como hemos demostrado ya que nuestra relación es la de identidad, estamos presuponiendo lo que queremos demostrar.

No sé si tiene mucho sentido intentar demostrar que la identidad es transitiva. ¿Podríamos hacerlo a partir de axiomas más evidentes que la misma transitividad de la identidad? Creo que no.

La transitividad de la identidad puede demostrarse a partir del principio de segundo orden:

Axy (x=y -> AP (Px <-> Py))

Supongamos ese principio y

a=b
b=c
a=/=c

Sea P el predicado 'x=c', es decir, ser igual a c. Tenemos:

~Pa
Pb

Y de ahí

a=/=b

En contradicción con lo supuesto.

Pero ¿es ese principio más evidente que la transitividad de la identidad?

Un saludo

[Fernando Revilla]

Si \( S \) es un sistema de primer orden con el predicado de igualdad \( A_1^2 \) entonces,

                   \( (\forall{x_1)}(\forall{x_2})(\forall{x_3})\left(\left A_1^2(x_1,x_2) \right\rightarrow\left(A_1^2(x_2,x_3) \right\rightarrow\left A_1^2(x_1,x_3) \right) \right) \)

es un teorema de \( S \). En consecuencia la propiedad transitiva está implícita en la definición de igualdad. Se supone además que estamos interpretando en este tema \( A_1^2 \) por \( = \).

La correcta demostración que ha dado el_manco está obviamente condicionada por la pregunta de Rafa.

Saludos.