[josepapaiii]

Hola, creo que este tema se ha hablado ya bastantes veces por aquí. He tomado un hilo antiguo de Luis Fuentes y a pesar de que todo está bastante claro, no consigo terminar mi ejercicio.

El hilo en cuestión es este:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=11689.0

Siguiendo esos pasos, tengo dudas por si alguien quiere aportar algo:

El ejercicio en cuestión dice: Encontrar las FCJ de las matrices:

\( A=\left(\begin{matrix}0 & -1 & -1 & -1\\1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{matrix}\right), \quad B=\left(\begin{matrix} 0 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -6 & 3 \\ 2 & -3 & 0 & 1 \\ 2 & -3 & -2 & 3 \end{matrix}\right) \)

.

Empiezo por la matriz \( A \)

Paso 1. Hallamos los valores propios de A.

\( \begin{align*}
P_A(\lambda)&=\det(A-\lambda I)=\left|\begin{matrix}-\lambda & -1 & -1 & -1\\1 & 2-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -\lambda & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2- \lambda\end{matrix}\right|\\[.5em]
&=-\lambda (-1)^2\left|\begin{matrix}2-\lambda & 1 & 1\\0 & -\lambda & -1 &\\ 0 & 1 & 2-\lambda\end{matrix}\right|+1(-1)^5\left|\begin{matrix}-1 & -1 & -1\\0 & -\lambda & -1 &\\ 0 & 1 & 2-\lambda\end{matrix}\right|\\[.5em]
&=(-\lambda)(2-\lambda)(-1)^2\left|\begin{matrix}-\lambda & -1\\1 & 2-\lambda\end{matrix}\right|+(-1)(-1)\left|\begin{matrix}-\lambda & -1\\1 & 2-\lambda\end{matrix}\right|\\[.5em]
&=(\lambda^2-2\lambda+1)(\lambda^2-2\lambda+1)\\[.5em]
&=(\lambda-1)^2(\lambda-1)^2=(\lambda-1)^4
\end{align*} \)

Obtenemos un único autovalor \( \lambda=1 \) con \( m_a(1)=1 \).

Paso 2. Para cada valor propio \( \lambda \) tenemos que obtener tantos vectores como indica su multiplicidad.

2.2 Si la dimensión del subespacio propio asociado a \( \lambda \)
 es menor que la multiplicidad de \( \lambda \). Vamos a verlo:

\( E_1(1)=(A-I)v=(A-I)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \), es decir: \( \left(\begin{matrix}-1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \).

Trabajamos la matriz anterior calculando la matriz escalonada: \( \left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \).

Obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones: \( \left \{\begin{array}{rr}x+y & = 0 \\z+t & = 0\end{array}\right. \).

Operando, \( x=-y, z=-t \). Con lo que el subespacio generado sería el siguiente: \( E_1(1)=\{x=\alpha, y=-\alpha, z=\beta, t=-\beta\} \), \( \forall \text{ }\alpha, \beta \in \mathbb{R} \), y una base sería: \( \mathcal{B}_{E_1}=\{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)\} \).

Obervamos que \( m_a(1)=2 \) y \( m_g(1)=4 \), como ya se sospechaba la matriz no es diagonalizable al no coincidir las multiplicidades.

Seguimos con 2.2 y elegimos vectores \( e_1 \), \( e_2 \), \( e_3 \)... satisfaciendo las condiciones:

\( (A-\lambda I)e_1=0, (A-\lambda I)e_2=e_1, (A-\lambda I)e_3=e_2, (A-\lambda I)e_4=e_3, ...
 \)

Obteniendo lo siguiente:

\( \begin{cases}(A-\lambda I)e_1=0 \Rightarrow Ae_1=\lambda e_1\\(A-\lambda I)e_2=e_1 \Rightarrow Ae_2=e_1+\lambda e_2\\(A-\lambda I)e_3=e_2 \Rightarrow Ae_3=e_2+\lambda e_3\\ (A-\lambda I)e_4=e_3 \Rightarrow Ae_4=e_3+\lambda e_4 \end{cases} \)

Pero ya no sabría seguir porque no sé primeramente cuántos \( e_i \) y dónde habría que parar y por qué.

Si alguien quiere aportar algo, se lo agradecería.

Saludos.

Mensaje de la moderación: se ha modificado ligeramente el \( \LaTeX \) poniendo en vertical la sucesión de igualdades para que no rebasen la pantalla.

[Masacroso]

Obtenemos un único autovalor \( \lambda=1 \) con \( m_a(1)=1 \).

Sería en todo caso \( m_a(1)=4 \), ¿no? (entendiendo que \( m_a \) se refiere a la multiplicidad algebraica).

Paso 2. Para cada valor propio \( \lambda \) tenemos que obtener tantos vectores como indica su multiplicidad.

2.2 Si la dimensión del subespacio propio asociado a \( \lambda \)
 es menor que la multiplicidad de \( \lambda \). Vamos a verlo:

\( E_1(1)=(A-I)v=(A-I)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \), es decir: \( \left(\begin{matrix}-1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \).

Trabajamos la matriz anterior calculando la matriz escalonada: \( \left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \).

Obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones: \( \left \{\begin{array}{rr}x+y & = 0 \\z+t & = 0\end{array}\right. \).

Operando, \( x=-y, z=-t \). Con lo que el subespacio generado sería el siguiente: \( E_1(1)=\{x=\alpha, y=-\alpha, z=\beta, t=-\beta\} \), \( \forall \text{ }\alpha, \beta \in \mathbb{R} \), y una base sería: \( \mathcal{B}_{E_1}=\{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)\} \).

No hace falta tanta complicación, simplemente observa que el rango de \( A-I \) es igual a dos, se ve directamente mirando sus columnas. Luego una base del rango es la primera y tercer columna, que puedes simplificar a la base que obtienes si quieres.

Observamos que \( m_a(1)=2 \) y \( m_g(1)=4 \), como ya se sospechaba la matriz no es diagonalizable al no coincidir las multiplicidades.

Te estás liando: \( m_a(1)=4 \) y \( m_g(1)=2 \), la multiplicidad algebraica es el grado de la potencia en el polinomio característico, y la multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio propio asociado.

Seguimos con 2.2 y elegimos vectores \( e_1 \), \( e_2 \), \( e_3 \)... satisfaciendo las condiciones:

\( (A-\lambda I)e_1=0, (A-\lambda I)e_2=e_1, (A-\lambda I)e_3=e_2, (A-\lambda I)e_4=e_3, ...
 \)

Obteniendo lo siguiente:

\( \begin{cases}(A-\lambda I)e_1=0 \Rightarrow Ae_1=\lambda e_1\\(A-\lambda I)e_2=e_1 \Rightarrow Ae_2=e_1+\lambda e_2\\(A-\lambda I)e_3=e_2 \Rightarrow Ae_3=e_2+\lambda e_3\\ (A-\lambda I)e_4=e_3 \Rightarrow Ae_4=e_3+\lambda e_4 \end{cases} \)

Pero ya no sabría seguir porque no sé primeramente cuántos \( e_i \) y dónde habría que parar y por qué.

Si alguien quiere aportar algo, se lo agradecería.

Saludos.

Aquí de lo que se trata es de conocer el tamaño de cada bloque de Jordan de la matriz de Jordan de \( A \), me explico: una matriz de Jordan es una matriz diagonal de bloques en los que cada bloque es cuadrado y tiene la forma

\( \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\lambda  & 1 &  &  \\
 & \lambda  & 1 &  \\
 &  & \ddots  & 1 \\
 &  &  & \lambda
\end{bmatrix}
} \)

donde \( \lambda  \) es uno de los valores propios de la matriz en cuestión. Es decir, un bloque de Jordan tiene la diagonal lleno de \( \lambda  \) y la diagonal inmediatamente superior de unos y el resto todo ceros. De ahí se deduce que cada bloque de Jordan está asociado a un único vector propio que es linealmente independiente de los vectores propios asociados a otros bloques.

Como sabemos que \( \dim (\operatorname{nul}(A-I))=2 \) sabemos que \( A \) tiene dos vectores propios linealmente independientes. Por tanto su matriz de Jordan sólo puede tener dos bloques de Jordan. Lo que nos queda por comprobar es el tamaño de cada uno de esos bloques: o bien tiene un bloque que es \( 1\times 1 \) y otro bloque \( 3\times 3 \), o bien tiene dos bloques \( 2\times 2 \).

Hay varias formas de continuar con el análisis, mañana sigo que ahora es muy tarde.

Continuación: el polinomio mínimo asociado a \( A \) te va a indicar el tamaño máximo para un bloque de Jordan, es decir, si el polinomio mínimo es \( (x-1)^k \) entonces el tamaño máximo de los bloques de Jordan asociados a \( 1 \) va a ser \( k\times k \), por tanto calculando \( (A-I)^2 \) resuelves el ejercicio: si tal matriz es la matriz nula entonces sabes que es el polinomio mínimo y por tanto la matriz de Jordan de \( A \) estará compuesta por dos bloques \( 2\times 2 \), y si \( (A-I)^2\neq 0 \) entonces va a ser el otro caso, es decir, la matriz de Jordan de \( A \) estará compuesta por un bloque \( 1\times 1 \) y un bloque \( 3\times 3 \).

[Luis Fuentes]

Hola

 Si sólo quieres hallar la forma de Jordan para cada autovalor \( \lambda \) calcula:

- Su multiplicidad algebraica \( ma(\lambda) \): es el tamaño total de todas las cajas de Jordan asociadas a ese autovalor.

- \( d_k=dim(ker((A-\lambda Id)^k))=n-rango((A-\lambda Id)^k) \) hasta que esos valores se estabilicen, es decir, hasta que \( d_k=d_{k-1} \).

 \( d_1 \) es el número total de cajas de Jordan.

 Toma \( f_1=d_1,\quad f_i=d_i-d_{i-1} \) para \( i>1 \).  Se cumple que \( f_1,f_2,f_3,\ldots \) es decreciente.

 Monta un esquema de asteriscos (o lo que sea) poniendo \( f_i \) asteriscos en la columna \( i \)-ésima:

\( \begin{array}{cccc}
{f_1}&{f_2}&{f_3}&\ldots&{f_k}\\
{\downarrow}&{\downarrow}&{\downarrow}&{\ldots}&{\downarrow}\\
{*}&{*}&{*}&\ldots &{*}\\
{*}&{*}&{*}&&{}\\
{*}&{*}&{}&& {}\\
\end{array} \)

Entonces cada fila corresponde a una caja de Jordan de tamaño correspondiente a la longitud de la fila y ya tienes la distribución en cajas de Jordan.

Esto funciona siempre; aunque a veces puedes acabarse más rápido. Por ejemplo si \( m.a=4 \) y \( d_1=3 \) la única posibilidad de tres cajas de Jordan de tamaño total \( 4 \) es \( 2+1+1+1 \). Esto correspondería a este esquema:

\( \begin{array}{cccc}
{\color{red}3\color{black}}&{1}\\
{\downarrow}&{\downarrow}\\
{*}&{*}\\
{*}&{}\\
{*}&{}\\
\end{array} \)

Ahora si además quieres saber la base en la cual se obtiene esa forma de Jordan reproduce el esquema anterior de la siguiente forma:

\( \begin{array}{cccc}
{ker(A-\lambda Id)}&{ker((A-\lambda Id)^2)}&{ker((A-\lambda Id)^3)}&\ldots&{ker((A-\lambda Id)^k)}\\
{\downarrow}&{\downarrow}&{\downarrow}&{\ldots}&{\downarrow}\\
{u_1}&{u_2}&{u_{3}}&\ldots&{u_k}\\
{v_1}&{v_2}&{v_3}&&{}\\
{w_1}&{w_2}&{}&&{}\\
\end{array} \)

Por cada asterisco vas a tener un vector. Comienzas hallando el último de cada fila, empezando por la primera fila, escogiendo \( u_k \) verificando:

\( (A-\lambda Id)^ku_k=0 \) (el exponente coincide con la columna donde está el vector)

y después directamente el resto de la fila es automático hacia atrás multiplicando por \( (A-\lambda Id) \) de cada vez:

\( u_{k-1}=(A-\lambda Id)U_k,\quad  u_{k-2}=(A-\lambda I)u_{k-1d} \)

Pasas a la segunda columna; calculas el último vector.

\( (A-\lambda Id)^3v_3=0 \) (el exponente coincide con la columna donde está el vector)

y OJO lo escoges que los vectores que se van obteniendo en la primera columna sean  linealmente independientes (y entre otras cosas no nulos) de los que tiene encima de él en la misma columna.

Después el resto de la fila automático hacia atrás multiplicando por \( A-\lambda Id \)

Y así sucesivamente. La base asociada a la forma de Jordan es la formada por todos esos vectores de izquierda a derecha y de arriba a abajo:

\( u_1,u_2,\ldots,u_k,v_1,v_2,v_3,w_1,\ldots \)

¿Te ves capaz de ponerlo en práctica para tus ejemplos?.

Saludos.

P.D. Aquí tienes una colección de ejercicios resueltos:

https://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/SOL3-4.pdf

CORREGIDO 2

[josepapaiii]

Obtenemos un único autovalor \( \lambda=1 \) con \( m_a(1)=1 \).

Sería en todo caso \( m_a(1)=4 \), ¿no? (entendiendo que \( m_a \) se refiere a la multiplicidad algebraica).

Paso 2. Para cada valor propio \( \lambda \) tenemos que obtener tantos vectores como indica su multiplicidad.

2.2 Si la dimensión del subespacio propio asociado a \( \lambda \)
 es menor que la multiplicidad de \( \lambda \). Vamos a verlo:

\( E_1(1)=(A-I)v=(A-I)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \), es decir: \( \left(\begin{matrix}-1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \).

Trabajamos la matriz anterior calculando la matriz escalonada: \( \left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ t\end{matrix}\right)=0 \).

Obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones: \( \left \{\begin{array}{rr}x+y & = 0 \\z+t & = 0\end{array}\right. \).

Operando, \( x=-y, z=-t \). Con lo que el subespacio generado sería el siguiente: \( E_1(1)=\{x=\alpha, y=-\alpha, z=\beta, t=-\beta\} \), \( \forall \text{ }\alpha, \beta \in \mathbb{R} \), y una base sería: \( \mathcal{B}_{E_1}=\{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)\} \).

No hace falta tanta complicación, simplemente observa que el rango de \( A-I \) es igual a dos, se ve directamente mirando sus columnas. Luego una base del rango es la primera y tercer columna, que puedes simplificar a la base que obtienes si quieres.

Observamos que \( m_a(1)=2 \) y \( m_g(1)=4 \), como ya se sospechaba la matriz no es diagonalizable al no coincidir las multiplicidades.

Te estás liando: \( m_a(1)=4 \) y \( m_g(1)=2 \), la multiplicidad algebraica es el grado de la potencia en el polinomio característico, y la multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio propio asociado.

Seguimos con 2.2 y elegimos vectores \( e_1 \), \( e_2 \), \( e_3 \)... satisfaciendo las condiciones:

\( (A-\lambda I)e_1=0, (A-\lambda I)e_2=e_1, (A-\lambda I)e_3=e_2, (A-\lambda I)e_4=e_3, ...
 \)

Obteniendo lo siguiente:

\( \begin{cases}(A-\lambda I)e_1=0 \Rightarrow Ae_1=\lambda e_1\\(A-\lambda I)e_2=e_1 \Rightarrow Ae_2=e_1+\lambda e_2\\(A-\lambda I)e_3=e_2 \Rightarrow Ae_3=e_2+\lambda e_3\\ (A-\lambda I)e_4=e_3 \Rightarrow Ae_4=e_3+\lambda e_4 \end{cases} \)

Pero ya no sabría seguir porque no sé primeramente cuántos \( e_i \) y dónde habría que parar y por qué.

Si alguien quiere aportar algo, se lo agradecería.

Saludos.

Aquí de lo que se trata es de conocer el tamaño de cada bloque de Jordan de la matriz de Jordan de \( A \), me explico: una matriz de Jordan es una matriz diagonal de bloques en los que cada bloque es cuadrado y tiene la forma

\( \displaystyle{
\begin{bmatrix}
\lambda  & 1 &  &  \\
 & \lambda  & 1 &  \\
 &  & \ddots  & 1 \\
 &  &  & \lambda
\end{bmatrix}
} \)

donde \( \lambda  \) es uno de los valores propios de la matriz en cuestión. Es decir, un bloque de Jordan tiene la diagonal lleno de \( \lambda  \) y la diagonal inmediatamente superior de unos y el resto todo ceros. De ahí se deduce que cada bloque de Jordan está asociado a un único vector propio que es linealmente independiente de los vectores propios asociados a otros bloques.

Como sabemos que \( \dim (\operatorname{nul}(A-I))=2 \) sabemos que \( A \) tiene dos vectores propios linealmente independientes. Por tanto su matriz de Jordan sólo puede tener dos bloques de Jordan. Lo que nos queda por comprobar es el tamaño de cada uno de esos bloques: o bien tiene un bloque que es \( 1\times 1 \) y otro bloque \( 3\times 3 \), o bien tiene dos bloques \( 2\times 2 \).

Hay varias formas de continuar con el análisis, mañana sigo que ahora es muy tarde.

Continuación: el polinomio mínimo asociado a \( A \) te va a indicar el tamaño máximo para un bloque de Jordan, es decir, si el polinomio mínimo es \( (x-1)^k \) entonces el tamaño máximo de los bloques de Jordan asociados a \( 1 \) va a ser \( k\times k \), por tanto calculando \( (A-I)^2 \) resuelves el ejercicio: si tal matriz es la matriz nula entonces sabes que es el polinomio mínimo y por tanto la matriz de Jordan de \( A \) estará compuesta por dos bloques \( 2\times 2 \), y si \( (A-I)^2\neq 0 \) entonces va a ser el otro caso, es decir, la matriz de Jordan de \( A \) estará compuesta por un bloque \( 1\times 1 \) y un bloque \( 3\times 3 \).

Hola, Masacroso. Muchas gracias por tu respuesta, voy a estudiarla con determinación.

[josepapaiii]

Hola

Hola, Luis.

Muchas gracias por tu gran respuesta también. Voy a aplicar todo lo que me habéis mentado y tratar de hacerlo por mi cuenta.

Saludos.

[josepapaiii]

Buenas noches,

Intentaré ir por partes.

En primer lugar, con la matriz \( A \) tenemos que \( m_a(\lambda)=4 \) y \( m_g(\lambda)=2 \). Por tanto, como la multiplicidad geométrica es 2, habrá dos cajas de Jordan para \( \lambda=1 \), ¿sería así?.
Aquí tengo la duda porque como reza en el hilo: Su multiplicidad algebraica \( m_a(\lambda) \): es el tamaño total de todas las cajas de Jordan asociadas a ese autovalor. pero luego en el ejercicio 11 en la página 17 del link proporcionado leo esto: Como la multiplicidad geométrica es 6 hay seis cajas de Jordan., es decir, estoy entendiendo que en uno se mira la multiplicidad algebraica y en otra la geométrica para saber el número de bloques y eso me desconcierta.

No obstante intento seguir. Tenemos que \( d_1=2 \), ¿es correcto?.

Y para el resto: \( d_2=dim(Ker(( \text{ } A-Id)^2)) \). Teniendo que \( (A-Id)^2 \) es igual a la matriz nula, con lo cual \( d_2=dim(Ker(( \text{ } A-Id)^2)) \)=4. Aquí ya se estabilizaría. Pero, ¿no tienen que ser los \( d_i \) decrecientes?.

Os agradezco la paciencia y disculpad el agujero de conocimiento.

Saludos.

[Masacroso]

Buenas noches,

Intentaré ir por partes.

En primer lugar, con la matriz \( A \) tenemos que \( m_a(\lambda)=4 \) y \( m_g(\lambda)=2 \). Por tanto, como la multiplicidad geométrica es 2, habrá dos cajas de Jordan para \( \lambda=1 \), ¿sería así?.
Aquí tengo la duda porque como reza en el hilo: Su multiplicidad algebraica \( m_a(\lambda) \): es el tamaño total de todas las cajas de Jordan asociadas a ese autovalor. pero luego en el ejercicio 11 en la página 17 del link proporcionado leo esto: Como la multiplicidad geométrica es 6 hay seis cajas de Jordan., es decir, estoy entendiendo que en uno se mira la multiplicidad algebraica y en otra la geométrica para saber el número de bloques y eso me desconcierta.

Tamaño total no es lo mismo que total de cajas. Puedes tener tres cajas, una de tamaña \( 3\times 3 \) y las otras dos de tamaño \( 2\times 2 \), entonces el tamaño total de las tres cajas es \( 3+2+2=7 \).

No obstante intento seguir. Tenemos que \( d_1=2 \), ¿es correcto?.

Sí, efectivamente \( d_1 \) es equivalente a la multiplicidad geométrica, que indica el número de cajas, que en el ejercicio sobre \( A \) es \( 2 \).

Y para el resto: \( d_2=dim(Ker(( \text{ } A-Id)^2)) \). Teniendo que \( (A-Id)^2 \) es igual a la matriz nula, con lo cual \( d_2=dim(Ker(( \text{ } A-Id)^2)) \)=4. Aquí ya se estabilizaría. Pero, ¿no tienen que ser los \( d_i \) decrecientes?

No, los \( d_i \) son siempre no decrecientes, es decir que \( d_i\leqslant d_{i+1} \) para todo \( i \).

[josepapaiii]

Tamaño total no es lo mismo que total de cajas. Puedes tener tres cajas, una de tamaña \( 3\times 3 \) y las otras dos de tamaño \( 2\times 2 \), entonces el tamaño total de las tres cajas es \( 3+2+2=7 \).

Creo que ya sí lo entendí. Es decir, si tenemos un tamaño total de 4 (por la multiplicidad algebraica) y un número de cajas de 2 (por la multiplicidad geométrica), no habría otra posibilidad que los bloques sean: 3+1 ó 2+2.

Sí, efectivamente \( d_1 \) es equivalente a la multiplicidad geométrica, que indica el número de cajas, que en el ejercicio sobre \( A \) es \( 2 \).

Vale esto ya sí lo tengo claro también.

No, los \( d_i \) son siempre no decrecientes, es decir que \( d_i\leqslant d_{i+1} \) para todo \( i \).

De acuerdo, entonces ya tengo la cadena, voy a tratar de seguir.

Gracias por la ayuda.

[josepapaiii]

Hola, Luis.

Hola

 Si sólo quieres hallar la forma de Jordan para cada autovalor \( \lambda \) calcula:

- Su multiplicidad algebraica \( ma(\lambda) \): es el tamaño total de todas las cajas de Jordan asociadas a ese autovalor.

- \( d_k=dim(ker((A-\lambda Id)^k))=n-rango((A-\lambda Id)^k) \) hasta que esos valores se estabilicen, es decir, hasta que \( d_k=d_{k-1} \).

 \( d_1 \) es el número total de cajas de Jordan.

 Toma \( f_1=d_1,\quad f_i=d_i-d_{i-1} \) para \( i>1 \).  Se cumple que \( f_1,f_2,f_3,\ldots \) es decreciente.

 Monta un esquema de asteriscos (o lo que sea) poniendo \( f_i \) asteriscos en la columna \( i \)-ésima:

\( \begin{array}{cccc}
{f_1}&{f_2}&{f_3}&\ldots&{f_k}\\
{\downarrow}&{\downarrow}&{\downarrow}&{\ldots}&{\downarrow}\\
{*}&{*}&{*}&\ldots &{*}\\
{*}&{*}&{*}&&{}\\
{*}&{*}&{}&& {}\\
\end{array} \)

Entonces cada fila corresponde a una caja de Jordan de tamaño correspondiente a la longitud de la fila y ya tienes la distribución en cajas de Jordan.

Creo que ya tendría esta primera parte en el ejercicio:

\( d_1=2=m_g(1) \) (número total de cajas), consecuentemente \( f_1=2 \)
\( d_2=4 \), consecuentemente \( f_2=2 \), \( d_3=4 \) y ya se estabiliza, por tanto paramos en \( d_2 \).

\( \begin{array}{cc}
{f_1}&{f_2}\\
{\downarrow}&{\downarrow}\\
{*}&{*}\\
{*}&{*}\\
\end{array} \)

Tenemos también que \( m_a=4 \), y el total de las cajas va a tener tamaño 4.

Con lo cual tendremos dos bloques de \( 2 \times 2 \), siendo la matriz de Jordan:

\( J=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right) \)

¿Sería esta parte correcta?

Esto funciona siempre; aunque a veces puedes acabarse más rápido. Por ejemplo si \( m.a=4 \) y \( d_1=3 \) la única posibilidad de tres cajas de Jordan de tamaño total \( 4 \) es \( 2+1+1+1 \). Esto correspondería a este esquema:

\( \begin{array}{cccc}
{4}&{1}\\
{\downarrow}&{\downarrow}\\
{*}&{*}\\
{*}&{}\\
{*}&{}\\
{*}&{}\\
\end{array} \)

Esto no lo he comprendido bien. Para el caso que pones, si \( m_a=4 \), entonces estamos diciendo que el tamaño total de los bloques es 4 y si \( d_1=3 \) estamos diciendo que habrá tres cajas de Jordan, ¿no sería entonces la distribución 2+1+1?

Gracias por vuestra respuestas.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Sería esta parte correcta?

Si.

Esto funciona siempre; aunque a veces puedes acabarse más rápido. Por ejemplo si \( m.a=4 \) y \( d_1=3 \) la única posibilidad de tres cajas de Jordan de tamaño total \( 4 \) es \( 2+1+1+1 \). Esto correspondería a este esquema:

\( \begin{array}{cccc}
{4}&{1}\\
{\downarrow}&{\downarrow}\\
{*}&{*}\\
{*}&{}\\
{*}&{}\\
{*}&{}\\
\end{array} \)

Esto no lo he comprendido bien. Para el caso que pones, si \( m_a=4 \), entonces estamos diciendo que el tamaño total de los bloques es 4 y si \( d_1=3 \) estamos diciendo que habrá tres cajas de Jordan, ¿no sería entonces la distribución 2+1+1?

Perdona, fue una errata. Ya lo he corregido. Sería;

\( \begin{array}{cccc} {\color{red}3\color{black}}&{1}\\ {\downarrow}&{\downarrow}\\ {*}&{*}\\ {*}&{}\\ {*}&{}\\ \end{array} \)

Saludos.