Hola
Por tanto se cumple:
\( \dot{x^3y^3z^3}= a^{p^k} + b^{p^k} + c^{p^k} = a^{\dot{\rho}+1} + b^{\dot{\rho}+1} + c^{\dot{\rho}+1}= \)
\( =\color{red}a(a^{\dot{\rho}}-1)+ b(b^{\dot{\rho}}-1)+ c(c^{\dot{\rho}}-1) + a + b + c = a(bc)^{\rho} + b(ac)^{\rho}+c(ab)^{\rho} + a+b+c + \dot{a^2b^2c^2}\color{black} \) (4)
Pues los conjuntos \( \left\{{a^{\dot{\rho}}, (bc)^{\rho}}\right\} \), \( \left\{{b^{\dot{\rho}}, (ac)^{\rho}}\right\} \), \( \left\{{c^{\dot{\rho}}, (ab)^{\rho}}\right\} \) son conjuntos cerrados y maximales de elementos idempotentes que cumplen la igualdad de idempotencia (prop. 2.5 PDF)
La igualdad de idempotencia lo que dice es que \( a^{\dot{\rho}}+ (bc)^{\rho}=1 \) (es correcta por cierto) en \( \Bbb Z_{a^2b^2c^2} \) y por tanto:
\( a^{\dot{\rho}}-1=\color{red}-\color{black}(bc)^{\rho} \)
¡OJO CON ESE SIGNO MENOS!. Lo análogo para las otras dos:
\( b^{\dot{\rho}}-1=\color{red}-\color{black}(ac)^{\rho} \)
\( c^{\dot{\rho}}-1=\color{red}-\color{black}(ab)^{\rho} \)
Si ahora corregimos lo que has hecho con ese signo menos queda:
Ahora multiplicando los dos miembros de (4) por \( (ab + ac + bc) \) y haciendo uso de la propiedad (3) tenemos:
\( \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}=\color{red}-\color{black}(a(bc)^{\rho} + b(ac)^{\rho}+c(ab)^{\rho})(ab + ac + bc) + (a+b+c)(ab + ac + bc) \) \( \Rightarrow{ \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}=\color{red}-\color{black}abc((bc)^{\rho-1} + (ac)^{\rho-1}+(ab)^{\rho-1})(ab + ac + bc) + (a+b)(a+c)(b+c) + abc} \) \( \Rightarrow{\dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}= \color{red}-\color{black}abc(((bc)^{\rho-1} + (ac)^{\rho-1}+(ab)^{\rho-1})(ab + ac + bc) \color{red}-\color{black}1)} \) \( \Rightarrow \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}= \color{red}-\color{black}abc(((bc)^{\rho} + (ac)^{\rho}+(ab)^{\rho}+\dot{abc} \color{red}-\color{black}1)=\color{red}\cancel{2abc+\dot{a^2b^2c^2}}\color{black} \) (5)
Y por culpa de ese menos al final en lugar de eso que he tachado, de un \( abc(1+1) \) pasamos a un \( abc(1-1) \). Es decir queda:
\( =0+\dot{a^2b^2c^2} \)
O en otras palabras llegas a que \( \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}=0 \) . O dicho de otra manera que \( x^3y^3z^3 \) y \( a^2b^2c^2 \) tienen algún múltiplo común. Pero eso no dice nada... ¡cualquier par de números tiene un múltiplo común!.
Saludos.
P.D. Incluso como lo tenías hay algo que un primer vistazo me pareció que estaba bien pero ahora no veo claro.
\( \dot{x^3y^3z^3}+\dot{a^2b^2c^2}=2abc \) por lo que \( n \nmid abc \)
¿Cómo se deduce que \( n \nmid abc \) de lo qué pones antes?.
