A continuación publico parte del trabajo que estoy realizando, lo que le da un fin divulgativo independientemente de lo mucho, poco o nada original que pueda ser, pues creo que muchos foreros desconocerán los contenidos que se tratan. Por poner ejemplos de algunos resultados que se obtienen en enteros y anillos de restos enteros se dan los siguientes:
Sea \( m=a_1 a_2 ...a_k \) y \( A_i=m/a_i \) para \( 1≤i≤k \) , siendo los \( a_i \) primos entre sí, entonces: \( \displaystyle\sum_{i=1}^k{A_i^{\phi(a_i)}}\equiv{1} \) mod \( m \) y \( \displaystyle\sum_{i=1}^k{a_i^{\phi(A_i)}}\equiv{k-1} \) mod \( m \)
Sea \( M=a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2} ...a_k^{\alpha_k} \) y \( A_i=M/a_i^{\alpha_i} \) para \( 1≤i≤k \) , siendo los \( a_i \) primos entre sí, consideramos ahora los órdenes \( \rho_i \) de cada \( [a_i] \) como elementos invertibles en \( \mathbb{Z_{A_i}} \), entonces existe un natural \( p \) tal que: \( (\displaystyle\sum_{i=1}^k{a_i^{\rho_i}}-k+1)^p\equiv{0} \) mod \( M \)
Sean \( a,b,v \in{\mathbb{Z-\left\{{0}\right\}}} \) tales que \( mcd (v , b)=1 \) y todo divisor primo de \( a \) divide a \( v \). Consideremos \( \rho \) el orden de \( [v] \) como elemento invertible de \( \mathbb{Z_b} \). Entonces existen naturales \( r \) y \( t \) tales que: \( a b | (1-v^{\rho})^t -(1-v^{r \rho}) \)
Sean \( r, \rho \in{\mathbb{N-\left\{{0}\right\}}} \) y \( v, c \in{\mathbb{Z-\left\{{0}\right\}}} \) tales que todos los divisores primos de \( c \) dividen a \( v \) y \( r \rho \) es el primer múltiplo de \( \rho \) tal que \( c | v^{r \rho-1} \) , entonces existe un natural \( t \) para el que se cumple: \( c v (1-v^{\rho}) | (1-v^{\rho})^t -(1-v^{r \rho}) \)
A parte de estos el trabajo incluye otros resultados mas generales para anillos unitarios y conmutativos.
