He mirado en items anteriores y no he visto ninguna demostración de que el infinito no es un elemento de un cuerpo.
Es que para encontrarla tendrías que estudiarte la construcción de \( ^*\mathbb R \), cosa que está claro que no has hecho, pues si no, no dirías lo que dices.
La que presentas ahora deja mucho que desear aunque te bases en un artículo de Wikipedia,
También te he remitido a mi libro de teoría de conjuntos, donde todo está demostrado rigurosamente. ¿Tampoco has encontrado ahí la demostración?
En lugar de emplear frases rimbombantes como En ∗R hay números hiperreales infinitesimales y otros infinitos.,
Eso no es una frase rimbombante. Es un teorema. Tambíen tú usas muchas frases rimbombantes como "teorema de Pitágoras", "teorema de Tales", etc. (ya que llamas frases rimbombantes a los teoremas), y no te pido que me los demuestres.
contesta a esta sencilla pregunta:
En todo cuerpo, cada elemento, salvo el neutro de la adición, tiene inverso. ¿Cual es el inverso de infinito?
Es que va a ser cierto esto:
¡Que lástima de los años que perdí haciendo una carrera de la que no entendí nada!
¿Quién ha dicho que "infinito sea un elemento de un cuerpo"? Lo que yo he dicho es que \( ^*\mathbb R \) es un cuerpo. Eso es un teorema cuya demostración puedes encontrar en mi libro de teoría de conjuntos y, probablemente, también en las referencias de la página de Wikipedia (digo probablemente porque no las he consultado, pero me extrañaría mucho que no fuera así, en cualquier caso, donde sí lo tienes demostrado es en mi libro).
Pero yo no he dicho que "infinito pertenece a \( ^*\mathbb R \)", así que tu pregunta no tiene sentido. Lo que he dicho es que en \( ^*\mathbb R \) hay números hiperreales infinitos, no uno, sino muchos, así que lo más parecido a tu pregunta que tiene sentido y puedo responder es que los inversos de los números hiperreales infinitos son números hiperreales infinitesimales no nulos.
Un cuerpo \( ^*\mathbb R \) de números hiperreales puede construirse a partir del producto \( \mathbb R^{\mathbb N} \) fijando un ultraflitro no principal \( U \) en \( \mathbb N \) y definiendo dos elementos de \( \mathbb R^{\mathbb N} \) como equivalentes si el conjunto de los números naturales en los que coinciden está en \( U \). Eso es una relación de equivalencia, el conjunto cociente es, por definición, \( ^*\mathbb R \), se dota de forma natural de estructura de cuerpo ordenado, existe una inmersión canónica de \( \mathbb R \) en \( ^*\mathbb R \) y así puedes probar que \( ^*\mathbb R \) es un cuerpo ordenado que contiene estrictamente a los números reales, en el que existen no nulos números menores en módulo que \( 1/n \) para todo número natural \( n \), que son, por definición, infinitésimos, cuyos inversos son números infinitos, es decir, números mayores en módulo que cualquier número natural.
Todo esto te lo puedes estudiar si quieres, y si no te lo quieres estudiar, no te lo estudies, pero no estoy yo para darte clases particulares. En mi libro de teoría de conjuntos están todos los detalles, aunque tendrías que estudiarte al menos todo el capítulo 10 para entenderlos, el cual a su vez depende de los anteriores. Probablemente en la bibliografía de la Wikipedia encontrarás otras exposiciones más directas que te eviten buena parte de la teoría de modelos. En mi libro está presentado como una aplicación del teorema de las ultrapotencias, y por eso no la forma más elemental de presentar estas cosas.
Pero deberías ser consciente cuando pides demostraciones que exigir que sean demostraciones que puedas entender con lo que sabes es una restricción muy fuerte que no entra dentro de los estándares de rigor de la matemática. Según eso, si le pides a Wiles que te explique su demostración del último teorema de Fermat, probablemente no te hará ni caso, y el hecho de que tú no puedas entender su demostración (yo tampoco) no significa que no sea rigurosa. Significa que, o te pones a estudiarla, o te la crees, pero dudar de ella porque no sepas lo suficiente y así no la entiendas no es una actitud seria.
