Ahora si además quieres saber la base en la cual se obtiene esa forma de Jordan reproduce el esquema anterior de la siguiente forma:
\( \begin{array}{cccc}
{ker(A-\lambda Id)}&{ker((A-\lambda Id)^2)}&{ker((A-\lambda Id)^3)}&\ldots&{ker((A-\lambda Id)^k)}\\
{\downarrow}&{\downarrow}&{\downarrow}&{\ldots}&{\downarrow}\\
{u_1}&{u_2}&{u_{3}}&\ldots&{u_k}\\
{v_1}&{v_2}&{v_3}&&{}\\
{w_1}&{w_2}&{}&&{}\\
\end{array} \)
Por cada asterisco vas a tener un vector. Comienzas hallando el último de cada fila, empezando por la primera fila, escogiendo \( u_k \) verificando:
\( (A-\lambda Id)^ku_k=0 \) (el exponente coincide con la columna donde está el vector)
y después directamente el resto de la fila es automático hacia atrás multiplicando por \( (A-\lambda Id) \) de cada vez:
\( u_{k-1}=(A-\lambda Id)U_k,\quad u_{k-2}=(A-\lambda I)u_{k-1d} \)
Pasas a la segunda columna; calculas el último vector.
\( (A-\lambda Id)^3v_3=0 \) (el exponente coincide con la columna donde está el vector)
y OJO lo escoges que sea linealmente independiente de los que tiene encima de él en la misma columna.
Después el resto de la fila automático hacia atrás multiplicando por \( A-\lambda Id \)
Y así sucesivamente. La base asociada a la forma de Jordan es la formada por todos esos vectores de izquierda a derecha y de arriba a abajo:
\( u_1,u_2,\ldots,u_k,v_1,v_2,v_3,w_1,\ldots \)
Hola, Luis.
Por aquí voy:
En mi caso tenemos que calcular:
\( \begin{array}{cc}
{ker(A-\lambda Id)}&{ker((A-\lambda Id)^2)}\\
{\downarrow}&{\downarrow}\\
{u_1}&{u_2}\\
{v_1}&{v_2}\\
\end{array} \)
Donde \( ((A-\lambda Id)^2)u_2=0 \) y \( u_1=(A-\lambda Id)u_2 \)
De la misma manera: \( ((A-\lambda Id)^2)v_2=0 \) y \( v_1=(A-\lambda Id)v_2 \).
Calculamos \( u_2 \):
Como \( (A-\lambda Id)^2)=0 \), entonces un posible vector puede ser \( \{\alpha, \beta, \gamma, \delta \} \), para cualquier valor de \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R} \). Tomamos por ejemplo \( u_2=\{1,0,0,0\} \)
Calculamos \( u_1 \):
\( u_1=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right)=\{-1,1,0,0\} \)
Calculamos \( v_2 \):
Podemos tomar por ejemplo el vector \( \{0,0,1,0\} \). Ya que tiene que ser linealmente independiente de los anteriores, y una base sería como la base de \( u_2 \) con los parámetros libres, basta con tomar \( \gamma=1 \) y el resto a 0.
Calculamos \( v_1 \):
\( v_1=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\right)=\{-1,1,-1,1\} \)
Siendo entonces una base \( \mathcal{B}=\{(-1,1,0,0)^t,(1,0,0,0)^t,(-1,1,-1,1)^t,(0,0,1,0)^t\}] \) y la matriz de paso esos vectores colocados por columnas:
\( P=\left(\begin{matrix}-1 & 1 & -1 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right) \)
Cumpliéndose que: \( J=P^{-1}AP \).
Los cálculos me salen correctos, pero no sé si es por casualidad o porque está bien.
Saludos.
