[josepapaiii]

Hola

  El error está en que no has respetado la observación en rojo que te indiqué en mi último mensaje. Tienes que elegir otro vector \( \vec u_2 \).

Saludos.

Hola, Luis.

Si aún no había elegido ningún vector, es decir, la observación debía tenerla en cuenta cuando ya hubiese hecho una elección previa y así no tomar uno linealmente dependiente, de ahí que no la haya tenido en cuenta en ese punto.

[Luis Fuentes]

Si aún no había elegido ningún vector, es decir, la observación debía tenerla en cuenta cuando ya hubiese hecho una elección previa y así no tomar uno linealmente dependiente, de ahí que no la haya tenido en cuenta en ese punto.

 Pero si te fijas por eso dije (entre paréntesis) que ser linealmente independientes significa entre otras cosas ser no nulo.

 El vector cero por si solo es un sistema de vectores DEPENDIENTE.

Saludos.

[josepapaiii]

Si aún no había elegido ningún vector, es decir, la observación debía tenerla en cuenta cuando ya hubiese hecho una elección previa y así no tomar uno linealmente dependiente, de ahí que no la haya tenido en cuenta en ese punto.

 Pero si te fijas por eso dije (entre paréntesis) que ser linealmente independientes significa entre otras cosas ser no nulo.

 El vector cero por si solo es un sistema de vectores DEPENDIENTE.

Saludos.

Cierto, tomando \( u_2=\{0,1,0,1\} \) obtengo \( u_1=\{2,2,-2,-2\} \) y \( v_1 \) si podría ser \( \{0,0,1,2\} \), obteniendo los mismos vectores que feriva.

Me siento asombrado, la verdad.

No obstante tendría otra pregunta, aunque he hallado los \( f_i \) pero ¿ya podríamos habernos dado cuenta de que las cajas de Jordan para \( \lambda_1=2 \) serían de \( 2+1 \) puesto que al ser el tamaño máximo \( 3 \) y como la multiplicidad geométrica me sale \( 2 \) no habría otra combinación?

[Masacroso]

No obstante tendría otra pregunta, aunque he hallado los \( f_i \) pero ¿ya podríamos habernos dado cuenta de que las cajas de Jordan para \( \lambda_1=2 \) serían de \( 2+1 \) puesto que al ser el tamaño máximo \( 3 \) y como la multiplicidad geométrica me sale \( 2 \) no habría otra combinación?

Sin perjuicio de lo que te vaya a contestar Luis querría decir que no se trata de "tamaño máximo de las cajas" sino del "tamaño total de las cajas" (asociadas a un valor propio \( \lambda  \)). En mi primer mensaje mencionaba el concepto de "tamaño máximo de las cajas" que es otra cosa distinta del tamaño total. El tamaño máximo se refiere al tamaño más grande que alguna de las cajas asociada a un valor propio tiene, es decir, si el tamaño máximo de las cajas asociadas a \( \lambda  \) es \( 5 \) significa que hay al menos una caja de Jordan asociada a \( \lambda \) de tamaño \( 5\times 5 \), pero no la hay de tamaños mayores.

Entonces se pueden distinguir varios valores que nos pueden ayudar a dilucidar la composición de una matriz de Jordan de un operador lineal \( T \):

• El tamaño total de las cajas asociadas a un valor propio \( \lambda  \) de \( T \), ésta es la potencia \( k \) del factor \( (x-\lambda )^k \) del polinomio característico de \( T \) (es la multiplicidad algebraica de \( \lambda  \)), y equivale a la dimensión del espacio propio generalizado asociado a \( \lambda  \).
• El tamaño máximo de las cajas asociadas a un valor propio \( \lambda  \) de \( T \), ésta es la potencia \( k \) del factor \( (x-\lambda )^k \) del polinomio mínimo de \( T \).
  
• El número total de cajas de Jordan asociadas al valor propio \( \lambda  \) de \( T \), ésta es la multiplicidad geométrica de \( \lambda  \) que no es más que la dimensión de la nulidad de \( T-\lambda I \), o lo que es lo mismo, la dimensión del espacio propio asociado a \( \lambda  \).
  

Esos tres valores en general no son suficientes para reconstruir la parte de la matriz de Jordan asociada a \( \lambda  \), pero en algunos casos pueden ser suficientes. Lo que siempre sirve es lo que te ha explicado Luis en este mismo tema.

[Luis Fuentes]

Hola

Cierto, tomando \( u_2=\{0,1,0,1\} \) obtengo \( u_1=\{2,2,-2,-2\} \) y \( v_1 \) si podría ser \( \{0,0,1,2\} \), obteniendo los mismos vectores que feriva.

Alguna observación adicional.

1) Creo que cuando has copiado tu solución tienes erratas; aunque los resultados finales son correctos, las matrices \( (B-2Id) \) y \( (B-2Id)^2 \) no son las que has puesto:

\( (B-2I)^2u_2=0 \Rightarrow \color{red}\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & -1\\0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\color{black}u_2=0  \), pudiendo obtener \( u_2=\{0,0,1,2\} \)

Calculamos \( u_1: \)

\( (B-2I)u_2=u_1 \Rightarrow \color{red}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 2 & -1\\0 & 1 & 2& -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\color{black}u_2=0  \). Es decir, \( u_1=\{0,0,0,0\} \) y eso no podría, ser. .

Serían:

\( (B-2I)=\left(\begin{matrix} -2 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & -6 & 3 \\ 2 & -3 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & -2 & 1 \end{matrix}\right),\quad
(B-2I)^2=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 16 & -8 \\ 0 & 8 & 16 & -8 \\ 0 & 8 &16 & -8 \end{matrix}\right) \)

2) Nota que los vectores respecto a los cuales se obtiene la forma de Jordan no son únicos; es decir, no tendrías porque haber obtenido exactamente los mismos que feriva.

Podrías escoger \( u_2=(1,0,0,0) \), que cumple \( (B-2I)^2u_2=0 \), y entonces \( u_1=(B-2Id)u_1=(-2,-2,2,2) \) y luego cualquier vector \( v_1 \) tal que \( (B-2Id)v_1=0 \), por ejemplo \( v_1=(1,1,0,1) \).

No obstante tendría otra pregunta, aunque he hallado los \( f_i \) pero ¿ya podríamos habernos dado cuenta de que las cajas de Jordan para \( \lambda_1=2 \) serían de \( 2+1 \) puesto que al ser el tamaño máximo \( 3 \) y como la multiplicidad geométrica me sale \( 2 \) no habría otra combinación?

Correcto.

Saludos.

[josepapaiii]

Hola

Cierto, tomando \( u_2=\{0,1,0,1\} \) obtengo \( u_1=\{2,2,-2,-2\} \) y \( v_1 \) si podría ser \( \{0,0,1,2\} \), obteniendo los mismos vectores que feriva.

Alguna observación adicional.

1) Creo que cuando has copiado tu solución tienes erratas; aunque los resultados finales son correctos, las matrices \( (B-2Id) \) y \( (B-2Id)^2 \) no son las que has puesto:

\( (B-2I)^2u_2=0 \Rightarrow \color{red}\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & -1\\0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\color{black}u_2=0  \), pudiendo obtener \( u_2=\{0,0,1,2\} \)

Calculamos \( u_1: \)

\( (B-2I)u_2=u_1 \Rightarrow \color{red}\left(\begin{matrix}1 & 0 & 2 & -1\\0 & 1 & 2& -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\color{black}u_2=0  \). Es decir, \( u_1=\{0,0,0,0\} \) y eso no podría, ser. .

Serían:

\( (B-2I)=\left(\begin{matrix} -2 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & -6 & 3 \\ 2 & -3 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & -2 & 1 \end{matrix}\right),\quad
(B-2I)^2=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 16 & -8 \\ 0 & 8 & 16 & -8 \\ 0 & 8 &16 & -8 \end{matrix}\right) \)

2) Nota que los vectores respecto a los cuales se obtiene la forma de Jordan no son únicos; es decir, no tendrías porque haber obtenido exactamente los mismos que feriva.

Podrías escoger \( u_2=(1,0,0,0) \), que cumple \( (B-2I)^2u_2=0 \), y entonces \( u_1=(B-2Id)u_1=(-2,-2,2,2) \) y luego cualquier vector \( v_1 \) tal que \( (B-2Id)v_1=0 \), por ejemplo \( v_1=(1,1,0,1) \).

No obstante tendría otra pregunta, aunque he hallado los \( f_i \) pero ¿ya podríamos habernos dado cuenta de que las cajas de Jordan para \( \lambda_1=2 \) serían de \( 2+1 \) puesto que al ser el tamaño máximo \( 3 \) y como la multiplicidad geométrica me sale \( 2 \) no habría otra combinación?

Correcto.

Saludos.

Hola, Luis.

Pues no sólo ha sido una observación por tu parte porque no era una errata, es que realmente había puesto eso que me corriges. Había cogido las que tú pones y he calculado su reducida, que son las matrices que me pones en rojo. Lo había hecho tanto para \( (B-2I)^2 \) como para \( (B-2I) \) como se ha apreciado.

Gracias nuevamente, ya está corregido en los ejercicios.

Saludos.

[josepapaiii]

No obstante tendría otra pregunta, aunque he hallado los \( f_i \) pero ¿ya podríamos habernos dado cuenta de que las cajas de Jordan para \( \lambda_1=2 \) serían de \( 2+1 \) puesto que al ser el tamaño máximo \( 3 \) y como la multiplicidad geométrica me sale \( 2 \) no habría otra combinación?

Sin perjuicio de lo que te vaya a contestar Luis querría decir que no se trata de "tamaño máximo de las cajas" sino del "tamaño total de las cajas" (asociadas a un valor propio \( \lambda  \)). En mi primer mensaje mencionaba el concepto de "tamaño máximo de las cajas" que es otra cosa distinta del tamaño total. El tamaño máximo se refiere al tamaño más grande que alguna de las cajas asociada a un valor propio tiene, es decir, si el tamaño máximo de las cajas asociadas a \( \lambda  \) es \( 5 \) significa que hay al menos una caja de Jordan asociada a \( \lambda \) de tamaño \( 5\times 5 \), pero no la hay de tamaños mayores.

Entonces se pueden distinguir varios valores que nos pueden ayudar a dilucidar la composición de una matriz de Jordan de un operador lineal \( T \):

• El tamaño total de las cajas asociadas a un valor propio \( \lambda  \) de \( T \), ésta es la potencia \( k \) del factor \( (x-\lambda )^k \) del polinomio característico de \( T \) (es la multiplicidad algebraica de \( \lambda  \)), y equivale a la dimensión del espacio propio generalizado asociado a \( \lambda  \).
• El tamaño máximo de las cajas asociadas a un valor propio \( \lambda  \) de \( T \), ésta es la potencia \( k \) del factor \( (x-\lambda )^k \) del polinomio mínimo de \( T \).
  
• El número total de cajas de Jordan asociadas al valor propio \( \lambda  \) de \( T \), ésta es la multiplicidad geométrica de \( \lambda  \) que no es más que la dimensión de la nulidad de \( T-\lambda I \), o lo que es lo mismo, la dimensión del espacio propio asociado a \( \lambda  \).
  

Esos tres valores en general no son suficientes para reconstruir la parte de la matriz de Jordan asociada a \( \lambda  \), pero en algunos casos pueden ser suficientes. Lo que siempre sirve es lo que te ha explicado Luis en este mismo tema.

Hola, Masacroso.

Lo he incluido también en mi ejercicios.

Saludos.