Autor Tema: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad

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03 Abril, 2020, 09:17 pm
Respuesta #40

Restituto

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Sí, claro que queda fuera, al igual que muchas otras cosas importantes (por ejemplo, la relación entre funciones holomorfas y funciones harmónicas).
Pero es que el que una aplicación sea conforme es un concepto que en su definición hace referencia ya a funciones \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \) y a nociones del plano euclídeo más que a complejos per se.
Usando la definición de derivada compleja y olvidándote de lo demás lo que puedes hacer es desarrollar los teoremas que hablan únicamente de funciones holomorfas como funciones \( \Bbb C \to \Bbb C \). No estoy diciendo que esto sea deseable ni recomendable, solamente que en principio se podría hacer.

Ahora bien, puedes programar en el ordenador diciendo que una aplicación conforme es una función \( f: \Bbb C \to \Bbb C \) con derivada compleja no nula en todas partes. Esto sí que es "trampa", pero te aseguro que he visto cosas peores.  ;D

Completamente de acuerdo. Por eso era yo de la opinión de que si el análisis complejo como un todo implica poder siempre identificar \( \mathbb{C} \) y \( \mathbb{R^2} \) como espacios vectoriales tangentes en la derivada no tenía sentido aislar todo aquello que corresponda al calculo multivariable \( \mathbb{R^2} \)→\( \mathbb{R^2} \) y decir que de unas cosas hay que hablar y de otras no hace falta. Pero bueno, "ministros tiene la iglesia" y yo no llego a monaguillo  :laugh: ;)

03 Abril, 2020, 10:05 pm
Respuesta #41

geómetracat

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Sí, yo siempre soy partidario de dar la visión más amplia posible y las relaciones con otros campos.
Además, creo que ya lo puse hace tiempo en este hilo, pero las ecuaciones CR y la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) son absolutamente esenciales si luego quieres estudiar variedades complejas y cosas así.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Abril, 2020, 01:47 pm
Respuesta #42

Restituto

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Sí, yo siempre soy partidario de dar la visión más amplia posible y las relaciones con otros campos.
Coincido, a menudo es más dificil y se mete uno en "jardines ajenos" pero creo que es lo más fructífero. Es una pena que en general las matemáticas del último siglo hayan ido casi exclusivamente en la dirección opuesta de extrema especialización y hacia el aislamiento y reducción de campos.

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Además, creo que ya lo puse hace tiempo en este hilo, pero las ecuaciones CR y la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) son absolutamente esenciales si luego quieres estudiar variedades complejas y cosas así.
Uff, yo de momento bastante tengo con entender una única variable compleja. Aunque lo de la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) me sugiere una duda. En análisis de una sola variable con dominio en \( \mathbb{C} \), ¿nos basta con la relación entre \( \Bbb C \) y \( \Bbb R^2 \) o hace realmente falta tener en cuenta a \( \mathbb{C^2} \)? Me da la impresión que para las funciones enteras al menos sí basta con \( \mathbb{C} \), pero para las no enteras la cosa es diferente.

06 Abril, 2020, 07:32 pm
Respuesta #43

geómetracat

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Es una pena que en general las matemáticas del último siglo hayan ido casi exclusivamente en la dirección opuesta de extrema especialización y hacia el aislamiento y reducción de campos.

Hombre, no te creas, hay muchos matemáticos que han hecho cosas impresionantes combinando técnicas de varios campos. Si miras medallas Fields y premios Abel encontrarás unos cuantos. Otro tema es que sean cosas difíciles de encontrar en libros.

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Uff, yo de momento bastante tengo con entender una única variable compleja. Aunque lo de la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) me sugiere una duda. En análisis de una sola variable con dominio en \( \mathbb{C} \), ¿nos basta con la relación entre \( \Bbb C \) y \( \Bbb R^2 \) o hace realmente falta tener en cuenta a \( \mathbb{C^2} \)? Me da la impresión que para las funciones enteras al menos sí basta con \( \mathbb{C} \), pero para las no enteras la cosa es diferente.

Yo diría que basta con \( \Bbb C \), al menos para las cosas usuales. Pero no sé muy bien en qué estás pensando que involucre \( \Bbb C^2 \). Si estás pensando en algún resultado concreto en análisis de una variable compleja que use \( \Bbb C^2 \) ponlo y lo miramos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Abril, 2020, 09:05 pm
Respuesta #44

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Hombre, no te creas, hay muchos matemáticos que han hecho cosas impresionantes combinando técnicas de varios campos. Si miras medallas Fields y premios Abel encontrarás unos cuantos. Otro tema es que sean cosas difíciles de encontrar en libros.
Sí, seguro que hay excepciones. Pero los generalistas del estilo de Poincaré o Riemann no son "tendencia" desde hace mucho tiempo.

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Yo diría que basta con \( \Bbb C \), al menos para las cosas usuales. Pero no sé muy bien en qué estás pensando que involucre \( \Bbb C^2 \). Si estás pensando en algún resultado concreto en análisis de una variable compleja que use \( \Bbb C^2 \) ponlo y lo miramos.
Estoy pensando en el cambio que supone la ausencia de singularidades finitas en \( \mathbb{C} \) respecto a su presencia, restringida a polos en el caso en que pienso.
En términos topológicos pasamos de contractibilidad en el espacio de funciones a tener que garantizar un dominio simplemente conexo, lo que se puede realizar con la compactificación mediante el punto en el infinito del codominio \( \mathbb{C} \).
Garantizar el espacio simplemente conexo en la derivada en ausencia de contractibilidad me parece que requiere de \( \mathbb{C^2} \).
Usando la visualización de esto que usa la esfera de Riemann, se concretaría en el uso de 2 parametrizaciones estereográficas con 2 coordenadas complejas en \( \mathbb{C^2} \) necesarias para cubrir la esfera como espacio simplemente conexo y para asegurar el poder mantener una orientación holomorfa con una inversión de orientación para cada parámetro.






07 Abril, 2020, 11:58 am
Respuesta #45

geómetracat

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Sí, seguro que hay excepciones. Pero los generalistas del estilo de Poincaré o Riemann no son "tendencia" desde hace mucho tiempo.

Sí, claro. Yo estaba hablando de otra cosa: gente que es especialista en un campo y obtiene resultados espectaculares en ese campo usando técnicas de otros.
La gente capaz de hacer avances importantes en campos lejanos como los que nombras hace tiempo que pasarob a la historia sí. Pero tal como yo lo veo eso es un reflejo de lo muchísimo que ha avanzado la matemática en el siglo XX. Ahora la frontera de la investigación en cualquier campo está muchísimo más lejos de lo que estaba en tiempos de Riemann o Poincaré, lo que hace que debas especializarte mucho no ya para hacer contribuciones, sino únicamente para poder entender qué se está haciendo en el campo.

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Estoy pensando en el cambio que supone la ausencia de singularidades finitas en \( \mathbb{C} \) respecto a su presencia, restringida a polos en el caso en que pienso.
En términos topológicos pasamos de contractibilidad en el espacio de funciones a tener que garantizar un dominio simplemente conexo, lo que se puede realizar con la compactificación mediante el punto en el infinito del codominio \( \mathbb{C} \).
Garantizar el espacio simplemente conexo en la derivada en ausencia de contractibilidad me parece que requiere de \( \mathbb{C^2} \).
Usando la visualización de esto que usa la esfera de Riemann, se concretaría en el uso de 2 parametrizaciones estereográficas con 2 coordenadas complejas en \( \mathbb{C^2} \) necesarias para cubrir la esfera como espacio simplemente conexo y para asegurar el poder mantener una orientación holomorfa con una inversión de orientación para cada parámetro.

Pues no sé si te acabo de entender. Por lo que entiendo (corrígeme si me equivoco) parece que digas que al considerar la esfera de Riemann con sus dos cartas dadas por proyecciones estereográficas estés considerando coordenadas en \( \Bbb C^2 \) (una para cada carta).
Pero si es así, eso realmente no usa \( \Bbb C^2 \), lo que usa no dejan de ser cartas de dimensión \( 1 \), porque la esfera de Riemann es una variedad compleja de dimensión 1 (=superfície de Riemann). La cuestión es que aunque los puntos distintos de los polos tengan dos coordenadas, en realidad nunca necesitas hacer uso de las dos coordenadas a la vez, no hay ningún argumento que necesite pasar por \( \Bbb C^2 \) y que no puedas hacer solamente con \( \Bbb C \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Abril, 2020, 01:30 pm
Respuesta #46

Restituto

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Pues no sé si te acabo de entender. Por lo que entiendo (corrígeme si me equivoco) parece que digas que al considerar la esfera de Riemann con sus dos cartas dadas por proyecciones estereográficas estés considerando coordenadas en \( \Bbb C^2 \) (una para cada carta).
Pero si es así, eso realmente no usa \( \Bbb C^2 \), lo que usa no dejan de ser cartas de dimensión \( 1 \), porque la esfera de Riemann es una variedad compleja de dimensión 1 (=superfície de Riemann).

Sí, me has entendido bien, y comprendo esto que dices.

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La cuestión es que aunque los puntos distintos de los polos tengan dos coordenadas, en realidad nunca necesitas hacer uso de las dos coordenadas a la vez, no hay ningún argumento que necesite pasar por \( \Bbb C^2 \) y que no puedas hacer solamente con \( \Bbb C \).

Es verdad, con una sutilidad añadida que es la que intento aclarar. Yo entiendo que esto es así cuando asumimos la holomorfidad fuera de los polos de la función, es decir la meromorfidad en \( \mathbb{C} \). Entonces por supuesto ya tenemos la esfera de Riemann del codominio como superficie orientada en el espacio tangente de la función \( \mathbb{C} \)\( \rightarrow{ \left \{C\cup\infty\right \}} \) que es \( \mathbb{C^2} \).

Pero supongamos en aras de mi argumento que no hemos asumido la holomorfidad aún, por ejemplo si no hemos hecho comprobaciones mediante las ecuaciones de CR o similar y que es donde tiene sentido hablar del espacio tangente \( \mathbb{C^2} \) en el diferencial real mencionado antes. En este supuesto es cuando creo que haría falta usar las 2 coordenadas de tal espacio a la vez para inducir la orientación única, al menos teoricamente y si lo que explico abajo tiene sentido.

 Por supuesto esto en la práctica no es realmente necesario en general, si se tiene una función meromorfa y se asume una convención de orientación ya no hay nada que comprobar y a partir de ahí ya no hay necesidad de usar las 2 coordenadas a la vez como dices ya que estamos en el espacio tangente \( \mathbb{C} \) de funciones \( \mathbb{C} \)-lineales ya.

 Todo simplemente se reduce a la necesidad de elegir la convención de orientación/argumento principal en la función y se obvia que para inducir esta orientación única  para los 2 planos complejos, uno para cada proyección estereográfica en la esfera de Rieman, con orientaciones inversas el uno respecto del otro y que mantengan una orientación consistente de la esfera en \( \mathbb{C^2} \)  se precisan las 2 coordenadas a la vez y sus conjugadas.

Añadí alguna aclaración por si no se entendía



07 Abril, 2020, 10:10 pm
Respuesta #47

Restituto

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Quizás sea yo, pero es que no veo de qué otra manera se pueden distinguir el polo norte del polo sur de la esfera de Riemann en \( \mathbb{C^2} \) de forma consistente para ceros y polos de una función meromorfa que estipulando una convención de sentido positivo entre las 2 coordenadas, no se puede con una sola, no?

08 Abril, 2020, 11:55 am
Respuesta #48

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La cuestión es que aunque los puntos distintos de los polos tengan dos coordenadas, en realidad nunca necesitas hacer uso de las dos coordenadas a la vez, no hay ningún argumento que necesite pasar por \( \Bbb C^2 \) y que no puedas hacer solamente con \( \Bbb C \).
A ver si esta vez consigo expresar mejor a lo que me refiero:Los puntos del dominio que van a puntos de la esfera con 2 coordenadas claramente no necesitan hacer uso de las 2 coordenadas a la vez, las 2 coordenadas replican la orientación natural del dominio \( \Bbb C \) de forma consistente para todos ellos. Los que lo necesitan para la diferenciabilidad real de la función son los argumentos aislados que van a los polos de la esfera y solo cuentan con una coordenada en ella, y la estructura de \( \Bbb C^2 \) del espacio de la diferencial real les da tal orientación única consistente para todos los argumentos que vayan a polos de la esfera, es decir los ceros y polos de la función.

08 Abril, 2020, 12:22 pm
Respuesta #49

geómetracat

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No estoy seguro de entender del todo lo que quieres decir, pero en cualquier caso, la esfera de Riemann, al igual que cualquier superfície de Riemann (o más en general, cualquier variedad compleja) tiene una orientación canónica.

La cuestión es que el dominio de cada carta, que es (un abierto de) \( \Bbb C \), admite la orientación canónica dada por la forma \( dx \wedge dy = \frac{i}{2} dz \wedge d\bar{z} \).
Ahora, lo único que hay que ver es que estas orientaciones son compatibles (es decir, que el jacobiano del cambio de cartas es positivo). Pero esto es una consecuencia del hecho de que el cambio de cartas es holomorfo. En efecto, si \( f \) es la función que da el cambio de cartas, la matriz jacobiana en la base (real) \( (z,\bar{z}) \) de \( \Bbb C \cong \Bbb R^2 \) es:
\(
\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z} & \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \end{bmatrix}
 \)
Por las ecuaciones CR los elementos fuera de la diagonal son cero, y tenemos que el determinante de la matriz es \( \left|\frac{\partial f}{\partial z}\right| > 0 \).

Pero no sé si estoy entendiendo bien lo que quieres decir, porque parece que involucras una función con codominio la esfera de Riemann (cuando la orientación de la esfera de Riemann no depende de ninguna función). Tampoco entiendo dónde aparece \( \Bbb C^2 \), cuando hablas de "la estructura de \( \Bbb C^2 \) del espacio de la diferencial real", si en principio la diferencial (real) de una aplicación \( f: \Bbb C \to \Bbb CP^1 \) en un punto es una aplicación de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)