En mis innumerables cursos dados a alumnos de distintas Escuelas Técnicas y Facultades, observé cada "maestrillo tenía su librillo" y había casi tantos métodos para hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de cambio como profesores. Ahora bien, me quedo con un método bastante limpio y autocontenido. Se explicaba en la Escuela de Montes de Madrid y yo le dí la siguiente forma:
Paso 1. Hallamos los valores propios de \( A \). En nuestro caso: \( \left |{A-\lambda I}\right |=\ldots=\lambda ^4=0\Leftrightarrow{\lambda=0} \) (cuádruple).
Paso 2. Para cada valor propio \( \lambda \) tenemos que obtener tantos vectores como indica su multiplicidad.
2.1. Si la dimensión del subespacio propio asociado a \( \lambda \) coincide con la multiplicidad de \( \lambda \) elegimos sencillamente una base de dicho subespacio propio.
2.2. Si la dimensión del subespacio propio asociado a \( \lambda \) es menor que la multiplicidad de \( \lambda \) elegimos vectores \( e_1,e_2,e_3,\ldots \) satisfaciendo las condiciones:
\( (A-\lambda I)e_1=0,\;(A-\lambda I)e_2=e_1,\;(A-\lambda I)e_3=e_2,\;(A-\lambda I)e_4=e_3,\;\ldots \)
Si llegado a un sistema, este resulta ser incompatible, contamos el número de vectores obtenido. Si es igual a la multiplicidad de \( \lambda \) hemos terminado con este valor propio.
Si no es así empezamos a construir una nueva cadena de vectores \( e'_1,e'_2,e'_3,\ldots \) satisfaciendo las condiciones:
\( (A-\lambda I)e'_1=0,\;(A-\lambda I)e'_2=e'_1,\;(A-\lambda I)e'_3=e'_2,\;(A-\lambda I)e'_4=e'_3,\;\ldots \)
El proceso se termina cuando el número de vectores obtenido coincide con la multiplicidad de \( \lambda \). Hay que tener la precaución de elegir el conjunto cuyos vectores son el primero de cada cadena de tal manera que formen sistema libre. La base \( B_J=\left\{{e_1,e_2,e_3,\ldots}\right\} \) es de Jordan pues:
\( \left\{ \begin{array}{c} \\ (A-\lambda I)e_1=0\Leftrightarrow{Ae_1=\lambda e_1}\\ (A-\lambda I)e_2=e_1\Leftrightarrow{Ae_2=e_1+\lambda e_2 } \\ (A-\lambda I)e_3=e_2\Leftrightarrow{Ae_3=e_2+\lambda e_3 }\\ \ldots \end{array}\right. \)
(hemos supuesto para evitar escribir repetitivamente el simbolo de transposición que los vectores \( e_i \) que escribamos, son vectores columna)
y en consecuencia la matriz del endomorfismo dado por \( A \) en la base canónica de \( \mathbb{R}^n \) sería en la base \( B_J \):
\( J=\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 1&\ldots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda&\ldots &0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \mu \end{bmatrix} \)
En nuestro caso: \( Ae_1=0,\;Ae_2=e_1,\;Ae_3=e_2,\;\ldots \). En vez de resolver uno a uno, resolvemos el sistema general:
\( Ax=h\Leftrightarrow{\left\{ \begin{array}{c} x_2+2x_4=h_1 \\ -2x_1=h_2\\ 2x_1-x_4=h_3 \\ x_1=h_4 \end{array}\right. }\Leftrightarrow{\left\{ \begin{array}{c} x_1=h_4 \\ x_2=h_1-4h_4+2h_3\\x_3=\alpha \\ x_4=2h_4-h_3 \end{array}\right. } \)
La condición de compatibilidad de este sistema es: \( h_2+2h_4=0 \)
Vector \( e_1 \). \( h_1=h_2=h_3=h_4=0 \)
\( e_1=(0,0,\alpha,0) \). Este vector "\( x \)" estará de \( h \) en el siguiente sistema, así que le imponemos las condiciones de compatibilidad quedando \( 0=0 \) en consecuencia podemos elegir \( \alpha \) arbitrario, por ejemplo \( \alpha=1 \). Tenemos \( \boxed{e_1=(0,0,1,0)} \)
Vector \( e_2 \). \( h_1=h_2=h_4=0, h_3=1 \)
\( e_2=(0,2,\alpha,-1) \). Este vector "\( x \)" estará de \( h \) en el siguiente sistema, así que le imponemos las condiciones de compatibilidad quedando \( 0=0 \) en consecuencia podemos elegir \( \alpha \) arbitrario, por ejemplo \( \alpha=0 \). Tenemos \( \boxed{e_2=(0,2,0,-1)} \)
Vector \( e_3 \). \( h_1=0,h_2=2,h_3=0, h_4=-1 \)
\( e_3=(-1,4,\alpha,-2) \). Este vector "\( x \)" estará de \( h \) en el siguiente sistema, así que le imponemos las condiciones de compatibilidad quedando \( 0=0 \) en consecuencia podemos elegir \( \alpha \) arbitrario, por ejemplo \( \alpha=0 \). Tenemos \( \boxed{e_3=(-1,4,0,-2)} \)
Vector \( e_4 \). \( h_1=-1,h_2=4,h_3=0, h_4=-2 \)
\( e_4=(-2,7,\alpha,-4) \). No necesitamos ningún vector más así que no imponemos condición de compatibilidad, elegimos por ejemplo \( \alpha=0 \). Tenemos \( \boxed{e_4=(-2,7,0,-4)} \).
En consecuencia, la forma canónica de Jordan de \( A \) es:
\( J=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\\ {0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)
La matriz de cambio \( P \) que cumple \( P^{-1}AP=J \) es:
\( P=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{-1}&{-2}\\{0}&{2}&{4}&{7}\\{1}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{-1}&{-2}&{-4}\end{bmatrix} \)
He verificado que efectivamente, \( AP=PJ \) es decir, no hay errores de operación.
En el caso de que nos hubieran pedido solamente la forma canónica de Jordan y no la matriz \( P \), podríamos haber hallado el polinomio mínimo \( \mu(\lambda)=\ldots=\lambda ^4 \) con lo cual para \( \lambda =0 \) nos diría que existe una caja de orden 4 que por tanto debe ser única. Otra opción sería hallar \( \dim \ker (A-0I)=\ldots=1 \) lo cual nos informa de que existe una única caja para \( \lambda =0 \) y por tanto debe ser de orden 4.
Saludos.
