[LauLuna]

En tales sistemas Transitividad es con frecuencia un axioma.

Cuando no lo es se necesitan 'esquemas axiomáticos' para representar el principio de segundo orden que propuse y hacer deducible Transitividad.

La demostración de el_manco es desde luego correcta, supuesta la Transitividad para la igualdad. Creo que si demostramos que una relación R es la relación de igualdad (o identidad), podemos invocar directamente la transitividad de la igualdad para establecer la transitividad de R.

De todas formas, qué es más evidente que qué, depende de los contextos. En algunos sistemas se considera preferible obtener Transitividad como un teorema y en otros tenerla como un axioma.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 Más allá de formalismos lógicos, la idea de mi demostración es más bien que aquel que se encuentra por primera vez con las relaciones y el estudio de sus distintas propiedades, identifique que la propiedad ya conocidad por él sobre la igualdad (si \( a=b \) y \( b=c \) entonces \( a=c \)) es lo que en el contexto de las relaciones se llama transitividad.

 El estudiante maneja el concepto de igualdad de manera intutiva. Digamos que sus propiedades son "evidentes" para él; y en realidad no ésta claro que cualquier formalismo lógico al respecto no necesite basarse en esa u otra intuición menos obvia.

Saludosw.

[Jabato]

Pues yo tengo una pregunta. ¿como definimos la relación de igualdad?

Sabemos que condición deben cumplir dos conjuntos para ser iguales, pero ... ¿que condición deben cumplir dos elementos para ser iguales?

En mi modesta opinión en nuestro universo, y el mundo de las ideas es una parte de él, no pueden existir dos elementos distintos e iguales a la vez, es absurdo, es decir, si son iguales son necesariamente el mismo elemento, que pertenecerá a distintos conjuntos, pero es el mismo elemento. Con esa definición de igualdad las propiedades reflexiva, simétrica, y transitiva son ... no sé si es correcta la palabra, tautológicas, y sería contradictorio negarlas. Todo elemento debe ser necesariamente igual a si mismo, y yo añado, y si dos elementos son iguales son necesariamente el mismo elemento puesto que no pueden existir dos elementos distintos e iguales entre sí, y por lo tanto las propiedades reflexiva, simétrica y la transitiva son de obligado cumplimiento so pena de llegar a contradicción.

Ahora bién, por otro lado ¿que son dos conjuntos iguales? Pues basándonos en lo anterior la respuesta es sencilla, son el mismo conjunto también.

Con otra definición de igualdad quizás las propiedades anteriores no sean tan evidentes, pero a mi no se me ocurre otra que encaje tan bién como ésta.

Saludos, Jabato.

[Fernando Revilla]

Pues yo tengo una pregunta. ¿como definimos la relación de igualdad?

Sabemos que condición deben cumplir dos conjuntos para ser iguales, pero ... ¿que condición deben cumplir dos elementos para ser iguales?

Pregunta interesante Jabato, diríamos la pregunta del millón. Va en serio, no sabría que contestarte. Estoy ahora mismo mirando a una silla y me pregunto si esa silla es igual a esa misma silla. ¿En qué sentido?. ¿Es esa silla la misma en la que yo pensaba hace cinco segundos?. Supongo que alguna mota de polvo le habrá caído desde entonces. Claro, alguien nos dice ¡no hagas trampa!, la silla de hace cinco segundos es solamente igual a la de hace cinco segundos.

Bien, ya tenemos el "cisco" armado. Entonces, si definimos el conjunto \( A=\left\{{(s,t)}\right\} \) en donde \( s \) es la silla y \( t \) representa estados temporales, entonces tenemos el problema resuelto, \( (s,-5)\neq{(s,0)} \) (t=0 instante actual).

La cosa se complica pues parecería que en Matemáticas estamos interesados en verdades "atemporales". Entonces se nos ocurre definir la relación de igualdad como algo que pudiéramos imaginar (?) cumpliendo

\( (i) x=x,\;(ii)(x=y)\Rightarrow({y=x}),\;(iii)((x=y)\wedge(y=z))\Rightarrow{x=z} \)

Entonces ahora cada uno puede interpretar con qué propiedades de la silla me tengo que quedar para que yo pueda decir que \( (s,-5)=(s,0) \). Entonces, ya tenemos la las Matemáticas definidas "atemporalmente",....

Saludos  

 

[Jabato]

Bueno, el problema metafísico que planteas es algo que lleva preocupando a los filósofos desde hace varios miles de años pero no es nuestro caso, fíjate que yo hice referencia al mundo de las ideas, los entes matemáticos más concretamente, dos ideas iguales son la misma idea, me da igual que hablemos de números, de puntos ó de polinomios. Es lo mismo.

No entiendo demasiado bien el resto de tus argumentos, yo solo digo que la relación de igualdad afecta a la esencia pura de los objetos, ya que dos objetos matemáticos iguales resultan ser el mismo objeto, y si no son el mismo entonces son distintos.

Esa es mi definición de elementos iguales, no aspiro que sea la única definición posible, pero con esa definición las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva son evidentes, y no necesitan ser demostradas.

Por otro lado las matemáticas son atemporales por definición, si algo es cierto en matemáticas y puede llegar a demostrarse entonces será cierto para toda la eternidad, incluso lo fué desde el principio de los tiempos, antes incluso de ser demostrado, no debemos confundir nuestra propia ignorancia con la imperfección del mundo.

Saludos, Jabato.

[LauLuna]

Jabato, no sé si quizás identificando precipitadamente las parejas igualdad/diferencia e identidad/distinción.

a y b son iguales syss tienen exactamente las mismas propiedades, aunque numéricamente sean dos entes u objetos distintos.

a y b son idénticos si son el mismo ente u objeto.

La tesis de que no puede haber dos objetos iguales pero distintos (es decir, que no sean el mismo a pesar de tener las mismas propiedades) es el llamado 'principio de identidad de los indiscernibles' de Leibniz:

(1)  Axy AP((Px <-> Py) -> x=y)

donce '=' es la identidad.

La conversa:

(2)  Axy(x=y -> AP(Px <-> Py))

es bastante evidente, de modo que el principio de Leibniz puede exprearse como el bicondicional:

(3)  Axy(x=y <-> AP(Px <-> Py))

Admitiendo el principio de Leibniz, puedes tomas (3) como una definición de identidad. Y, admitiendo ese principio, identidad e igualdad son la misma relación.

Esto conlleva cierta carga ontológica que yo por mi parte asumo gustoso: para mí el principio de Leibniz es evidente y sirve como definición de igualdad/identidad. Si admitimos que ser el mismo que cierto objeto es una propiedad, entonces está claro que los objetos que comparten todas las propiedades son el mismo.

Un saludo

[Jabato]

Bueno, me alegra coincidir con Leibniz, el razonamiento es mío porque no sabía tal cosa, pero aquí hay que mojarse, es decir, hay que optar por una definición de lo que sea dicha relación, entonces cuando hablamos de la "RELACIÓN DE IGUALDAD" ... ¿de que estamos hablando? ¿que es lo que estamos diciendo cuando afirmamos que a = b?

Ya sabeis que a mi me gustan las ideas claras y el chocolate espeso.


Saludos, Jabato.

[LauLuna]

Sinceramente, Jabato, no creo que la cosa pueda definirse más.

Si cada concepto tuviera que definirse en función de otros tendríamos un regreso infinito; por tanto debe haber conceptos primitivos que todo el mundo entiende.

Me parece a mí que la igualdad/identidad es un buen candidato a concepto primitivo. Cuando lo axiomatizamos, en realidad no lo definimos, es decir, no es que aprendamos lo que es a través de esos axiomas; en realidad mediante ellos sólo hacemos explícitas sus propiedades para poder manipular adecuadamente el símbolo y obtener inferencias correctas.

Un saludo

[Jabato]

Entonces creo que es dificil que pueda demostrarse cualquiera de la propiedades comentadas para esa relación, se postulará que la relación de identidad es aquella que cumple dichas propiedades (reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva) y el resto será consecuencia de ello, pero no veo forma de poder demostrar tales propiedades basándonos solo en el concepto primitivo.

Todo lo más sería quizás posible demostrar la transitiva basándonos en que cumple las otras tres, pero creo que eso tampoco puede hacerse, así que debe postularse creo yo, y no hay otra, salvo que ande muy equivocado, que también es posible. En ese aspecto creo que estamos de acuerdo, parece que no tiene mucho sentido intentar demostrar que la relación de igualdad cumple la transitiva, es quizás más adecuado esrtablecer que la relación de igualdad la cumple, por definición, y pasar a otra cosa.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Aunque podemos ahondar más en el concepto. Si me paso de rosca me lo decís y paro.

Existen dos formas diferentes de llegar al concepto de igualdad, la igualdad de los elementos y la otra sería la equivalencia de las transformaciones, sobre la primera ya di mi opinión, dos elementos son iguales solo si son el mismo. Bien para mi es correcta y dificil de cuestionar, pero existe otra forma de llegar a una expresión de la forma a = b.  Se trata de establecer que determinadas transformaciones de un elemento son equivalentes, por ejemplo, cuando digo que:

x² + 1 = 2x

lo que estoy diciendo es que x es tal que al transformarlo de la forma expresada en el primer miembro de la ecuación obtengo el mismo resultado que si lo transformo en la forma que expresa el segundo miembro, ó dicho de otra forma, ambas transformaciones son equivalentes cuando x = 1. Por supuesto que ambos miembros son iguales a 2, (os recuerdo aquí que si ambos miembros son iguales ambos miembros son el mismo elemento, solo existe un dos, no varios doses todos ellos iguales entre sí)

Por lo tanto la igualdad establece la equivalencia de la transformación elevar al cuadrado y sumar 1 que la transformación multiplicar por 2, ya que si x = 1 ambas conducen al mismo elemento, al 2.

No sé muy bien si cuando establecemos una relación de igualdad estamos hablando de la primera ó de la segunda, ambas situaciones en matemática se expresan con el mismo símbolo = pero tiene un significado conceptualmente distinto, por lo tanto cuando hablamos de una relación de igualdad debería especificarse a qué estamos haciendo referencia, a una identidad entre elementos ó a una equivalencia entre transformaciones.

Ya veis que el tema admite bastante análisis y es complejo, de hecho la igualdad debería expresarse con el símbolo de la identidad matemática en unos casos y en otros con el signo igual, todos vosotros sabeis cual es la diferencia entre una identidad y una ecuación.

En fín la cosa resulta algo confusa a este nivel y aunque se distinguir unos caso de otros, a ciertos niveles lógicos ya ando muy perdido, no tengo conocimientos de lógica suficientes para meterme por esos berengenales.

Saludos, Jabato.