[feriva]

Pero hay que demostrar que además, es divisible entre \( \displaystyle p \), o bien, múltiplo de \( \displaystyle p \)

Ya, eso lo demostró previamente Juan Pablo. La cuestión es, ¿tienes realmente alguna duda en cuanto al razonamiento? Por si la tuvieras:

Creo que es bastante sencillo. En el numerador tenemos el factorial de “p”, que contiene en su producto todos los naturales, salvo el cero, que hay hasta “n” y  los siguientes naturales hasta “p” incluido éste  (todos, porque es factorial, no primorial).

 En el denominador tienes, por una parte,  “n” factorial, que no contiene a “p” como factor por ser mayor que “n”; luego ningún factor de “n!” se cancela con el “p” del numerador; dado que, también, ningún factor de “n!”, al descomponerse en primos, puede contener a “p”, pues sería un factor mayor que el propio número descompuesto, lo cual es imposible. 

Finalmente, en el denominador tienes, multiplicando a “n!”,  a  (p-n)! y, como “p-n” es menor que “p”, este factorial tampoco contiene el factor “p”, por lo que tampoco existe un factor que se cancele por división con el “p” del numerador. Luego el resultado, por todo lo dicho, es un entero múltiplo de “p”.

(un detalle sin demasiada importancia; sin un número es múltiplo de cualquier "p", o del número entero que sea, entonces es forzosamente divisible entre "p", por lo que no cabe la disyunción "o múltiplo de "P" o divisible por "p" )

Saludos. 

[Alexander]

Bueno, yo he desarrollado el siguiente razonamiento sobre por qué \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) debe ser un número entero positivo:

Lo que pasa es que \( \displaystyle p \) no es divisible entre \( \displaystyle n! \). Para que \( \displaystyle p \) fuera divisible entre \( \displaystyle n! \) sería necesario que \( \displaystyle n! \) fuera exactamente igual a \( \displaystyle p \), y esto no puede ser. \( \displaystyle n! \) es el producto de varios factores, por lo cual su resultado no puede ser \( \displaystyle p \), que es un número primo (el número primo \( \displaystyle p \) se descompone sólo como \( \displaystyle 1 \cdot p \)), sería necesario que \( \displaystyle n! \) constara sólo de 1 factor, \( \displaystyle p \), y eso no es así. De hecho, ningún factorial es igual a un número primo, porque \( \displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\ldots 1 \), donde vemos que \( \displaystyle n! \) consta de otros factores, además de \( \displaystyle 1 \) y el mismo \( \displaystyle n! \). Y en consecuencia, como \( \displaystyle \frac{p(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) debe ser un entero positivo por ser igual a \( \displaystyle \binom{p}{n} \) con \( \displaystyle 0<n<p \) (\( \displaystyle n \) siempre es menor que \( \displaystyle p \), por lo cual \( \displaystyle \binom{p}{n} \) siempre es un entero mayor que \( \displaystyle 0 \), nunca puede ser \( \displaystyle 0 \)), pues necesariamente se tiene que el otro factor, que muntiplica a \( \displaystyle p \) en el numerador, que es \( \displaystyle (p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right] \), debe ser divisible entre \( \displaystyle n! \). En otras palabras, \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) debe ser un entero positivo, mayor que \( \displaystyle 0 \).

Finalmente, se tiene pues, \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!}=k \), donde \( \displaystyle k \) es un entero mayor que \( \displaystyle 0 \). Así, \( \displaystyle \binom{p}{n}=\frac{p(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!}=p\cdot \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!}=pk \). Por tanto, \( \displaystyle \binom{p}{n} \) es múltiplo de \( \displaystyle p \).


Ahí me dicen qué opinan, por favor.

[Carlos Ivorra]

Vale que \( p \) no es divisible entre \( n! \), pero no veo por qué eso implica que \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \)  es entero.

Por ejemplo, \( \displaystyle\frac{3\cdot 4}{6} \) es entero, 3 no es divisible entre 6, y eso no implica que 4/6 sea entero.

Comprueba que

\( \displaystyle \binom p{m+1}=\frac{p-m}{m+1}\binom pm \)

y razona por inducción sobre m.

[Alexander]

Carlos Ivorra: En el ejemplo que tú muestras, tomas \( \displaystyle n=3 \), y el valor correspondiente de \( \displaystyle p \) es \( \displaystyle p=5 \). Así, tu caso es \( \displaystyle \binom{5}{3} \). Esto, según mi razonamiento, lo expresaría así: \( \displaystyle 5 \cdot \frac{4 \cdot 3}{3!} \). Lo que nos interesa que sea un entero positivo es \( \displaystyle \frac{4 \cdot 3}{3!} \), y no \( \displaystyle \frac{4}{3!}=\frac{4}{6} \). Lo que pasa con el problema que dice el enunciado, es que en realidad siempre el factor que queda multiplicando a \( \displaystyle p \), que es \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) es un entero positivo, y así debe ser, porque como \( \displaystyle p \) no es divisible entre \( \displaystyle n! \) y todo el resultado de \( \displaystyle \frac{p(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) debe ser un entero positivo, entonces el otro factor, es decir, el \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) debe ser un entero positivo. Como el denominador \( \displaystyle n! \) no se simplifica con \( \displaystyle p \) (la división \( \displaystyle \frac{p}{n!} \) no reduce la toda la expresión a un número entero), entonces el denominador \( \displaystyle n! \) se simplifica con \( \displaystyle (p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right] \). La división \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) es la que reduce toda la expresión a un número entero, por tanto, \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) es un número entero positivo. Si no fuera un entero positivo, entonces sería un número racional (positivo), y su denominador debería simplificarse con \( \displaystyle p \), pero eso sería posible si y sólo si dicho denominador fuera exactamente igual a \( \displaystyle p \). Creo que dicho denominador no puede quedar exactamente igual a \( \displaystyle p \). Échenme la mano para justificar esto último, por favor, porque lo que yo he visto en muchos casos particulares es que siempre en todos ellos, el valor de \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) resulta ser un entero positivo, no un número racional positivo.

[Carlos Ivorra]

No has entendido bien mi ejemplo. Obviamente, no puedo ponerte un contraejemplo a que el número que dices que es entero lo es realmente, porque eso es cierto. Lo que te ponía era un ejemplo de que si tienes un cociente de la forma \( \displaystyle \frac{pa}b \), el hecho de que \( p \) no sea divisible entre b no prueba que a/b sea entero, que es lo que tú pretendes usar en tu argumento.

[Alexander]

Lo que tú me dices yo lo entiendo muy bien, lo sé perfectamente, Carlos Ivorra. Pero es que aquí, en este problema que estamos discutiendo, no queda de otra que el valor de \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) sea un entero positivo, porque, vuelvo a repetir, el \( \displaystyle n! \) no se simplifica con \( \displaystyle p \), así que se simplifica, o bien, se reduce a un entero positivo, con \( \displaystyle (p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right] \). Es así como toda la fracción \( \displaystyle \frac{p(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) se reduce a un entero positivo, que con toda seguridad sabemos que es un entero positivo, pues es igual a \( \displaystyle \binom{p}{n}\ \in\ \mathbb{N} \).

[Carlos Ivorra]

Es así como toda la fracción \( \displaystyle \frac{p(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) se reduce a un entero positivo.

Esto es cierto y es conocido (los números combinatorios son enteros).

Pero es que aquí, en este problema que estamos discutiendo, no queda de otra que el valor de \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) sea un entero positivo

Eso es cierto, pero es lo que tienes que demostrar. Yo no te digo que sea falso. Te digo que el argumento con el que pretendes probarlo no vale.

porque, vuelvo a repetir, el \( \displaystyle n! \) no se simplifica con \( \displaystyle p \),

Eso es indiscutible.

así que se simplifica o bien, se reduce a un entero positivo, con \( \displaystyle (p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right] \).

Ahí está el fallo. De la primera afirmación que he citado en este mensaje se deduce que todos los primos q dividen a \( n! \) con exponente menor o igual que a \( p(p-1)\cdots (p-(n-1)) \), luego todos los primos \( q\neq p \) dividen a \( n! \) con exponente menor o igual que a \( (p-1)\cdots (p-(n-1)) \), pero te falta probar que lo mismo vale para el propio p, lo cual equivale a que p divida a \( p(p-1)\cdots (p-(n-1)) \) con exponente estrictamente mayor que  a \( n! \), y nada de lo que dices lo justifica.

[Alexander]

Bueno, mira, en verdad no entiendo lo que me has dicho en tu último mensaje, en el cual me dices dónde está el fallo. Te pido, por favor, que tú me expliques la justificación completa usando el argumento que yo quiero usar, ya que yo no he podido, pero en términos más sencillos, para que yo lo entienda.

[Carlos Ivorra]

Bueno, mira, la verdad no entiendo bien lo que me has dicho en tu último mensaje, en el cual me dices dónde está el fallo. Te pido, por favor, que me expliques la justificación completa usando el argumento que yo quiero usar, pero en términos más sencillos.

Es que no veo que el argumento que quieres usar pueda llegar a buen puerto. Yo lo único que te digo es que tú dices:

\( \displaystyle \frac{p(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) es entero.

Cierto (y lo podemos dar por demostrado).

\( n! \) no divide a \( p \)

Cierto (lo has demostrado y tu prueba es correcta).

luego \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) es entero.

Y eso, aunque es cierto, no se sigue de lo anterior. Tú afirmas que sí, pero lo cierto es que no. Y no soy yo quien tiene que demostrarte que no es cierto, sino tú quien tiene que justificar por qué eso es cierto si crees que lo es. De todos modos, lo intento otra vez:

Llama \( a = (p-1)(p-2)\ldots [p-(n-1)] \), \( b=n! \). Entonces, salvo que añadas algo que hasta ahora no has dicho, tu argumento es:

\( \displaystyle \frac{pa}{b} \) es entero.

Cierto.

b no divide a p.

Cierto.

Luego a/b es entero.

En tu argumento no hay nada que no permita aplicarlo a valores arbitrarios de p, a, b, pero ya te he puesto un contraejemplo con \( p=3, a = 4, b = 6 \). Obviamente, ese contraejemplo no se ajusta al caso de los números combinatorios, porque en ese caso no hay contraejemplos, pero la cuestión es que si tu argumento fuera válido, también permitiría probar que 4/6 es entero, y no es el caso.

Otro argumento, a ver si te convence más: ¿en qué punto de tu argumento usas que \( n< p \)? Porque cuando \( n=p \) la conclusión es falsa, pero si tu argumento funcionara, funcionaría también cuando \( n=p \).

Te he dado un camino alternativo para probar el resultado, por inducción. Sale muy fácil.

[Alexander]

Bueno, pero ahora recuerdo lo que me dijiste en un mensaje anterior: "el argumento con el que pretendes probarlo no vale". Entonces, por favor, justifica tú que \( \displaystyle \frac{(p-1)(p-2)\ldots \left[p-(n-1)\right]}{n!} \) es un número entero positivo, porque yo quiero justificarlo y no sé cómo.