[Alexander]

Demostrar que para cualquier número primo \( \displaystyle p \) y todo entero positivo \( \displaystyle n \), con \( \displaystyle 0<n<p \), \( \displaystyle \binom{p}{n} \) es divisible entre \( \displaystyle p \).

[Juan Pablo Sancho]

Bienvenido al foro Alexander:

Me estaba calentando la cabezota (no leí número primo p) , tienes que un número primo \(  p  \) sólo es divisible por \(  1  \) o \(  p  \)

Tenemos que \( \displaystyle {p \choose n } \in \mathbb{N}  \) y tenemos que \(  n  <  p  \) y \(  p-n < p  \)

Mira en en la descomposición de \(  n!  \) y \(  (p-n)!  \) en primos y  ver si alguno puede se \(  p  \)

[aladan]

Spoiler

Demostrar que para cualquier número primo \( \displaystyle p \) y todo entero positivo \( \displaystyle n \), con \( \displaystyle 0<n<p \), \( \displaystyle \binom{p}{n} \) es divisible entre \( \displaystyle p \).

[cerrar]

Hola

Si entiendo bien el enunciado se pide, siendo \( p>n>0 \) demostrar

                  \( \displaystyle\binom{p}{n}=kp:k\in{\mathbb{N}} \)(**)

veamos el desarrollo del número combinatorio

     \( \displaystyle\binom{p}{n}=\dfrac{p!}{n!(p-n)!}=\dfrac{p(p-1)(p-2)...[p-(n+1)]}{n!} \)

si no estoy equivocado, que todo es posible, creo que a partir de ahí es sencillo probar (**), independientemente de que \( p \) sea o no primo como también se indica en el enunciado.

Esta respuesta, además de contener algún error  citado en respuestas posteriores no aporta nada útil a la discusión. Lo lamento, parece que al escribirlo no estaba en el mejor momento.

Saludos

[Alexander]

Exacto, Aladan. Eso mismo es lo que yo ya hice. Pero ahí no acaba la cosa... el factor \( \displaystyle k \) debe ser un entero no negativo. Lo que sigue por probar pues, es que \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \cdot \left [p-(n-1) \right]}{n!} \) es un número entero no negativo. Esto es precisamente lo que aún no he probado. Aquí te corrijo el error que tienes al cancelar los factores \( \displaystyle (p-n)! \) del numerador y del denominador, donde el último factor que queda en el numerador es \( \displaystyle \left [p-(n-1) \right] \) y no \( \displaystyle \left [p-(n+1) \right] \), como lo tienes tú.

[Juan Pablo Sancho]

Mira \( \displaystyle {8 \choose 2}  \)  no se cumple lo pedido,\(  p  \) debe ser primo.

[Alexander]

Así es, Juan Pablo. Ese es otro detalle que hay que corregirle a Aladan, \( \displaystyle p \) debe ser primo. Si \( \displaystyle p \) no es primo, con tu ejemplo, vemos que no se cumple el enunciado, pues \( \displaystyle \binom{8}{2}=28 \) no es divisible entre \( \displaystyle 8 \).

[Juan Pablo Sancho]

Aladan pensó lo mismo que yo al final la prueba la hice sin demostrar el fallo cuando \(  p  \) no  es primo, me salió después de la respuesta de aladan.

Lo de confundir \(  p - (n-1)  \) por \(  p-(n+1)  \) en Nicaragua no sé que hora es pero aquí es de madrugada  .

En mi primera respuesta \(  \displaystyle {p \choose n} \in \mathbb{N}  \) te demuestro  que ningún  factor primo de \(  n!  \) ni \(  (p - n)!  \) puede dividir \(  p  \).

Entonces:


\(  \displaystyle \dfrac{(p-1)\cdot (p-2) \cdot \cdots \cdot (p-(n-1))}{n!} \in \mathbb{N}  \)




Editado

Uso el lema de Euclides:

Si \( mcd(a,b) = 1  \) y \(  a | b \cdot c  \) entonces \(  a | c  \)

Tengo que :

\(  n!|p \cdot  (p-1) \cdot (p-2) \cdots (p-(n-1))  \) y \(  mcd(n!,p) = 1  \) entonces \(  n! | (p-1) \cdot (p-2) \cdots (p-(n-1))  \)

Lo mismo :

\(  mcd(n! \cdot (p-n)!,p) =1   \)  con \( n! \cdot (p-n)!|p!  \) tenemos \(  n! \cdot (p-n)!|(p-1)!  \)

Editado 2

Si \(  p  \) compuesto y \(  1<n<p  \) creo que falla cuando \(  mcd( p , n ) = n   \)

Saludos.

[feriva]

Lo que sigue por probar pues, es que \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \cdot \left [p-(n-1) \right]}{n!} \) es un número entero no negativo. Esto es precisamente lo que aún no he probado.

Pues es muy sencillo; “n” es mayor que cero, es positivo, y “p” es mayor que “n”, por tanto, positivo también, luego
\( \dfrac{p!}{n!(p-n)!} \) es positivo

Y es un número entero porque se sobreentiende que son combinaciones normales, formas de elegir las cosas, de una forma, de dos, de tres... Lo más que puedes hacer en ese sentido es ir a buscar la demostración de la fórmula de las combinaciones, la cual se deduce de las variaciones y por tanto hay que demostrarlas primero (yo se la puse a un amgio en un hilo y muy detallada, ahora no sé dónde) pero no hace falta, no creo que te pidan eso.

Saludos.

[Alexander]

Jajaja, feriva. Claro que \( \displaystyle \binom{p}{n}=\frac{p!}{(p-n)!n!} \) es un número entero positivo. Pero hay que demostrar que además, es divisible entre \( \displaystyle p \), o bien, múltiplo de \( \displaystyle p \). El número \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\cdot \ldots \cdot \left [p-(n-1) \right]}{n!} \) es otra cosa, y no podemos afirmar así no más que sea un entero positivo. Hay que demostrarlo.\( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\cdot \ldots \cdot \left [p-(n-1) \right]}{n!}\ \neq\ \frac{p!}{(p-n)!n!} \).

[Juan Pablo Sancho]

Las duda que respondía feriva era otra:

1) Creía que no sabías si podía tomar elementos negativos, por eso la explicación que te dio para que vieras que son positivos.

2) Que el número combinatorio es siempre un natural (y eso lo puso también)

Este lugar también te puede servir: coeficiente binomial

Esto \( \displaystyle \dfrac{(p-1) \cdot (p - 2) \cdots (p-(n-1))}{n!} \in \mathbb{N}  \) cuando \(  p  \) primo, está demostrado en mi último mensaje