Hola
O sea que podemos decir que toda sucesión geométrica acotada lleva asociada una serie también acotada y convergente? No me queda claro esa parte. Si tengo una sucesión geométrica de números positivos que tiene límite cero, entonces es convergente. Si converge entonces está acotada. Luego su serie asociada también será convergente y acotada?
El comportamiento de una sucesión geométrica \( a_n=cr^n \) con \( c\neq 0 \) y su serie asociada está perfectamente controlado. Nota que la sucesión de sumas parciales es:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}a_k=c\cdot \dfrac{r-r^{n+1}}{1-r} \)
De ahí es fácil ver que:
- Si \( |r|<1 \) entonces:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_n=0 \) (converge)
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\dfrac{cr}{1-r} \) (converge)
- Si \( |r|>1 \) entonces:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_n \) (NO converge)
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n \) (NO converge)
- Si \( r=1 \) entonces
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_n=c \) (converge; es constante de hecho)
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n \) (NO converge)
- Si \( r=-1 \) entonces
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a_n=c \) (NO converge)
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n \) (NO converge)
Saludos.
