como dice feriva, a partir de la definición algebraica (la fórmula). Por cierto, ya leí el documento del link que escribió, donde se dan las deducciones de las fórmulas de las Variaciones, Permutaciones y, claro, las Combinaciones. Lo que habría que analizar es por qué con esas fórmulas se obtienen, siempre que el número de elementos de cada grupo no supere al número total de elementos que se dan al principio, números enteros positivos.
Hola, Alexander; me explico un poco más:
En el caso general de las combinaciones \( \dfrac{m!}{k!(m-k)!}
\) (pongo “m” para que no se confunda con la “n” de tu caso particular, que desempeña el papel de “k”) en principio, “m” puede ser primo o no, por lo que para demostrarlo con el lema de Euclides necesitas que te den alguna condición, como la que tienes en tu problema, por ejemplo (caso que ya está demostrado por Juan Pablo, como dice Carlos)
Si no tienes ninguna condición, en efecto yo creo que la manera más fácil para ver esto (la más fácil que yo veo, porque a lo mejor hay otra más sencilla) es la que te digo; y, por supuesto, al ser general, incluye también tu caso particular.
Primero viene la idea de combinación y de ella se llega a la fórmula; y no de la fórmula a la idea de combinación; históricamente fue antes la idea que la fórmula.
Si tú te planteas de cuántas formas puedes agrupar siete elementos tomándolos de un conjunto de mil elementos distintos, pues la cantidad de formas tiene que ser un número entero, no va a haber “media forma” de agrupar o elegir uno o varios de ellos; ya que, si quitas un sólo elemento de una elección hecha y pones otro distinto, ya tienes una combinación distinta (no media combinación ni tres cuartos) y si no cambias ninguno, es la misma que era. Este concepto no necesita demostrarse, es así, no te puede salir una cantidad no entera de combinaciones (porque ni siquiera cabe imaginar físicamente tal concepto en la cabeza).
Y, lógicamente, si tengo sólo 3 elementos entre los que elegir, no puedo hacer grupos de siete elementos, para hacer eso tendré que tener al menos siete para elegir; esta condición también es obvia y no necesita más demostración; así que \( m\geq k
\) porque otra cosa es imposible.
Por tanto, si con este razonamiento llegamos a demostrar que la fórmula general para calcular la cantidad de combinaciones, la cantidad que sea dados cualesquiera naturales \( m,k\,\, con\,\, m\geq k
\), el resultado será siempre una cantidad de combinaciones entera, no existe el concepto de “media combinación” ni nada así, y esa cantidad vendrá representada por un número natural además, un entero positivo (porque en principio tampoco tiene mucho sentido hablar de formas negativas de elegir los elementos).
Es como si tú tienes la receta para hacer pintura roja y la haces; la receta viene a ser la idea o planteamiento de que las combinaciones son cantidades (enteras); cantidades de formas de elegir entre unos elementos y todo eso que he dicho; por otro lado, la pintura roja, ya manufacturada, viene a ser la fórmula a la que llega con esa idea; ¿hay que demostrar que la pintura es roja, acaso puede ser de otro color? O con otro ejemplo: si tienes un saco que sólo contiene bolas y nada más, ¿hay que demostrar que es imposible sacar algo que no sea una bola?
Saludos.
