Yo creo que lo necesario aquí es aclarar qué se entiende en esta discusión por "número infinito" o por "elemento infinito" de un cuerpo. Si no se aclara esto pasa que cada uno lo entiende de una manera distinta y es imposible entenderse.
Por ejemplo, se puede considerar que un número infinito es un ordinal o un cardinal infinito, que es lo que ha hecho Fernando.
También se puede considerar de la siguiente manera. Un elemento de un cuerpo ordenado se dice que es "infinito" si es mayor que cualquier natural (un cuerpo ordenado tiene necesariamente característica \[ 0 \], luego hay un embedding de \[ \Bbb N \] en él dado por \[ n \mapsto \underbrace{1+\dots+1}_n \]). Este es el sentido que está usando Carlos. Los cuerpos ordenados en los que no existen elementos infinitos en este sentido, como \[ \Bbb R \] o \[ \Bbb Q \], se llaman cuerpos arquimedianos.
Pero hay ejemplos de cuerpos no arquimedianos, donde hay elementos mayores que cualquier natural. Un ejemplo es el cuerpo de los números hiperreales de Carlos, otro ejemplo habitual es el cuerpo de funciones racionales \[ \Bbb Q(X) \] con el orden definido por \[ \frac{p(x)}{q(x)}>0 \] si y solo si \[ \frac{a}{b}>0 \] donde \[ a,b \] son los coeficientes de los términos de mayor grado de \[ p(x),q(x) \] respectivamente. Aunque en este último ejemplo no creo que nadie llame a sus elementos "números".
Con esta definición de elemento infinito de un cuerpo ordenado, la respuesta a:
En todo cuerpo, cada elemento, salvo el neutro de la adición, tiene inverso. ¿Cual es el inverso de infinito?
es que el inverso de un elemento infinito es un elemento infinitesimal, es decir, un elemento \[ x \] no nulo que cumple \[ 0<x<\frac{1}{n} \] para todo natural \[ n \].
