El lector podrá encontrar en pdf la teoría a la que se alude en el hilo
"¿Qué importancia tienen los elementos idempotentes en un Anillo?"-Idempotentes_anillos_algebras.pdf- Se parte previamente de los tres siguientes resultados (cuya prueba se puede adjuntar posteriormente y no se pone aquí para no hacer extenso el núcleo principal de la demostración)
Proposición 1.-Para toda terna de números enteros \( (a,b,c) \) y para todo \( m \) natural impar se cumple:
\( (b+c)(a+c)(a+b) \) | \( (a^m + b^m + c^m - (a + b + c)^m) \) (1)
Proposición 2.- Si la terna, no trivial, de números enteros coprimos \( (a,b,c) \) es solución de la ecuación \( a^n + b^n + c^n = 0 \) para un \( n \) primo distinto de 2, se cumple: (2)
\( i) \) \( (b+c) \mid a^n \), \( (a+c) \mid b^n \), \( (a+b) \mid c^n \)
\( ii) \) Si \( n \mid a \) existe un \( x \in{\mathbb{Z}} \) tal que \( b+c = n^{n-1} x^n \), \( n \mid x \), \( mcd(nx,\displaystyle\frac{a}{nx})=1 \)
Si \( n \nmid a \) existe un \( x \in{\mathbb{Z}} \) tal que \( b+c = x^n \), \( n \nmid x \), \( mcd(x,\displaystyle\frac{a}{x})=1 \)
\( iii) \) Si \( n \mid b \) existe un \( y \in{\mathbb{Z}} \) tal que \( a+c = n^{n-1} y^n \), \( n \mid y \), \( mcd(ny,\displaystyle\frac{b}{ny})=1 \)
Si \( n \nmid b \) existe un \( y \in{\mathbb{Z}} \) tal que \( a+c = y^n \), \( n \nmid y \), \( mcd(y,\displaystyle\frac{b}{y})=1 \)
\( iv) \) Si \( n \mid c \) existe un \( z \in{\mathbb{Z}} \) tal que \( a+b = n^{n-1} z^n \), \( n \mid z \), \( mcd(nz,\displaystyle\frac{c}{nz})=1 \)
Si \( n \nmid c \) existe un \( z \in{\mathbb{Z}} \) tal que \( a+b = z^n \), \( n \nmid z \), \( mcd(z,\displaystyle\frac{c}{y})=1 \)
Proposición 3.- Para toda terna de números enteros \( (a,b,c) \) se cumple:
\( (ab + ac + bc)(a + b + c) = (a+b)(a+c)(b+c) + abc \) (3)
DemostraciónSea \( \rho=2\mu \) donde \( \mu \) es el mínimo común múltiplo de los órdenes de idempotencia (def. 10.9 pdf; como referencia, aunque puede ser cualquier múltiplo común de los exponentes de las potencias idempotentes) de \( a, b, c \) en \( \mathbb{Z}_{a^2b^2c^2} \) y sea \( p \) un número primo tal que \( p \) \( \nmid \) \( \rho \). Entonces existe un natural \( k \) (orden de invertibilidad de \( p \) en \( \mathbb{Z}_{\rho} \)) tal que:
\( p^k = \dot{\rho}+1 \)
donde \( \dot{\rho} \) indica un múltiplo de \( \rho \) (en adelante se utilizará el punto encima para designar un múltiplo).
Para \( m = n \) de (1) se deduce que \( (b+c)(a+c)(a+b) \) | \( (a + b + c)^n \) \( \Rightarrow{x^3y^3z^3} | (a^m + b^m + c^m) \) \( \forall{m\geq{3}} \)
Por tanto se cumple:
\( \dot{x^3y^3z^3}= a^{p^k} + b^{p^k} + c^{p^k} = a^{\dot{\rho}+1} + b^{\dot{\rho}+1} + c^{\dot{\rho}+1}= \)
\( =a(a^{\dot{\rho}}-1)+ b(b^{\dot{\rho}}-1)+ c(c^{\dot{\rho}}-1) + a + b + c = a(bc)^{\rho} + b(ac)^{\rho}+c(ab)^{\rho} + a+b+c + \dot{a^2b^2c^2} \) (4)
Pues los conjuntos \( \left\{{a^{\dot{\rho}}, (bc)^{\rho}}\right\} \), \( \left\{{b^{\dot{\rho}}, (ac)^{\rho}}\right\} \), \( \left\{{c^{\dot{\rho}}, (ab)^{\rho}}\right\} \) son conjuntos cerrados y maximales de elementos idempotentes que cumplen la igualdad de idempotencia (prop. 2.5 PDF) Ahora multiplicando los dos miembros de (4) por \( (ab + ac + bc) \) y haciendo uso de la propiedad (3) tenemos:
\( \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}=(a(bc)^{\rho} + b(ac)^{\rho}+c(ab)^{\rho})(ab + ac + bc) + (a+b+c)(ab + ac + bc) \) \( \Rightarrow{ \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}=abc((bc)^{\rho-1} + (ac)^{\rho-1}+(ab)^{\rho-1})(ab + ac + bc) + (a+b)(a+c)(b+c) + abc} \) \( \Rightarrow{\dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}= abc(((bc)^{\rho-1} + (ac)^{\rho-1}+(ab)^{\rho-1})(ab + ac + bc) +1)} \) \( \Rightarrow{\dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}= abc(((bc)^{\rho} + (ac)^{\rho}+(ab)^{\rho}+\dot{abc} +1)=2abc+\dot{a^2b^2c^2}} \) (5)
Donde en la última igualdad se ha hecho uso de la identidad de idempotencia: \( (bc)^{\rho} + (ac)^{\rho}+(ab)^{\rho}=1+\dot{a^2b^2c^2} \)
Finalmente de (5) se deduce:
\( \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}=2abc \) por lo que \( n \nmid abc \) y se tiene: \( xyz \mid 2\displaystyle\frac{a}{x}\displaystyle\frac{b}{y}\displaystyle\frac{c}{z} \) \( \Rightarrow{xyz \mid 2} \) (6) donde se han tenido en cuenta todas las condiciones de (2)
Para evitar el uso de signos negativos, sin pérdida de generalidad, podemos suponer \( a,b > 0 \), \( c < 0 \) con \( a + b > |c| > a, b \) y tendremos los siguientes casos que se deducen de (6)
z = 1- En este caso \( a + b = z^{n}=1 \Rightarrow{c=0} \), absurdo,
z = 2, x = y = 1- En este caso \( |c|-b=x^{n}=1=y^{n}= |c|-a\Rightarrow{a=b} \), absurdo
