[Ariel Fernández]

Hola Delmar

Claro que sí, si una serie o una sucesión en general (la serie también es una sucesión) es convergente, obviamente esta acotada, se puede demostrar con sencillez

Enhorabuena entonces. Lo he entendido. Claro, simplemente deberíamos considerar como cota cualquier valor más grande que el valor de convergencia para demostrar que esta acotado. ¿No? ¿Y todo esto válido dentro de lo que sería el espacio métrico usual de R también no? Ya que bueno... tengo entendido que todos estos conceptos dependen del espacio topológico con el que se este trabajando...¿No?

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

No, no puedes tomar cualquier valor mayor que el límite, la sucesión puede ser negativa , decreciente ....
Sea la sucesión \( \{a_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) convergente a \( a \) , entonces dado \( \epsilon = 1  \) existe \( n_{\epsilon} \in \mathbb{N} \) tal que si \( n \geq n_{\epsilon}  \) entonces \(  |a_n - a | < 1  \), como \( ||a_n|-|a|| \leq |a_n - a| < 1  \) tenemos \( |a_n| < |a| + 1  \) y seguir...

[Luis Fuentes]

Hola

Enhorabuena entonces. Lo he entendido. Claro, simplemente deberíamos considerar como cota cualquier valor más grande que el valor de convergencia para demostrar que esta acotado. ¿No? ¿Y todo esto válido dentro de lo que sería el espacio métrico usual de R también no? Ya que bueno... tengo entendido que todos estos conceptos dependen del espacio topológico con el que se este trabajando...¿No?

Coloquialmente: en una sucesión convergente, a partir de un cierto término todos están "cerca" del límite (y por tanto en un rango acotado); y el resto, quizá ovejas descarriadas, son un número finito: siempre se pueden acotar.

Saludos.

[Ariel Fernández]

Hola Juan y Luis
No me queda muy en claro el significado de la simbología. ¿Podrían darme un ejemplo  con una sucesión en concreto donde puede suceder el caso en el que la serie converge a un valor pero no necesariamente podemos elegir como cota algún valor mayor a él? . Entiendo, como dice Luis, que la sucesión podría converger a un valor y que un conjunto finito de valores "aislados", por decirlo de alguna manera, queden fuera del mismo. Pero creo que un ejemplo numérico lo entenderé mejor.

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Toma \( a_n = \dfrac{5000}{n}  \) el límite es cero pero no puedo tomar como cota cualquier número positivo, por ejemplo no puedo tomar como cota el uno, deberías tomar como cota todo número mayor o igual a \( 5000 \).

[Ariel Fernández]

Hola Juan

Bien. Pero y en ese caso, ¿no podríamos decir que lo que presenta el límite 0 es una cota inferior? Es decir, ¿podemos proceder diciendo que si es creciente y converge a un cierto valor, entonces cualquier número más grande que el mismo constituye una cota superior y, por el contrario, si es decreciente y convergente, entonces cualquier número más chico que el limite es cota inferior?

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero puede ser convergente sin ser creciente o decreciente toma \( a_n = 9  + \dfrac{(-1)^n \cdot 1000}{n}  \).
En la demostración que te puse abarca todos los casos.
Además si es decreciente por ejemplo \( a_n = \dfrac{1}{n}  \) si tomas \( -0.1 \) es una cota inferior, pero quieres ver que la sucesión está acotada (superior e inferiormente) que es diferente.
Toma \( b_n = n  \) donde el cero es una cota inferior , pero no está acotada, qiueres probar que si \( \{a_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es convergente entonces existe \( K >0 \) tal que para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se tiene que \( |a_n| \leq K \)

[Ariel Fernández]

Pero puede ser convergente sin ser creciente o decreciente toma \( a_n = 9  + \dfrac{(-1)^n \cdot 1000}{n}  \).
En la demostración que te puse abarca todos los casos.
Además si es decreciente por ejemplo \( a_n = \dfrac{1}{n}  \) si tomas \( -0.1 \) es una cota inferior, pero quieres ver que la sucesión está acotada (superior e inferiormente) que es diferente.
Toma \( b_n = n  \) donde el cero es una cota inferior , pero no está acotada, qiueres probar que si \( \{a_n\}_{n=1}^{+\infty} \) es convergente entonces existe \( K >0 \) tal que para todo \( n \in \mathbb{N}  \) se tiene que \( |a_n| \leq K \)

Claro. Para que sea acotada es necesario que posea cota superior e inferior. Pero, la intuición me lleva a pensar que toda sucesión, al tener como dominio el conjunto de los números naturales, al "comenzar con un primer elemento" cuando \(  n=1 \), por decirlo de alguna manera,  poseerá una de las dos cotas (ya sea inferior o superior). ¿Es esta intuición cierta? ¿O puede suceder que podamos concebir una sucesión donde no este acotada superior ni inferiormente? Pienso informalmente en alguna sucesión que para ciertos valores, por ejemplos los números pares, tienda a \( \infty \) y para los impares a \( -\infty \). Pero no estoy seguro...

[Luis Fuentes]

Hola

 Pues por ejemplo la sucesión \( a_n=(-1)^n\cdot n \) no está acotada.

Saludos.

[Ariel Fernández]

Enhorabuena Luis. Veo que
\( a_n=(-1)^n\cdot n \)\( = {-1,2,-3,4,-5....} \) ( y así alternándose - y +)  se nos va tanto al infinito positivo como al negativo, entonces no estaría acotada superior ni inferiormente. Muchas gracias a todos. Cuando intento poner esta sucesión como función no sé por qué el graficador no me lo quiere tomar.. uso Geogebra y Symbolab..

Saludos.