Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Variable compleja y Análisis de Fourier => Mensaje iniciado por: Restituto en 07 Febrero, 2020, 11:44 am

Título: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 07 Febrero, 2020, 11:44 am
¿Algo de esto es correcto?  :-\: La holomorfidad en \( \mathbb{C} \) implica funciones \( \mathbb{C} \)-lineales y estas implican funciones \( \mathbb{R} \)-lineales ya que \( \mathbb{C} \)-linealidad presupone \( \mathbb{R} \)-linealidad, pero no al revés.

 Más concretamente el espacio de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \) es un espacio vectorial real de dimensión 4 y complejo de dimensión 2 del que las funciones \( \mathbb{C} \)-lineales forman un subespacio de dimensión 2 sobre los reales y una dimensión sobre los complejos.

¿Se puede identificar el espacio "ambiente" o gráfica de las funciones holomorfas con el espacio vectorial de dimension 4 sobre los reales o \( \mathbb{R^4} \) y 2 sobre los complejos o \( \mathbb{C^2} \) mencionado arriba?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Masacroso en 07 Febrero, 2020, 11:56 am
¿Algo de esto es correcto?  :-\: La holomorfidad en \( \mathbb{C} \) implica funciones \( \mathbb{C} \)-lineales y estas implican funciones \( \mathbb{R} \)-lineales ya que \( \mathbb{C} \)-linealidad presupone \( \mathbb{R} \)-linealidad, pero no al revés.

 Más concretamente el espacio de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \) es un espacio vectorial real de dimensión 4 y complejo de dimensión 2 del que las funciones \( \mathbb{C} \)-lineales forman un subespacio de dimensión 2 sobre los reales y una dimensión sobre los complejos.

¿Se puede identificar el espacio "ambiente" o gráfica de las funciones holomorfas con el espacio vectorial de dimension 4 sobre los reales o \( \mathbb{R^4} \) y 2 sobre los complejos o \( \mathbb{C^2} \) mencionado arriba?

Un espacio de funciones tiene dimensión infinita por lo general, salvo que dominio y codominio sean finitos. Lo que hay es un isomorfismo como espacios vectorial reales entre \( \Bbb C  \) y \( \Bbb R^2  \), no sé si por ahí van los tiros de lo que quieres decir.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 07 Febrero, 2020, 12:03 pm

Un espacio de funciones tiene dimensión infinita por lo general, salvo que dominio y codominio sean finitos. Lo que hay es un isomorfismo como espacios vectorial reales entre \( \Bbb C  \) y \( \Bbb R^2  \), no sé si por ahí van los tiros de lo que quieres decir.
Estoy dando por hecho la dimensión finita de dominio y codominio,sí,  por el contexto de función holomorfa. El isomorfismo entre \( \Bbb C  \) y \( \Bbb R^2  \) también creo que está implicado si lo que he escrito es correcto, pero quiero estar seguro de todas las implicaciones que afirmo arriba.
 En cualquier caso es un espacio de funciones concreto al que me refiero, el de mapas lineales y ese creo que es de dimensión finita.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Febrero, 2020, 01:13 pm
Hola

¿Algo de esto es correcto?  :-\: La holomorfidad en \( \mathbb{C} \) implica funciones \( \mathbb{C} \)-lineales y estas implican funciones \( \mathbb{R} \)-lineales ya que \( \mathbb{C} \)-linealidad presupone \( \mathbb{R} \)-linealidad, pero no al revés.

No estoy seguro que quieres decir con la frase en rojo. En principio no hace falta hablar de C-linealidad para definir holomorfidad, aunque si pueden relacionarse.

Citar
Más concretamente el espacio de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \) es un espacio vectorial real de dimensión 4 y complejo de dimensión 2 del que las funciones \( \mathbb{C} \)-lineales forman un subespacio de dimensión 2 sobre los reales y una dimensión sobre los complejos.

Correcto.

Citar
¿Se puede identificar el espacio "ambiente" o gráfica de las funciones holomorfas con el espacio vectorial de dimension 4 sobre los reales o \( \mathbb{R^4} \) y 2 sobre los complejos o \( \mathbb{C^2} \) mencionado arriba?

Si, es decir  la gráfica de una función de \( \Bbb C\to \Bbb C \) se puede representar en \( \Bbb C^2 \) y equivalentemente en \( \Bbb R^4 \). No sé si tiene sentido de hablar de la esctructura de espacio vectorial porque en principo no aporta mucho.

Lo que si es cierto es que tal gráfica es una curva compleja (dimensión como variedad compleja \( 1 \)) de \( \Bbb C^2 \), pero una superficie real (dimensión como variedad real y casi con la mayoría de las definiciones de dimensión DOS) de \( \Bbb R^4. \)

En cualquier caso es un espacio de funciones concreto al que me refiero, el de mapas lineales y ese creo que es de dimensión finita.

Si. Si los espacios vectoriales implicados son de dimensión finita, como es el caso, si.

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Masacroso en 07 Febrero, 2020, 01:23 pm
Oh, claro... no había caído en lo de lineal. Ciertamente la dimensión del espacio es finita, es simplemente el espacio de matrices 2x2 de coeficientes reales, el cual es isomorfo a \( \Bbb R ^4 \).

 :banghead: :banghead:
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 07 Febrero, 2020, 02:14 pm


No estoy seguro que quieres decir con la frase en rojo. En principio no hace falta hablar de C-linealidad para definir holomorfidad, aunque si pueden relacionarse.
Quería decir que una función holomorfa en \( \mathbb{C} \) debe ser \( \mathbb{C} \)-lineal, al menos eso es lo que creo que se consigue al exigir que cumplan su parte real e imaginaria las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 07 Febrero, 2020, 02:34 pm


Si, es decir  la gráfica de una función de \( \Bbb C\to \Bbb C \) se puede representar en \( \Bbb C^2 \) y equivalentemente en \( \Bbb R^4 \). No sé si tiene sentido de hablar de la esctructura de espacio vectorial porque en principo no aporta mucho.


¿Se puede representar o no hay otra opción que representarla de esa manera? Por ahí iba yo en cuanto a la relevancia de la estructura vectorial, al hecho de que la \( \mathbb{C} \)-linealidad implica la \( \mathbb{R} \)-linealidad de los mapas de que hablaba arriba.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Febrero, 2020, 08:01 pm
Hola

Quería decir que una función holomorfa en \( \mathbb{C} \) debe ser \( \mathbb{C} \)-lineal, al menos eso es lo que creo que se consigue al exigir que cumplan su parte real e imaginaria las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

¡No!. En absoluto. Por ejemplo la función \( f(z)=z^2 \) es holomorfa pero NO es \( \Bbb C \)-lineal.

¿Se puede representar o no hay otra opción que representarla de esa manera?

No entiendo muy bien el matiz. No sé que alcance le quieres dar. Quiero decir, si vamos a lo que se entiende por definición de gráfica de una función, en general la gráfica de una función \( f:A\to B \) es un subconjunto de \( A\times B \):

\( Graf(f)=\{(a,b)\in A\times B|b=f(a)\} \)

En muchas ocasiones esto da un conjunto que uno puede "dibujar" o en todo caso manejar como una variedad geométrica y por eso es una buena representación de la función.

Ahora en general el concepto de representar algo es un tanto subjetivo; una función también está representada por la fórmula que la define, o en ciertos contextos por diagramas de Venn y flechas o se podrían inventar otras representaciones.

Por resumir desde luego lo más natural es representar la función mediante su gráfica.

Citar
Por ahí iba yo en cuanto a la relevancia de la estructura vectorial, al hecho de que la \( \mathbb{C} \)-linealidad implica la \( \mathbb{R} \)-linealidad de los mapas de que hablaba arriba.

Sigo sin entender que papel le das a la estructura de espacio vectorial.

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Febrero, 2020, 12:52 am
Creo que estás confundiendo el hecho de que una función holomorfa sea \( \Bbb C \)-lineal, que es falso como te ha dicho Luis, con que la diferencial de una función holomorfa en un punto es \( \Bbb C \)-lineal. Esto último sí que es verdad y es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Febrero, 2020, 09:15 am
Creo que estás confundiendo el hecho de que una función holomorfa sea \( \Bbb C \)-lineal, que es falso como te ha dicho Luis, con que la diferencial de una función holomorfa en un punto es \( \Bbb C \)-lineal. Esto último sí que es verdad y es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Si, exacto. Me precipité al escribirlo. Gracias por verlo.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Febrero, 2020, 09:30 am


¡No!. En absoluto. Por ejemplo la función \( f(z)=z^2 \) es holomorfa pero NO es \( \Bbb C \)-lineal.
Si, perdona. Como vió geómetracat me dejé  que era la diferencial df la que debia ser \( \Bbb C \)-lineal para que f fuera holomorfa y no f.
Citar
Sigo sin entender que papel le das a la estructura de espacio vectorial.


Bueno \( \mathbb{C^2} \) tiene estructura de espacio vectorial, no? No sé si me estás queriendo indicar que las funciones holomorfas no  necesariamente "viven" en un espacio vectorial.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Febrero, 2020, 09:37 am
Hola

Si, perdona. Como vió geómetracat me dejé  que era la diferencial df la que debia ser \( \Bbb C \)-lineal para que f fuera holomorfa y no f.

Bien.

Citar
Bueno \( \mathbb{C^2} \) tiene estructura de espacio vectorial, no? No sé si me estás queriendo indicar que las funciones holomorfas no  necesariamente "viven" en un espacio vectorial.

Realmente no quiero indicar nada concreto.  :D Al contrario trataba de entender en que estás pensando cuando das relieve a la estructura de espacio vectorial.

Pero quizá está respondido en lo del principio; si estás pensando en la diferencial ahí cobra todo su sentido la estructura de espacio vectorial. La diferencial es una aplicación entre los espacios tangentes en cada punto y estos si, se caracterizan por su estructura de espacio vectorial.

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Febrero, 2020, 02:09 pm
Realmente no quiero indicar nada concreto.  :D Al contrario trataba de entender en que estás pensando cuando das relieve a la estructura de espacio vectorial.

Pero quizá está respondido en lo del principio; si estás pensando en la diferencial ahí cobra todo su sentido la estructura de espacio vectorial. La diferencial es una aplicación entre los espacios tangentes en cada punto y estos si, se caracterizan por su estructura de espacio vectorial.
A menudo ni yo tengo claro en lo que estoy pensando  ;) . Pero más en serio creo que mi interés en la estructura lineal y en concreto la \( \mathbb{R} \)-lineal viene de pensar en la función holomorfa como función \( \mathbb{C} \)-diferenciable en \( \mathbb{C} \) y por ello \( \mathbb{R^2} \)-diferenciable y la diferencial \( df \) de la función \( f \) será entonces la forma lineal entre los espacios tangentes de \( \mathbb{C} \) y por tanto formará parte del espacio de formas lineales en \( \mathbb{C^2}\equiv\mathbb{R^4} \).

Es por esto que me descolocó un poco tu comentario:"No sé si tiene sentido de hablar de la estructura de espacio vectorial porque en principo no aporta mucho", ya que al estudiar la diferenciabilidad de funciones holomorfas me daba la sensación de que puede ser incluso crucial aunque sí es verdad que es algo en lo que no se incide mucho en casi ningún libro de análisis complejo que he consultado por lo que supongo que para la mayoría de aplicaciones del análisis complejo no es esencial incidir en ello.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Febrero, 2020, 11:00 am
Hola

A menudo ni yo tengo claro en lo que estoy pensando  ;) . Pero más en serio creo que mi interés en la estructura lineal y en concreto la \( \mathbb{R} \)-lineal viene de pensar en la función holomorfa como función \( \mathbb{C} \)-diferenciable en \( \mathbb{C} \) y por ello \( \mathbb{R^2} \)-diferenciable y la diferencial \( df \) de la función \( f \) será entonces la forma lineal entre los espacios tangentes de \( \mathbb{C} \) y por tanto formará parte del espacio de formas lineales en \( \mathbb{C^2}\equiv\mathbb{R^4} \).

Bien.

Citar
Es por esto que me descolocó un poco tu comentario:"No sé si tiene sentido de hablar de la estructura de espacio vectorial porque en principo no aporta mucho", ya que al estudiar la diferenciabilidad de funciones holomorfas me daba la sensación de que puede ser incluso crucial aunque sí es verdad que es algo en lo que no se incide mucho en casi ningún libro de análisis complejo que he consultado por lo que supongo que para la mayoría de aplicaciones del análisis complejo no es esencial incidir en ello.

Como resumen: si al hacer intervenir la diferenciabilidad estabas pensando en la diferencial, de acuerdo.

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Febrero, 2020, 11:09 am

 si al hacer intervenir la diferenciabilidad estabas pensando en la diferencial, de acuerdo.

Claro, pero ahora me haces preguntarme, al hablar de holomorfidad, ¿se puede no hacer intervenir la diferenciabilidad compleja? Y, al hacerla intervenir ¿se puede ignorar o no usar la diferencial? Quiero decir la diferenciabilidad compleja exige para poder cumplir las ecuaciones de CR la diferenciabilidad real fuerte de Frechet, es decir la matriz Jacobiana real 2x2.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Febrero, 2020, 11:21 am
Hola

Claro, pero ahora me haces preguntarme, al hablar de holomorfidad, ¿se puede no hacer intervenir la diferenciabilidad compleja? Y, al hacerla intervenir ¿se puede ignorar o no usar la diferencial? Quiero decir la diferenciabilidad compleja exige para poder cumplir las ecuaciones de CR la diferenciabilidad real fuerte de Frechet, es decir la matriz Jacobiana real 2x2.

mmm... a ver. Para hablar de holomorfidad sólo hace falta definir la derivada compleja:

\( f'(z)=\displaystyle\lim_{z \to z_0}{}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \)

Es derivable en \( z_0 \) si existe tal límite. Y es holomorfa en en \( z_0 \) si es derivable en un entorno del punto.

Entonces no es necesario en todo esto hablar de las condición de C-R ni de la diferenciabilidad real.

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Febrero, 2020, 11:36 am


mmm... a ver. Para hablar de holomorfidad sólo hace falta definir la derivada compleja:

\( f'(z)=\displaystyle\lim_{z \to z_0}{}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \)

Es derivable en \( z_0 \) si existe tal límite. Y es holomorfa en en \( z_0 \) si es derivable en un entorno del punto.

Entonces no es necesario en todo esto hablar de las condición de C-R ni de la diferenciabilidad real.

Saludos.
Si, y para aplicarla aún se necesita menos, memorizas las reglas de derivación y fuera, ya no tienes que hablar de nada de esto, pero obviamente me refiero a lo que es necesario para la existencia de la derivada compleja es decir las condiciones necesarias sbre las partes real e imaginaria de una función compleja para que exista tal límite, que es bastante más que lo que se exige para que exista el límite de la derivada real.

 Hombre, si se toma en serio tu afirmación de que no es necesario hablar ni de las condiciones de Cauchy-Riemann ni de lo que significan para la holomorfidad los libros de Análisis complejo tendrían unas cuantas secciones que borrar  :D . Aunque es verdad que alguno que he visto les dedica una sola mención.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Febrero, 2020, 12:12 pm
Hola

Si, y para aplicarla aún se necesita menos, memorizas las reglas de derivación y fuera, ya no tienes que hablar de nada de esto, pero obviamente me refiero a lo que es necesario para la existencia de la derivada compleja es decir las condiciones necesarias sbre las partes real e imaginaria de una función compleja para que exista tal límite, que es bastante más que lo que se exige para que exista el límite de la derivada real.

 Hombre, si se toma en serio tu afirmación de que no es necesario hablar ni de las condiciones de Cauchy-Riemann ni de lo que significan para la holomorfidad los libros de Análisis complejo tendrían unas cuantas secciones que borrar  :D . Aunque es verdad que alguno que he visto les dedica una sola mención.

Las condiciones de Cauchy-Riemann son cómodas desde el punto de vista práctico para comprobar que una función es complejo-derivable. Pero es bastante discutible su valor para entender conceptualmente que es una función holomorfa.

Cuando uno avanza en el uso del análisis complejo uno olvida ya que los complejos se componen de una parte real e imaginaria, y piensa más bien que está trabajando con un cuerpo de números más rico que los reales y donde las funciones holomorfas tienen propiedades mucho más potentes que cuando trabajar con funciones reales derivables. Uno no conceptualiza esas funciones como un caso particular de funciones diferenciables de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \).

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Febrero, 2020, 12:35 pm


Las condiciones de Cauchy-Riemann son cómodas desde el punto de vista práctico para comprobar que una función es complejo-derivable. Pero es bastante discutible su valor para entender conceptualmente que es una función holomorfa.

Cuando uno avanza en el uso del análisis complejo uno olvida ya que los complejos se componen de una parte real e imaginaria, y piensa más bien que está trabajando con un cuerpo de números más rico que los reales y donde las funciones holomorfas tienen propiedades mucho más potentes que cuando trabajar con funciones reales derivables. Uno no conceptualiza esas funciones como un caso particular de funciones diferenciables de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \).

Saludos.
Gracias por este aporte. ¿Puedes especificar algo más esa conceptualización? Tenía la impresión de que la conceptualización de las propiedades del cuerpo complejo en las más potentes funciones holomorfas se basaba precisamente en hacer compatible la estructura de espacio vectorial real con la de espacio vectorial complejo para lo cual es necesario relacionarlas mediante las ec. C-R, es decir hacer a la matriz Jacobiana del diferencial comportarse como un complejo en la multiplicación, y esto es restringir fuertemente las posibles funciones holomorfas como casos particulares de funciones diferenciables de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \).

¿Existe otra manera de conseguir estas funciones sin aludir a la necesaria compatibilidad entre las estructuras vectoriales compleja unidimensional  y la real bidimensional? ¿Alguna otra propiedad del cuerpo de los complejos quizás?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Febrero, 2020, 07:17 pm
Hola

Gracias por este aporte. ¿Puedes especificar algo más esa conceptualización?

Citar
¿Existe otra manera de conseguir estas funciones sin aludir a la necesaria compatibilidad entre las estructuras vectoriales compleja unidimensional  y la real bidimensional? ¿Alguna otra propiedad del cuerpo de los complejos quizás?

mmm... no se si me sabré explicarme bien. Quizá tampoco tenga una idea suficientemente clara al respecto para transmitirla correctamente. Y tampoco entiendo al 100% lo que quieres decir con "otra manera".

Uno puede probar por ejemplo que las funciones polinómicas \( z^n \) son holomorfas directamente con la definición a través del límite sin usar para nada C-R.

O en este texto se introduce la exponencial compleja y su holomorfidad sin usar  C-R:

http://www.math.univ-toulouse.fr/~sauloy/PAPIERS/GalDiffChap1.pdf

E incluso aunque uno al principio utilice las condiciones de C-R para probar que ciertas funciones elementales son holomorfas, en seguida cuando se avanza en el cálculo complejo uno prácticamente ya no las vuelve utilizar.

Saludos.

P.D. Quizá te vendría bien leer la introducción del libro de Ivorra sobre el análisis complejo:

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Varcom.pdf
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Febrero, 2020, 08:05 pm


mmm... no se si me sabré explicarme bien. Quizá tampoco tenga una idea suficientemente clara al respecto para transmitirla correctamente. Y tampoco entiendo al 100% lo que quieres decir con "otra manera".

Uno puede probar por ejemplo que las funciones polinómicas \( z^n \) son holomorfas directamente con la definición a través del límite sin usar para nada C-R.

O en este texto se introduce la exponencial compleja y su holomorfidad sin usar  C-R:

http://www.math.univ-toulouse.fr/~sauloy/PAPIERS/GalDiffChap1.pdf

E incluso aunque uno al principio utilice las condiciones de C-R para probar que ciertas funciones elementales son holomorfas, en seguida cuando se avanza en el cálculo complejo uno prácticamente ya no las vuelve utilizar.


Te agradezco la respuesta y las referencias, pero creo que debe haber algún malentendido. No digo que siempre sea necesario usar las CR para hacer una demostración o para usar alguna función en concreto-aunque en la primera referencia que me citas sí las usan en la tercera página-, claro que no lo es. Ni que sea o no necesario usarlas en cualquier otra situación. Mi pregunta era sobre la explicación de la forma de derivar una variable compleja de forma que la estructura de espacio vectorial real y compleja de \( \mathbb{C} \) no se tenga que relacionar por medio de las CR-o cualquier otra forma de hacer que se pueda multiplicar por un múmero complejo en la diferencial- y si conocías alguna explicación que no pase por las propiedades reales lineales de la diferencial para poder expresar las propiedades del cuerpo complejo en las derivadas. Pero me refiero a algo concreto, no aludiendo a propiedades algo vagas del cuerpo complejo.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Febrero, 2020, 09:40 pm
Hola

Te agradezco la respuesta y las referencias, pero creo que debe haber algún malentendido.

Si, definitivamente no te estoy entendiendo.

Citar
Mi pregunta era sobre la explicación de la forma de derivar una variable compleja de forma que la estructura de espacio vectorial real y compleja de \( \mathbb{C} \) no se tenga que relacionar por medio de las CR-o cualquier otra forma de hacer que se pueda multiplicar por un múmero complejo en la diferencial- y si conocías alguna explicación que no pase por las propiedades reales lineales de la diferencial para poder expresar las propiedades del cuerpo complejo en las derivadas. Pero me refiero a algo concreto, no aludiendo a propiedades algo vagas del cuerpo complejo.

Hay algo fundamental para intentar entenderte. Hablas dos veces de "una explicación". ¿Exactamente una explicación de qué?. No tengo claro exactamente para qué cosa estás buscando explicación.

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Febrero, 2020, 10:15 pm


Hay algo fundamental para intentar entenderte. Hablas dos veces de "una explicación". ¿Exactamente una explicación de qué?. No tengo claro exactamente para qué cosa estás buscando explicación.
A ver, el tema es la diferenciabilidad compleja, yo dije como la entendía y que me parecía que una condición necesaria era que para que una función compleja de una variable compleja tuviera diferenciabilidad compleja tanto la parte real como la imaginaria fueran \( \mathbb{R} \)-diferenciables respecto a \( x \) e \( y \) respectivamente y además que su estructura \( R \)-lineal y \( \mathbb{C} \)-lineal se debía relacionar mediante las ecuaciones CR- o similar, hay quien lo expresa esto con formas diferenciables exigiendo que sean cerradas- que permitían exigir que no sólo hubiera \( R \)-diferenciabilidad sino que fuera posible multiplicar por escalares complejos en la diferencial y se obtuviera \( f'=\displaystyle\frac{df}{dz} \) como \( df=f'.dz \), y me pareció entenderte que ni era necesaria ni relevante ninguna de estas cosas, ni ecuaciones CR, ni aportaba nada la diferencial ni su linealidad real ni era importante el concepto de \( \mathbb{R} \)-diferenciabilidad ya que no había que pensar en la parte real e imaginaria sino en complejos, ni reducir a un caso restringido de diferenciabilidad real.... de ahí que yo te pidiera una "explicación alternativa" a la mía que no es mía sino que la saco del libro obviamente. Esa alternativa a lo que yo decía que al parecer no es la idea correcta según tú,  es lo que buscaba.

Pero también puede ser que yo te haya malinterpretado aunque las citas estén ahí de lo que ha dicho cada uno.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 11 Febrero, 2020, 12:37 pm
Yo creo que ambos tenéis parte de razón. Si entiendo bien lo que quiere decir, Luis dice que para el desarrollo de la teoría de funciones holomorfas (lo que se ve en un curso típico de variable compleja) las ecuaciones de Cauchy-Riemann son prácticamente anecdóticas. Es decir, es una condición sin duda interesante y que tiene su aplicación práctica para comprobar si una función dada es holomorfa o no, pero el desarrollo de la teoría no hace gran uso de las ecuaciones CR.
Lo que es verdad es que las ecuaciones CR tal como se escriben usualmente son un tanto ajenas a la teoría de variable compleja, ya que en variable compleja pensamos las funciones como funciones \( \Bbb C \to \Bbb C \) y no como funciones \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \). Pero de hecho hay una forma de escribir las ecuaciones CR que se aplica directamente a funciones \( \Bbb C \to \Bbb C \) y es la que aparece normalmente en tratamientos más avanzados. La idea es que cualquier función \( f:\Bbb C \to \Bbb C \), no necesariamente holomorfa, se puede escribir siempre como una función de las dos variables \( z, \bar{z} \). Entonces, las ecuaciones de CR se reducen a esta única ecuación compleja:
\( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0. \)

En contextos más avanzados, las ecuaciones de Cauchy-Riemann (en esta última forma) se usan bastante. Por ejemplo, en geometría compleja aparecen constantemente.

Por último, el hecho de que una función sea holomorfa si y solo si cumple las ecuaciones de CR tiene también un sentido bastante importante del que no se ha hablado aquí: la holomorficidad se puede caracterizar mediante EDPs. De hecho, gran parte de las propiedades típicas de las funciones holomorfas se pueden derivar (de forma bastante más complicada a la usual) usando teoría de EDPs. Esto da lugar a desarrollos y generalizaciones muy interesantes (y complicados) en geometría, aunque todo esto ya se sale bastante de lo que preguntas.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Febrero, 2020, 12:56 pm
Hola

A ver, el tema es la diferenciabilidad compleja, yo dije como la entendía y que me parecía que una condición necesaria era que para que una función compleja de una variable compleja tuviera diferenciabilidad compleja tanto la parte real como la imaginaria fueran \( \mathbb{R} \)-diferenciables respecto a \( x \) e \( y \) respectivamente y además que su estructura \( R \)-lineal y \( \mathbb{C} \)-lineal se debía relacionar mediante las ecuaciones CR- o similar, hay quien lo expresa esto con formas diferenciables exigiendo que sean cerradas- que permitían exigir que no sólo hubiera \( R \)-diferenciabilidad sino que fuera posible multiplicar por escalares complejos en la diferencial y se obtuviera \( f'=\displaystyle\frac{df}{dz} \) como \( df=f'.dz \)

Veamos. Todo eso es objetivamente cierto. No admite discusión. Que la diferenciabilidad compleja puede caracterizarse como dices es un teorema.

Citar
, y me pareció entenderte que ni era necesaria ni relevante ninguna de estas cosas, ni ecuaciones CR, ni aportaba nada la diferencial ni su linealidad real ni era importante el concepto de \( \mathbb{R} \)-diferenciabilidad ya que no había que pensar en la parte real e imaginaria sino en complejos, ni reducir a un caso restringido de diferenciabilidad real....


Hombre que no aporta nada es excesivo, eso sin duda. Es más aporta. Si dije lo contrario me desdigo. Me equivoqué.

Citar
de ahí que yo te pidiera una "explicación alternativa" a la mía que no es mía sino que la saco del libro obviamente. Esa alternativa a lo que yo decía que al parecer no es la idea correcta según tú,  es lo que buscaba.

Aquí es donde me pierdo. ¿Explicación alternativa de qué?. Si lo que quieres es explicar la relación entre diferenciabilidad compleja y diferenciabilidad real: no tengo alternativa. Lo que digo es que se puede hacer análisis complejo sin usar esa identificación. Y no hay mucho más que decir: en la propia definición de diferenciabilidad compleja no se usa nada de la diferenciabilidad real; y como te dijo se puede manipular directamente esa definición. Y te he puesto ejemplos.

Saludos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 11 Febrero, 2020, 02:30 pm
Aclarado y entendido. Gracias a todos los participantes de este hilo por vuestra ayuda y paciencia.

Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 02 Abril, 2020, 07:54 pm
mmm... a ver. Para hablar de holomorfidad sólo hace falta definir la derivada compleja:

\( f'(z)=\displaystyle\lim_{z \to z_0}{}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \)

Es derivable en \( z_0 \) si existe tal límite...

Entonces no es necesario en todo esto hablar de las condición de C-R ni de la diferenciabilidad real.


Me gustaría hacer algún comentario adicional para matizar esto. La derivabilidad en el punto \( z_0 \) de una función hace necesario hablar de algo más de lo que se ve en la fórmula de la definición, que es especialmente engañosa en su parecido con la de la derivada de una variable real cambiando la x por z, hay que hablar precisamente de lo que nos permite tener tal fórmula y que tal límite exista, en concreto hay que saber algo de lo que implica ese límite como que la aproximación entre \( z_0 \) y \( z \) no va a depender del ángulo de las posibles direcciones de aproximación en el dominio y codominio. No se parece demasiado el límite para z a lo que implica el límite  para una variable real x con la misma fórmula.

 Y esto nos lleva directamente al diferencial real y a la matriz jacobiana de 4 derivadas parciales reales en \( \mathbb{C^2} \) que se van a tener que relacionar de cierta forma para conseguir la independencia del ángulo mencionada. Así que de hecho en la definición de derivabildad que nos permite tener una fórmula tan sencilla en apariencia como la de arriba hay que hablar, aparte de que la función debe estar definida en el entorno de \( z_0 \), de la necesidad de la existencia de las derivadas parciales en \( z_0 \) continuas en el entorno del punto y que forman parte del diferencial real de la función y de las condiciones que han de cumplir estas para que la aproximación mencionada no dependa del ángulo de la dirección de aproximación, de otra forma no se tiene esa fórmula tan austera y engañosamente parecida a la de una variable real.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 12:39 am
No estoy de acuerdo. La situación es exactamente la misma que en el caso real. En ambos casos esa fórmula quiere decir que para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |z-z_0|<\delta \) implica \( \left| \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0} - f'(z_0) \right| < \epsilon \).
La única diferencia es que en un caso los \( z,z_0 \) y el valor absoluto son los de \( \Bbb R \) y en el otro los de \( \Bbb C \). Pero conceptualmente no hace falta referirse a la parte real e imaginaria para nada, ni ver el límite en \( \Bbb R^2 \). De hecho la misma definición te sirve para un cuerpo dotado de un valor absoluto cualquiera.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 03 Abril, 2020, 12:56 am
No estoy de acuerdo. La situación es exactamente la misma que en el caso real. En ambos casos esa fórmula quiere decir que para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |z-z_0|<\delta \) implica \( \left| \frac{f(z) - f(z_0)}{z-z_0} - f'(z_0) \right| < \epsilon \).
La única diferencia es que en un caso los \( z,z_0 \) y el valor absoluto son los de \( \Bbb R \) y en el otro los de \( \Bbb C \).
Claro, a esa "única diferencia" es a la que me refiero, y la que requiere usar el teorema de derivabilidad compleja, que es lo que he descrito. No he dicho nada de límites en \( \mathbb{R^2} \), he mencionado lo obvio, que la diferenciabilidad compleja implica la real.
Supongo que con el teorema de derivabilidad estarás de acuerdo, es el que permite escribir el límite como lo has hecho en funciones complejas de variable compleja.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 01:26 am
No te acabo de entender. ¿A qué llamas exactamente "teorema de derivabilidad compleja?
Por supuesto que estoy de acuerdo con que la derivabilidad compleja implica la real. Lo que cuestiono es lo que afirmabas sobre que el límite no se parece demasiado a la versión real. Lo que digo es que no hace falta para nada hablar de ángulos ni cosas parecidas a la hora de definir el límite (donde parece que estés identificando implícitamente \( \Bbb C \) con \( \Bbb R^2 \)); puedes proceder igual que en el caso real, usando los complejos con su valor absoluto.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 03 Abril, 2020, 10:22 am
No te acabo de entender. ¿A qué llamas exactamente "teorema de derivabilidad compleja?
Por supuesto que estoy de acuerdo con que la derivabilidad compleja implica la real. Lo que cuestiono es lo que afirmabas sobre que el límite no se parece demasiado a la versión real. Lo que digo es que no hace falta para nada hablar de ángulos ni cosas parecidas a la hora de definir el límite (donde parece que estés identificando implícitamente \( \Bbb C \) con \( \Bbb R^2 \)); puedes proceder igual que en el caso real, usando los complejos con su valor absoluto.
Para llegar a ese resultado formal que usa el valor absoluto de los complejos y que siempre he dicho que sí se parece mucho formalmente a la versión real los requisitos son distintos en una variable real y una compleja, es realmente lo único que digo.
En el caso real no hay direcciones, es unidimensional, basta con la existencia de la tangente en el punto. En el complejo las hay y se debe garantizar no depender de esto para obtener un límite basado en el valor absoluto, esto obliga a tener que considerar el espacio de mapas R-lineales en \( \mathbb{C^2} \) de funciones \( \mathbb{C\rightarrow{C}} \).
El teorema de derivabilidad son simplemente las condiciones de derivabilidad compleja, es decir de existencia del límite del que hablamos, que aparecen en cualquier texto de análisis complejo y que son muy diferentes de la condición para que exista el límite en una variable real.

Resumiendo, tú pareces referirte solo a la definición formal del límite y yo de lo que hablo es de las condiciones que hacen posible esa definición formal, señalando que son muy diferentes y que implican la diferenciabilidad real. Las funciones de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{R} \) construyen el límite de sus incrementos de forma diferente a las de \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \) aunque formalmente la fórmula final solo cambie \( x \) por \( z \).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 12:25 pm
Sigue sin convencerme. Una vez asumes la existencia del valor absoluto con sus propiedades, la definición de límite es formalmente idéntica. Dices que en \( \Bbb R \) hay una única dirección y en \( \Bbb C \) hay infinitas, pero creo que eso es porque estás pensando en el fondo \( \Bbb C \) como \( \Bbb R^2 \). En realidad en cada punto de \( \Bbb C \) hay una única dirección compleja, igual que en cada punto de \( \Bbb R \) hay una única dirección real. Por ejemplo, partiendo de la definición puedes probar fácilmente que cualquier polinomio en \( z \) es derivable, todas las fórmulas típicas de las derivadas, etc, sin tener que comprobar la existencia de ningún límite usando direcciones reales.

Tampoco digo que se pueda desarrollar toda la teoría de funciones de variable compleja sin hablar de \( \Bbb R \) en ningún momento, al fin y al cabo \( \Bbb C \) se construye a partir de \( \Bbb R \) y es muy importante en la teoría las curvas en \( \Bbb C \) que no son más que aplicaciones de un intervalo real en \( \Bbb C \). Pero sí que se puede desarrollar toda la teoría sin tener que hablar de aplicaciones \( \Bbb R \)-lineales ni de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por ejemplo.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 03 Abril, 2020, 01:40 pm
Sigue sin convencerme.
Que conste que no pretendo convencer a nadie de nada, solo dar mi visión razonada sobre esto y basada en los 2 libros de texto que utilizo:Berenstein y Remmert que quizá usan una presentación algo diferente del tema de la usual y por eso llama la atención.

Citar
Una vez asumes la existencia del valor absoluto con sus propiedades, la definición de límite es formalmente idéntica.
En esto siempre he estado de acuerdo, por eso creo que o no me expreso bien o no lees del todo cuidadosamente lo que escribo.

Citar
Dices que en \( \Bbb R \) hay una única dirección y en \( \Bbb C \) hay infinitas, pero creo que eso es porque estás pensando en el fondo \( \Bbb C \) como \( \Bbb R^2 \). En realidad en cada punto de \( \Bbb C \) hay una única dirección compleja, igual que en cada punto de \( \Bbb R \) hay una única dirección real.
Yo diría que dado que el plano complejo tiene 2 estructuras vectoriales compatibles, una 2-dimensional sobre \( \mathbb{R} \) y otra unidimensional sobre \( \mathbb{C} \), ninguna de las 2 es más "real" a la hora de valorar las direcciones. Ambas deben ser posibles en el límite, la compatibilidad del límite en la aproximación de \( z_0 \) a \( z \) en dominio y codominio  con la 2-dimensional implica simplemente requisitos superiores para que exista este límite que en el caso de una variable real, por ejemplo la existencia y continuidad en el entorno del punto de derivadas parciales reales(o direccionales correspondientes si no quieres hacer la separación canónica en partes real e imaginaria) y que sus limites coincidan. Esto es realmente lo que estoy subrayando y no consigo ver lo que hay de incorrecto en señalarlo. Es un requisito para que la visión unidimensional sea factible también, nada más.


 
Citar
Por ejemplo, partiendo de la definición puedes probar fácilmente que cualquier polinomio en \( z \) es derivable, todas las fórmulas típicas de las derivadas, etc, sin tener que comprobar la existencia de ningún límite usando direcciones reales.
Pero es que yo no digo que haya que comprobar direcciones reales, es lo contrario, los requisitos de la derivabilidad compleja, muy diferentes a los de la real en una variable, y que incluyen el requisito de que haya al menos 4 derivadas direccionales con el mismo límite es decir independencia de la dirección en que \( z_0 \) aproxima \( z \) en el espacio tangente a dominio y codominio cuando se identifican con \( \mathbb{R^2} \), lo cual debe ser posible como hemos dicho, permiten que no se dependa de ninguna dirección real y tengamos la fórmula para el valor absoluto "unidimensional".



Citar
Pero sí que se puede desarrollar toda la teoría sin tener que hablar de aplicaciones \( \Bbb R \)-lineales ni de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por ejemplo.

Pues curiosamente todos los libros de análisis que desarrollan la teorìa mencionan las unas o las otras o sus equivalentes. Si me das un ejemplo de libro de análisis complejo solvente que la desarrolle sin hablar de alguna de ellas te lo agradecería.

En google books se puede leer por ejemplo la página 1 de la referencia de Carlos Berenstein que comenté arriba https://books.google.es/books?id=-RDlBwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=berenstein+complex&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjH44PElczoAhWSyYUKHWCOAS8Q6AEIJzAA#v=onepage&q=berenstein%20complex&f=false
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 03 Abril, 2020, 02:18 pm
También queda bastante claro en las páginas 24 y 25 de la referencia mas estandar de Ahlfors donde podemos leer:"The limit of the difference quotient must be the same regardless of the way in which h approaches zero." o "We remark that the existence of the four partial derivatives in (6) is implied by the existence of f'(z)." 
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 02:22 pm
Que conste que no pretendo convencer a nadie de nada, solo dar mi visión razonada sobre esto y basada en los 2 libros de texto que utilizo:Berenstein y Remmert que quizá usan una presentación algo diferente del tema de la usual y por eso llama la atención.

Ya, hombre, es una manera de hablar.

Citar
En esto siempre he estado de acuerdo, por eso creo que o no me expreso bien o no lees del todo cuidadosamente lo que escribo.

Ya lo sé, tengo tendencia a reiterar las cosas. No quería implicar que no estuvieras de acuerdo con ello. Culpa mía.

Citar
Yo diría que dado que el plano complejo tiene 2 estructuras vectoriales compatibles, una 2-dimensional sobre \( \mathbb{R} \) y otra unidimensional sobre \( \mathbb{C} \), ninguna de las 2 es más "real" a la hora de valorar las direcciones. Ambas deben ser posibles en el límite, la compatibilidad del límite en la aproximación de \( z_0 \) a \( z \) en dominio y codominio  con la 2-dimensional implica simplemente requisitos superiores para que exista este límite que en el caso de una variable real, por ejemplo la existencia y continuidad en el entorno del punto de derivadas parciales reales(o direccionales correspondientes si no quieres hacer la separación canónica en partes real e imaginaria) y que sus limites coincidan. Esto es realmente lo que estoy subrayando y no consigo ver lo que hay de incorrecto en señalarlo. Es un requisito para que la visión unidimensional sea factible también, nada más.

Todo esto que dices es verdad. No digo que hayas dicho nada incorrecto ni que la visión de "ver \( \Bbb C \) como \( \Bbb R^2 \)" no aporte nada. Al contrario, es muy interesante ver la relación entre funciones \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \) y muy útil en ciertas circunstancias.
Lo único que quería remarcar es que en tu comentario original donde respondes a Luis hablas de que la semejanza a la definición para variable real es engañosa y que para entenderla hay que hablar de direcciones (reales) y ver que el límite no depende de la dirección por donde te acerquea, etc. Lo único que digo es que no estoy de acuerdo con ello porque puedes trabajar directamente con el valor absoluto complejo, y muchas demostraciones son formalmente idénticas a las demostracionea para variable real.
Otra cosa distinta es que en muchas situaciones sea muy útil interpretar el límite usando la visión "real", pero en principio no veo que sea estrictamente imprescindible.

Citar
Pero es que yo no digo que haya que comprobar direcciones reales, es lo contrario, los requisitos de la derivabilidad compleja, muy diferentes a los de la real en una variable, y que incluyen el requisito de que haya al menos 4 derivadas direccionales con el mismo límite es decir independencia de la dirección en que \( z_0 \) aproxima \( z \) en el espacio tangente a dominio y codominio cuando se identifican con \( \mathbb{R^2} \), lo cual debe ser posible como hemos dicho, permiten que no se dependa de ninguna dirección real y tengamos la fórmula para el valor absoluto "unidimensional".
No estoy muy seguro de entenderte, pero a lo que me refiero es que puedes calcular derivadas y límites directamente a partir de la definición sin tener que referirte a ninguna condición sobre derivadas direccionales.

Por ejemplo, por poner un ejemplo sencillo, si quiero ver que la función \( f(z)=z^2 \) es holomorfa puedo proceder de la siguiente manera.
\( f'(z_0)=\displaystyle \lim_{z \to z_0} \frac{z^2 - z_0^2}{z-z_0} = \lim_{z\to z_0} (z+z_0) = 2z_0 \), donde todas las manipulaciones usuales de los límites se pueden justificar de la definición épsilon-delta de forma idéntica al caso real. Esta es una demostración de que \( f \) es holomorfa a partir de la definición de derivada compleja, donde no hay que comprobar ecuaciones de CR ni interviene la estructura real. Por supuesto, también hubieras podido demostrar que es holomorfa usando las ecs de CR, pero lo que quiero decir es que no es estrictamente necesario pasar por la estructura real.


Citar
Pues curiosamente todos los libros de análisis que desarrollan la teorìa mencionan las unas o las otras o sus equivalentes. Si me das un ejemplo de libro de análisis complejo solvente que la desarrolle sin hablar de alguna de ellas te lo agradecería.

En google books se puede leer por ejemplo la página 1 de la referencia de Carlos Berenstein que comenté arriba https://books.google.es/books?id=-RDlBwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=berenstein+complex&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjH44PElczoAhWSyYUKHWCOAS8Q6AEIJzAA#v=onepage&q=berenstein%20complex&f=false

Hombre claro, cualquier libro decente te explicará las ecuaciones de CR, la relación entre la diferenciabilidad real y la compleja, etc, porque son cosas útiles e importantes. Lo único que digo es que, en principio, si quisieras, podrías desarrollar la teoría sin mencionar esto, que creo es lo que quería decir Luis.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 03:23 pm
También queda bastante claro en las páginas 24 y 25 de la referencia mas estandar de Ahlfors donde podemos leer:"The limit of the difference quotient must be the same regardless of the way in which h approaches zero." o "We remark that the existence of the four partial derivatives in (6) is implied by the existence of f'(z)." 

Sí, claro, cuando habla de las ecuaciones CR. Pero antes ha definido la clase de funciones analíticas sin necesidad de hacer referencia a direcciones, que es lo que vengo diciendo que se puede hacer. Lo único que vengo diciendo es que si asumes que conoces \( \Bbb C \) con su valor absoluto, puedes definir límites y derivadas sin hacer referencia a nada más. No digo que sea "incorrecto" en ningún sentido ni inútil considerar la relación con la estructura real (¡más bien al contrario!). Solo que no es "trampa" ni "engañoso" considerar las derivadas con la definición que puso Luis, en el caso en que te diera igual la estructura real.
Perdona si me he repetido mucho.

La situación es análoga a lo que pasa en funciones reales de variable real. Puedes definir la noción de límite y luego puedes definir límites por la izquierda y por la derecha. Y decir que para que el límite de una función en un punto exista tienen que existir los dos límites laterales y coincidir. Y que por tanto para que exista el límite en un punto es necesario tener en cuenta los dos sentidos por los que te puedes acercar al punto.
Todo esto es verdad, pero también lo es que en principio puedes definir límites y derivadas, y desarrollar la teoría básica de funciones reales derivables sin tener que hablar de límites laterales en ningún momento.

En fin, espero haber transmitido lo que quería decir.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 03 Abril, 2020, 06:16 pm
No estoy muy seguro de entenderte, pero a lo que me refiero es que puedes calcular derivadas y límites directamente a partir de la definición sin tener que referirte a ninguna condición sobre derivadas direccionales.
Por supuesto que puedes calcular dichas derivadas sin referirte a nada, simplemente usando el algoritmo de derivación a partir de la fórmula. No sé si quieres también decir que esto es así para cualquier función holomorfa más allá de los sencillos polinomios que usas como ejemplo. Ver abajo.


Citar
Por ejemplo, por poner un ejemplo sencillo, si quiero ver que la función \( f(z)=z^2 \) es holomorfa puedo proceder de la siguiente manera.
\( f'(z_0)=\displaystyle \lim_{z \to z_0} \frac{z^2 - z_0^2}{z-z_0} = \lim_{z\to z_0} (z+z_0) = 2z_0 \), donde todas las manipulaciones usuales de los límites se pueden justificar de la definición épsilon-delta de forma idéntica al caso real. Esta es una demostración de que \( f \) es holomorfa a partir de la definición de derivada compleja, donde no hay que comprobar ecuaciones de CR ni interviene la estructura real.
De acuerdo, pero hay ejemplos en los que no es tan sencillo, yo que sé, por usar una función sobre la que he comentado en otro subforo, la derivada de la función zeta de Riemann. ¿Es igual de sencillo de obtener su derivada como con \( f(z)=z^2 \)?


Citar
Lo único que digo es que, en principio, si quisieras, podrías desarrollar la teoría sin mencionar esto, que creo es lo que quería decir Luis.
Es que no sé si al hablar de "desarrollar la teoría" estamos todos hablando de lo mismo, tú y Luis parecéis referiros solo a usar en la práctica la fórmula formal de la derivada para hacer cálculos, mientras que yo me refiero a justificar la definición de derivabilidad, a explicar las condiciones en las que el límite se hace posible, ya sea en términos heurísticos al menos o bien más rigurosos probando el teorema de derivabilidad. Y para esto desde luego hace falta mencionar lo que digo de una forma u otra.


Citar
Sí, claro, cuando habla de las ecuaciones CR. Pero antes ha definido la clase de funciones analíticas sin necesidad de hacer referencia a direcciones, que es lo que vengo diciendo que se puede hacer.
De hecho la primera frase que cito de Ahlfors donde menciona "direcciones " o distintas formas en que el incremento de h se aproxima a 0 es  antes de que mencione las CR, es la justificación que hace del límite justo a continuación de mostrar la fórmula de la derivada y mencionar que implica continuidad de la función.

Citar
Lo único que vengo diciendo es que si asumes que conoces C con su valor absoluto, puedes definir límites y derivadas sin hacer referencia a nada más. No digo que sea "incorrecto" en ningún sentido ni inútil considerar la relación con la estructura real (¡más bien al contrario!). Solo que no es "trampa" ni "engañoso" considerar las derivadas con la definición que puso Luis, en el caso en que te diera igual la estructura real.
Perdona si me he repetido mucho.
Bueno, quizás mis términos no se entendieran bien, quería decir que la fórmula llevaba un trasfondo y que no debíamos fiarnos de su apariencia tan sencilla como la de una variable real, que tenía más requisitos vamos. Nada de trampas :)



Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 07:22 pm
Por supuesto que puedes calcular dichas derivadas sin referirte a nada, simplemente usando el algoritmo de derivación a partir de la fórmula. No sé si quieres también decir que esto es así para cualquier función holomorfa más allá de los sencillos polinomios que usas como ejemplo. Ver abajo.
Quiero decir que, de manera puramente lógica, con esa definición tienes perfectamente definida la derivada compleja, sin necesidad de hacer aclaraciones extra ni hablar de parciales, etc. De nuevo, esto no quiere decir que hablar de CR y demás no sea útil ni aporte luz a la definición, solamente digo que en teoría podrías definir la derivada así y no mencionar nunca parciales ni CR.

No quiero decir que sea factible en la práctica calcular derivadas a partir de la definición. Pero esto también pasa en el caso real, calcular la derivada de algunas funciones a partir de la definición es un infierno, pero las calculas usando teoremas que se demuestran a partir de la definición (regla de Leibniz, regla de la cadena, etc). En el caso complejo puedes, partiendo exclusivamente de la definición compleja probar los mismos teoremas sobre las derivadas complejas y usarlos para calcular derivadas más complicadas, de forma análoga a lo que pasa en funciones reales.

Citar
De acuerdo, pero hay ejemplos en los que no es tan sencillo, yo que sé, por usar una función sobre la que he comentado en otro subforo, la derivada de la función zeta de Riemann. ¿Es igual de sencillo de obtener su derivada como con \( f(z)=z^2 \)?

Se aplica lo que decía antes. No afirmo que todas las derivadas se puedan calcular a partir de la definición, pero sí que puedes demostrar los teoremas básicos a partir de la definición y calcular derivadas complejas, sin tener que recurrir a la "visión real". De hecho, en el caso de la función zeta de Riemann tampoco facilita nada la visión real de las derivadas.

Citar
Es que no sé si al hablar de "desarrollar la teoría" estamos todos hablando de lo mismo, tú y Luis parecéis referiros solo a usar en la práctica la fórmula formal de la derivada para hacer cálculos, mientras que yo me refiero a justificar la definición de derivabilidad, a explicar las condiciones en las que el límite se hace posible, ya sea en términos heurísticos al menos o bien más rigurosos probando el teorema de derivabilidad. Y para esto desde luego hace falta mencionar lo que digo de una forma u otra.
Parece que aquí está el principal problema por el que no nos ponemos de acuerdo. Por desarrollar la teoría entiendo demostrar los teoremas típicos de funciones holomorfas. Por ejemplo, que holomorficidad es equivalente a ser analítica, los teoremas de rigidez típicos, etc. Si mi memoria no me falla, para ello solamente tienes que definir función holomorfa, que una vez tienes \( \Bbb C \) con su valor absoluto se puede hacer sin referencia a parciales reales y demás, y por otro lado necesitas demostrar alguna versión del teorema de Cauchy. Para esto último hay que definir integrales de línea y demostrar el teorema, que creo que se puede hacer sin recurrir en ningún momento a las ecuaciones de CR. Una vez tienes esto los teoremas básicos de funciones holomorfas ya los obtienes usando únicamente estas herramientas.
Es decir, que lógicamente es posible desarrollar la teoría básica de funciones holomorfas sin hablar de las ecuaciones de CR y tirando únicamente de la definición de derivada compleja.

Pero claro, si por "desarrollar la teoría" entiendes a explicar lo máximo posible qué significa el que una función de variable compleja sea holomorfa, pues cuantos más puntos de vista mejor, y desde luego el punto se vista de "qué se le debe pedir a una función compleja vista como función de \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \) para que sea holomorfa" es un punto de vista muy útil e interesante. Lo único que digo es que no es algo que sea estrictamente necesario para poder probar los teoremas posteriores.


Citar
] De hecho la primera frase que cito de Ahlfors donde menciona "direcciones " o distintas formas en que el incremento de h se aproxima a 0 es  antes de que mencione las CR, es la justificación que hace del límite justo a continuación de mostrar la fórmula de la derivada y mencionar que implica continuidad de la función.

Sí, tienes razón. Claro que todo eso es cierto, pero a lo que voy es a que, lógicamente hablando, podría haber omitido el comentario y no hubiera pasado nada, no habría ningún hueco insalvable en alguna demostración posterior.

[/quote]
Bueno, quizás mis términos no se entendieran bien, quería decir que la fórmula llevaba un trasfondo y que no debíamos fiarnos de su apariencia tan sencilla como la de una variable real, que tenía más requisitos vamos. Nada de trampas :)
[/quote]

Claro, es más complicado que en variable real porque los complejos son más complicados que los reales, y la fórmula tiene un trasfondo más complicado que la de variable real, pero de manera estrictamente lógica es lo mismo. Quiero decir, si la programara en un lenguaje de demostración de teoremas en un ordenador y no le hablara de derivadas reales, no se me quejaría al introducirle esa definición.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 03 Abril, 2020, 08:41 pm
Me da la sensación que la insistencia en el valor absoluto-la mera distancia al origen o al punto en el plano complejo- de tu enfoque puede hacer olvidar otra parte muy importante en las derivadas de funciones holomorfas distintas de cero, el argumento de un número complejo en el plano dominio y de la la función compleja en el plano codominio o ángulo de rotación infinitesimal. ¿Cómo programas en el ordenador la noción de conformidad si no permites introducir nada sobre diferenciabilidad multivariable, ni sobre la matriz Jacobiana real de derivadas parciales que implica la diferenciabilidad compleja? La parte análoga a la fórmula de la derivada: \( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}(\arg (f(z+h)-f(z))-\arg h=\arg w \) donde el número complejo \( w \) es la derivada de \( f(z) \). Es decir que un enfoque puramente lógico unidimensional, donde no existen ángulos como en el caso de una variable real deja fuera practicamente partes importantísimas y básicas del análisis complejo, ¿no?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 08:59 pm
Sí, claro que queda fuera, al igual que muchas otras cosas importantes (por ejemplo, la relación entre funciones holomorfas y funciones harmónicas).
Pero es que el que una aplicación sea conforme es un concepto que en su definición hace referencia ya a funciones \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \) y a nociones del plano euclídeo más que a complejos per se.
Usando la definición de derivada compleja y olvidándote de lo demás lo que puedes hacer es desarrollar los teoremas que hablan únicamente de funciones holomorfas como funciones \( \Bbb C \to \Bbb C \). No estoy diciendo que esto sea deseable ni recomendable, solamente que en principio se podría hacer.

Ahora bien, puedes programar en el ordenador diciendo que una aplicación conforme es una función \( f: \Bbb C \to \Bbb C \) con derivada compleja no nula en todas partes. Esto sí que es "trampa", pero te aseguro que he visto cosas peores.  ;D
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 03 Abril, 2020, 09:17 pm
Sí, claro que queda fuera, al igual que muchas otras cosas importantes (por ejemplo, la relación entre funciones holomorfas y funciones harmónicas).
Pero es que el que una aplicación sea conforme es un concepto que en su definición hace referencia ya a funciones \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \) y a nociones del plano euclídeo más que a complejos per se.
Usando la definición de derivada compleja y olvidándote de lo demás lo que puedes hacer es desarrollar los teoremas que hablan únicamente de funciones holomorfas como funciones \( \Bbb C \to \Bbb C \). No estoy diciendo que esto sea deseable ni recomendable, solamente que en principio se podría hacer.

Ahora bien, puedes programar en el ordenador diciendo que una aplicación conforme es una función \( f: \Bbb C \to \Bbb C \) con derivada compleja no nula en todas partes. Esto sí que es "trampa", pero te aseguro que he visto cosas peores.  ;D

Completamente de acuerdo. Por eso era yo de la opinión de que si el análisis complejo como un todo implica poder siempre identificar \( \mathbb{C} \) y \( \mathbb{R^2} \) como espacios vectoriales tangentes en la derivada no tenía sentido aislar todo aquello que corresponda al calculo multivariable \( \mathbb{R^2} \)→\( \mathbb{R^2} \) y decir que de unas cosas hay que hablar y de otras no hace falta. Pero bueno, "ministros tiene la iglesia" y yo no llego a monaguillo  :laugh: ;)
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 03 Abril, 2020, 10:05 pm
Sí, yo siempre soy partidario de dar la visión más amplia posible y las relaciones con otros campos.
Además, creo que ya lo puse hace tiempo en este hilo, pero las ecuaciones CR y la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) son absolutamente esenciales si luego quieres estudiar variedades complejas y cosas así.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 06 Abril, 2020, 01:47 pm
Sí, yo siempre soy partidario de dar la visión más amplia posible y las relaciones con otros campos.
Coincido, a menudo es más dificil y se mete uno en "jardines ajenos" pero creo que es lo más fructífero. Es una pena que en general las matemáticas del último siglo hayan ido casi exclusivamente en la dirección opuesta de extrema especialización y hacia el aislamiento y reducción de campos.

Citar
Además, creo que ya lo puse hace tiempo en este hilo, pero las ecuaciones CR y la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) son absolutamente esenciales si luego quieres estudiar variedades complejas y cosas así.
Uff, yo de momento bastante tengo con entender una única variable compleja. Aunque lo de la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) me sugiere una duda. En análisis de una sola variable con dominio en \( \mathbb{C} \), ¿nos basta con la relación entre \( \Bbb C \) y \( \Bbb R^2 \) o hace realmente falta tener en cuenta a \( \mathbb{C^2} \)? Me da la impresión que para las funciones enteras al menos sí basta con \( \mathbb{C} \), pero para las no enteras la cosa es diferente.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 06 Abril, 2020, 07:32 pm
Es una pena que en general las matemáticas del último siglo hayan ido casi exclusivamente en la dirección opuesta de extrema especialización y hacia el aislamiento y reducción de campos.

Hombre, no te creas, hay muchos matemáticos que han hecho cosas impresionantes combinando técnicas de varios campos. Si miras medallas Fields y premios Abel encontrarás unos cuantos. Otro tema es que sean cosas difíciles de encontrar en libros.

Citar
Uff, yo de momento bastante tengo con entender una única variable compleja. Aunque lo de la relación entre \( \Bbb C^n \) y \( \Bbb R^{2n} \) me sugiere una duda. En análisis de una sola variable con dominio en \( \mathbb{C} \), ¿nos basta con la relación entre \( \Bbb C \) y \( \Bbb R^2 \) o hace realmente falta tener en cuenta a \( \mathbb{C^2} \)? Me da la impresión que para las funciones enteras al menos sí basta con \( \mathbb{C} \), pero para las no enteras la cosa es diferente.

Yo diría que basta con \( \Bbb C \), al menos para las cosas usuales. Pero no sé muy bien en qué estás pensando que involucre \( \Bbb C^2 \). Si estás pensando en algún resultado concreto en análisis de una variable compleja que use \( \Bbb C^2 \) ponlo y lo miramos.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 06 Abril, 2020, 09:05 pm


Hombre, no te creas, hay muchos matemáticos que han hecho cosas impresionantes combinando técnicas de varios campos. Si miras medallas Fields y premios Abel encontrarás unos cuantos. Otro tema es que sean cosas difíciles de encontrar en libros.
Sí, seguro que hay excepciones. Pero los generalistas del estilo de Poincaré o Riemann no son "tendencia" desde hace mucho tiempo.

Citar


Yo diría que basta con \( \Bbb C \), al menos para las cosas usuales. Pero no sé muy bien en qué estás pensando que involucre \( \Bbb C^2 \). Si estás pensando en algún resultado concreto en análisis de una variable compleja que use \( \Bbb C^2 \) ponlo y lo miramos.
Estoy pensando en el cambio que supone la ausencia de singularidades finitas en \( \mathbb{C} \) respecto a su presencia, restringida a polos en el caso en que pienso.
En términos topológicos pasamos de contractibilidad en el espacio de funciones a tener que garantizar un dominio simplemente conexo, lo que se puede realizar con la compactificación mediante el punto en el infinito del codominio \( \mathbb{C} \).
Garantizar el espacio simplemente conexo en la derivada en ausencia de contractibilidad me parece que requiere de \( \mathbb{C^2} \).
Usando la visualización de esto que usa la esfera de Riemann, se concretaría en el uso de 2 parametrizaciones estereográficas con 2 coordenadas complejas en \( \mathbb{C^2} \) necesarias para cubrir la esfera como espacio simplemente conexo y para asegurar el poder mantener una orientación holomorfa con una inversión de orientación para cada parámetro.





Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 07 Abril, 2020, 11:58 am
Sí, seguro que hay excepciones. Pero los generalistas del estilo de Poincaré o Riemann no son "tendencia" desde hace mucho tiempo.

Sí, claro. Yo estaba hablando de otra cosa: gente que es especialista en un campo y obtiene resultados espectaculares en ese campo usando técnicas de otros.
La gente capaz de hacer avances importantes en campos lejanos como los que nombras hace tiempo que pasarob a la historia sí. Pero tal como yo lo veo eso es un reflejo de lo muchísimo que ha avanzado la matemática en el siglo XX. Ahora la frontera de la investigación en cualquier campo está muchísimo más lejos de lo que estaba en tiempos de Riemann o Poincaré, lo que hace que debas especializarte mucho no ya para hacer contribuciones, sino únicamente para poder entender qué se está haciendo en el campo.

Citar
Estoy pensando en el cambio que supone la ausencia de singularidades finitas en \( \mathbb{C} \) respecto a su presencia, restringida a polos en el caso en que pienso.
En términos topológicos pasamos de contractibilidad en el espacio de funciones a tener que garantizar un dominio simplemente conexo, lo que se puede realizar con la compactificación mediante el punto en el infinito del codominio \( \mathbb{C} \).
Garantizar el espacio simplemente conexo en la derivada en ausencia de contractibilidad me parece que requiere de \( \mathbb{C^2} \).
Usando la visualización de esto que usa la esfera de Riemann, se concretaría en el uso de 2 parametrizaciones estereográficas con 2 coordenadas complejas en \( \mathbb{C^2} \) necesarias para cubrir la esfera como espacio simplemente conexo y para asegurar el poder mantener una orientación holomorfa con una inversión de orientación para cada parámetro.

Pues no sé si te acabo de entender. Por lo que entiendo (corrígeme si me equivoco) parece que digas que al considerar la esfera de Riemann con sus dos cartas dadas por proyecciones estereográficas estés considerando coordenadas en \( \Bbb C^2 \) (una para cada carta).
Pero si es así, eso realmente no usa \( \Bbb C^2 \), lo que usa no dejan de ser cartas de dimensión \( 1 \), porque la esfera de Riemann es una variedad compleja de dimensión 1 (=superfície de Riemann). La cuestión es que aunque los puntos distintos de los polos tengan dos coordenadas, en realidad nunca necesitas hacer uso de las dos coordenadas a la vez, no hay ningún argumento que necesite pasar por \( \Bbb C^2 \) y que no puedas hacer solamente con \( \Bbb C \).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 07 Abril, 2020, 01:30 pm
Pues no sé si te acabo de entender. Por lo que entiendo (corrígeme si me equivoco) parece que digas que al considerar la esfera de Riemann con sus dos cartas dadas por proyecciones estereográficas estés considerando coordenadas en \( \Bbb C^2 \) (una para cada carta).
Pero si es así, eso realmente no usa \( \Bbb C^2 \), lo que usa no dejan de ser cartas de dimensión \( 1 \), porque la esfera de Riemann es una variedad compleja de dimensión 1 (=superfície de Riemann).

Sí, me has entendido bien, y comprendo esto que dices.

Citar
La cuestión es que aunque los puntos distintos de los polos tengan dos coordenadas, en realidad nunca necesitas hacer uso de las dos coordenadas a la vez, no hay ningún argumento que necesite pasar por \( \Bbb C^2 \) y que no puedas hacer solamente con \( \Bbb C \).

Es verdad, con una sutilidad añadida que es la que intento aclarar. Yo entiendo que esto es así cuando asumimos la holomorfidad fuera de los polos de la función, es decir la meromorfidad en \( \mathbb{C} \). Entonces por supuesto ya tenemos la esfera de Riemann del codominio como superficie orientada en el espacio tangente de la función \( \mathbb{C} \)\( \rightarrow{ \left \{C\cup\infty\right \}} \) que es \( \mathbb{C^2} \).

Pero supongamos en aras de mi argumento que no hemos asumido la holomorfidad aún, por ejemplo si no hemos hecho comprobaciones mediante las ecuaciones de CR o similar y que es donde tiene sentido hablar del espacio tangente \( \mathbb{C^2} \) en el diferencial real mencionado antes. En este supuesto es cuando creo que haría falta usar las 2 coordenadas de tal espacio a la vez para inducir la orientación única, al menos teoricamente y si lo que explico abajo tiene sentido.

 Por supuesto esto en la práctica no es realmente necesario en general, si se tiene una función meromorfa y se asume una convención de orientación ya no hay nada que comprobar y a partir de ahí ya no hay necesidad de usar las 2 coordenadas a la vez como dices ya que estamos en el espacio tangente \( \mathbb{C} \) de funciones \( \mathbb{C} \)-lineales ya.

 Todo simplemente se reduce a la necesidad de elegir la convención de orientación/argumento principal en la función y se obvia que para inducir esta orientación única  para los 2 planos complejos, uno para cada proyección estereográfica en la esfera de Rieman, con orientaciones inversas el uno respecto del otro y que mantengan una orientación consistente de la esfera en \( \mathbb{C^2} \)  se precisan las 2 coordenadas a la vez y sus conjugadas.

Añadí alguna aclaración por si no se entendía


Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 07 Abril, 2020, 10:10 pm
Quizás sea yo, pero es que no veo de qué otra manera se pueden distinguir el polo norte del polo sur de la esfera de Riemann en \( \mathbb{C^2} \) de forma consistente para ceros y polos de una función meromorfa que estipulando una convención de sentido positivo entre las 2 coordenadas, no se puede con una sola, no?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Abril, 2020, 11:55 am
La cuestión es que aunque los puntos distintos de los polos tengan dos coordenadas, en realidad nunca necesitas hacer uso de las dos coordenadas a la vez, no hay ningún argumento que necesite pasar por \( \Bbb C^2 \) y que no puedas hacer solamente con \( \Bbb C \).
A ver si esta vez consigo expresar mejor a lo que me refiero:Los puntos del dominio que van a puntos de la esfera con 2 coordenadas claramente no necesitan hacer uso de las 2 coordenadas a la vez, las 2 coordenadas replican la orientación natural del dominio \( \Bbb C \) de forma consistente para todos ellos. Los que lo necesitan para la diferenciabilidad real de la función son los argumentos aislados que van a los polos de la esfera y solo cuentan con una coordenada en ella, y la estructura de \( \Bbb C^2 \) del espacio de la diferencial real les da tal orientación única consistente para todos los argumentos que vayan a polos de la esfera, es decir los ceros y polos de la función.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Abril, 2020, 12:22 pm
No estoy seguro de entender del todo lo que quieres decir, pero en cualquier caso, la esfera de Riemann, al igual que cualquier superfície de Riemann (o más en general, cualquier variedad compleja) tiene una orientación canónica.

La cuestión es que el dominio de cada carta, que es (un abierto de) \( \Bbb C \), admite la orientación canónica dada por la forma \( dx \wedge dy = \frac{i}{2} dz \wedge d\bar{z} \).
Ahora, lo único que hay que ver es que estas orientaciones son compatibles (es decir, que el jacobiano del cambio de cartas es positivo). Pero esto es una consecuencia del hecho de que el cambio de cartas es holomorfo. En efecto, si \( f \) es la función que da el cambio de cartas, la matriz jacobiana en la base (real) \( (z,\bar{z}) \) de \( \Bbb C \cong \Bbb R^2 \) es:
\(
\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z} & \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \end{bmatrix}
 \)
Por las ecuaciones CR los elementos fuera de la diagonal son cero, y tenemos que el determinante de la matriz es \( \left|\frac{\partial f}{\partial z}\right| > 0 \).

Pero no sé si estoy entendiendo bien lo que quieres decir, porque parece que involucras una función con codominio la esfera de Riemann (cuando la orientación de la esfera de Riemann no depende de ninguna función). Tampoco entiendo dónde aparece \( \Bbb C^2 \), cuando hablas de "la estructura de \( \Bbb C^2 \) del espacio de la diferencial real", si en principio la diferencial (real) de una aplicación \( f: \Bbb C \to \Bbb CP^1 \) en un punto es una aplicación de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Abril, 2020, 12:42 pm
Tampoco entiendo dónde aparece \( \Bbb C^2 \), cuando hablas de "la estructura de \( \Bbb C^2 \) del espacio de la diferencial real", si en principio la diferencial (real) de una aplicación \( f: \Bbb C \to \Bbb CP^1 \) en un punto es una aplicación de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \).
Déjame primero aclarar esto último. Pensé que estábamos de acuerdo en que el espacio de tales aplicaciónes lineales y de las matrices jacobianas como la que escribes arriba era \( \Bbb C^2\cong\mathbb{R^4} \), y también el espacio de la gráfica de \( f: \Bbb C \to \Bbb CP^1 \), no?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Abril, 2020, 12:58 pm
Pues depende de a qué te refieras con el espacio de las aplicaciones. Es decir, la diferencial real en un punto de una aplicación \( f:\Bbb C \to \Bbb C \) es una aplicación lineal de la forma \( df_p:\Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \). El espacio de las aplicaciones lineales de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \)  (o lo que es lo mismo si fijas bases, las matrices reales \( 2 \times 2 \)) es isomorfo a \( \Bbb R^4 \) como espacio vectorial, eso sí. Si además la función es holomorfa, entonces puedes ver la diferencial en un punto como una aplicación \( \Bbb C \)-lineal y entonces puedes identificar el espacio de esas aplicaciones con \( \Bbb C^2 \) (como \( \Bbb C \)-espacios vectoriales).

La gráfica de una aplicación \( f: \Bbb C \to \Bbb CP^1 \) (supongo que por gráfica te refieres a los pares de puntos \( (z,f(z)) \)) vive en \( \Bbb C \times \Bbb CP^1 \), que se puede cubrir por abiertos de la forma \( \Bbb C^2 \), pero en principio ella misma no vive en \( \Bbb C^2 \).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Abril, 2020, 01:04 pm
Pues depende de a qué te refieras con el espacio de las aplicaciones. Es decir, la diferencial real en un punto de una aplicación \( f:\Bbb C \to \Bbb C \) es una aplicación lineal de la forma \( df_p:\Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \). El espacio de las aplicaciones lineales de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \)  (o lo que es lo mismo si fijas bases, las matrices reales \( 2 \times 2 \)) es isomorfo a \( \Bbb R^4 \) como espacio vectorial, eso sí. Si además la función es holomorfa, entonces puedes ver la diferencial en un punto como una aplicación \( \Bbb C \)-lineal y entonces puedes identificar el espacio de esas aplicaciones con \( \Bbb C^2 \) (como \( \Bbb C \)-espacios vectoriales).

La gráfica de una aplicación \( f: \Bbb C \to \Bbb CP^1 \) (supongo que por gráfica te refieres a los pares de puntos \( (z,f(z)) \)) vive en \( \Bbb C \times \Bbb CP^1 \), que se puede cubrir por abiertos de la forma \( \Bbb C^2 \), pero en principio ella misma no vive en \( \Bbb C^2 \).
Ok, me vale. Gracias.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Abril, 2020, 02:03 pm
Creo que ya te entiendo por fin y las objeciones y lios de mis anteriores mensajes eran fruto de los estragos que causa en mí el confinamiento :D :P

Muchas gracias por la valiosa ayuda geómetracat.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Abril, 2020, 02:06 pm
Perfecto pues. De nada, y si te surgen más dudas ya sabes.  ;)
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 09 Abril, 2020, 08:26 pm
La gráfica de una aplicación \( f: \Bbb C \to \Bbb CP^1 \) (supongo que por gráfica te refieres a los pares de puntos \( (z,f(z)) \)) vive en \( \Bbb C \times \Bbb CP^1 \), que se puede cubrir por abiertos de la forma \( \Bbb C^2 \), pero en principio ella misma no vive en \( \Bbb C^2 \).
¿Es la topología standard \( \mathbb{R^4} \) la topología local(la global supongo que es \( \mathbb{R^2}\times\mathbb{S^2} \)) de \( \Bbb C \times \Bbb CP^1 \)? Bueno claro, si sus entornos recubridores son abiertos \( \mathbb{C^2} \), entonces su topología es \( \mathbb{R^4} \).

Entonces creo que lo que quería decir con el paso por \( \mathbb{C^2} \) era simplemente que para que la aplicación sea conforme/holomorfa debe preservar la geometría euclídea orientada del plano complejo en tal topología de abiertos, y para eso es necesario respetar la norma de \( \mathbb{C^2} \) para el par ordenado \( (z,f(z)) \), que es lo que la diferenciabilidad compleja en una región asegura. ¿Es esto más correcto, o al menos se entiende mejor?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 09 Abril, 2020, 10:39 pm
¿Es la topología standard \( \mathbb{R^4} \) la topología local(la global supongo que es \( \mathbb{R^2}\times\mathbb{S^2} \)) de \( \Bbb C \times \Bbb CP^1 \)? Bueno claro, si sus entornos recubridores son abiertos \( \mathbb{C^2} \), entonces su topología es \( \mathbb{R^4} \).

En efecto. De hecho, como es una variedad real de dimensión cuatro, debe ser localmente homeomorfa a \( \Bbb R^4 \).

Citar
Entonces creo que lo que quería decir con el paso por \( \mathbb{C^2} \) era simplemente que para que la aplicación sea conforme/holomorfa debe preservar la geometría euclídea orientada del plano complejo en tal topología de abiertos, y para eso es necesario respetar la norma de \( \mathbb{C^2} \) para el par ordenado \( (z,f(z)) \), que es lo que la diferenciabilidad compleja en una región asegura. ¿Es esto más correcto, o al menos se entiende mejor?

Pues tal como yo lo pienso al menos, no acabo de ver qué aporta pensar en términos de los grafos de las aplicaciones. La aplicación debe preservar orientación, pero eso es algo más propio de la aplicación y de las orientaciones de dominio y codominio que del grafo de la función.
Por otro lado, tampoco sé qué quieres decir exactamente con "es necesario respetar la norma de \( \mathbb{C^2} \) para el par ordenado \( (z,f(z)) \)".
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Abril, 2020, 12:01 am


Pues tal como yo lo pienso al menos, no acabo de ver qué aporta pensar en términos de los grafos de las aplicaciones. La aplicación debe preservar orientación, pero eso es algo más propio de la aplicación y de las orientaciones de dominio y codominio que del grafo de la función.
Por otro lado, tampoco sé qué quieres decir exactamente con "es necesario respetar la norma de \( \mathbb{C^2} \) para el par ordenado \( (z,f(z)) \)".

Posiblemente no aporta nada mas allá de otra forma de pensar la propiedad conforme de las funciones holomorfas.
Lo del producto interno complejo  de  \( (z,f(z)) \) lo veo como otra forma de ver como se  preserva la geometría euclídea del plano complejo, es decir las transformaciones euclídeas actuando en puntos de  \( \mathbb{C} \) con la misma orientación o sea la distancia y ángulo orientado euclídeos en el contexto de las 4 dimensiones topológicas del grafo de la aplicación, de forma compatible con el cuerpo complejo, de ahí que no baste la norma usual de \( \mathbb{R^4} \).
Es una forma rara de verlo, admitido, ¿pero contradice a las usuales ?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 10 Abril, 2020, 12:28 am
No digo que esté mal, de hecho probablemente esté bien, pero yo ahora mismo no veo la condición que impones. ¿Qué condición impones exactamente sobre el grafo de la función, en términos precisos?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Abril, 2020, 12:50 am
No digo que esté mal, de hecho probablemente esté bien, pero yo ahora mismo no veo la condición que impones. ¿Qué condición impones exactamente sobre el grafo de la función, en términos precisos?
Bueno, es una condición que se cumple automáticamente para los argumentos  de las funciones holomorfas así que es algo banal pero sería que para cualquier complejo y su imágen como par ordenado de coordenadas complejas formaríamos el mismo producto interior complejo, con la misma orientación canónica.
Cuando digo que admitirá la misma norma me refiero solo a la misma orientación, no a la misma longitud para diferentes vectores complejos claro
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Abril, 2020, 11:35 am
En realidad no es tra cosa que la condición para la identificación de  \( \Bbb R^4 \) con \( \Bbb C^2 \) que explicaste para la diferencial si la función es holomorfa:
la diferencial real en un punto de una aplicación \( f:\Bbb C \to \Bbb C \) es una aplicación lineal de la forma \( df_p:\Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \). El espacio de las aplicaciones lineales de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^2 \)  (o lo que es lo mismo si fijas bases, las matrices reales \( 2 \times 2 \)) es isomorfo a \( \Bbb R^4 \) como espacio vectorial, eso sí. Si además la función es holomorfa, entonces puedes ver la diferencial en un punto como una aplicación \( \Bbb C \)-lineal y entonces puedes identificar el espacio de esas aplicaciones con \( \Bbb C^2 \) (como \( \Bbb C \)-espacios vectoriales).
, pero aplicada directamente a los abiertos del grafo de la función y haciendo hincapié en que entonces admitirán la norma de espacios vectoriales complejos. La diferencia con la identificación entre \( \Bbb C \) y \( \Bbb R^2 \) es que en esta última los 2 espacios tienen la misma norma euclídea.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 10 Abril, 2020, 01:26 pm
Vale, a ver si consigo darle un sentido preciso a lo que dices.

Creo que lo que debes pedir es que el grafo de \( f:\Bbb C \to \Bbb CP^1 \) sea una subvariedad compleja de \( \Bbb C \times \Bbb CP^1 \). Es decir, el grafo de una función siempre es una subvariedad (en el sentido real). Que sea subvariedad compleja quiere decir que si tomas un vector del espacio tangente de la subvariedad y lo multiplicas por \( i \) te da otro vector del espacio tangente.

Con un poco más de cuidado: puedes identificar el espacio tangente del grafo de \( f \) en el punto \( (z,f(z)) \) con el conjunto de vectores de la forma \( (v,df_z(v)) \) de \( T_{(z,f(z))}\Bbb C \times \Bbb CP^1 \). Entonces, pedir que la subvariedad sea compleja es pedir que \( (iv,idf_z(v)) = (iv,df_z(iv)) \). Es decir, es pedir que la diferencial de \( f \) sea \( \Bbb C \)-lineal en cada punto, o lo que es lo mismo, que \( f \) sea holomorfa.

Pero para que esto funcione necesitas hablar de información en los espacios tangentes, no basta con imponer condiciones en el grafo como conjunto sin más.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Abril, 2020, 02:01 pm
¿No se puede poner como condición en los abiertos con topología \( \mathbb{R^4} \) del grafo? En el sentido de que si no admiten la norma de \( \mathbb{C^2} \) la función no es holomorfa en la región que cubre el grafo. No sería real-diferenciable tampoco y no habría espacios tangentes.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Abril, 2020, 02:30 pm
Sería matar moscas a cañonazos, igual un poco absurdo.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 10 Abril, 2020, 02:31 pm
No lo veo. Por un lado, los abiertos \( \Bbb R^4 \) son del espacio ambiente donde vive el grafo, no del grafo propiamente dicho. Por otro lado, a todo abierto de \( \Bbb R^4 \) se le puede poner la norma de \( \Bbb C^2 \). Falta alguna condición de compatibilidad del grafo con la estructura de abiertos \( \Bbb C^2 \) del espacio ambiente, pero no consigo ver en qué estás pensando.
Mira a ver si puedes precisarlo y enunciarlo de manera matemáticamente precisa, como si fuera el enunciado de un teorema.

PD: Sí, seguro que es matar moscas a cañonazos, pero no quita que pueda ser interesante.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Abril, 2020, 06:46 pm
No lo veo. Por un lado, los abiertos \( \Bbb R^4 \) son del espacio ambiente donde vive el grafo, no del grafo propiamente dicho.
Si, gracias, disculpa que fuera impreciso, me refería al espacio ambiente. Pero creo que con la ayuda de tus precisiones lo único que podemos decir es que el espacio de todo grafo de función compleja con dominio en \( \mathbb{C} \) va a tener abiertos \( \mathbb{R^4} \) en su espacio ambiente, así que no sirve como condición de holomorfidad.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 10 Abril, 2020, 06:52 pm
Sí, la verdad es que después de pensarlo un rato no creo que se pueda conseguir nada que vaya en esa línea, diría que hay que imponer condiciones sobre el espacio tangente al grafo, suponiendo de entrada que la función es diferenciable en sentido real (lo que decía antes, pedir que la multiplicación por \( i \) del espacio ambiente deje los espacios tangentes al grafo invariantes). Pero puedo estar equivocado, claro.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 10 Abril, 2020, 07:13 pm
Ya me extrañaría que te equivocaras. Ahora entiendo porqué no funciona, pero sin tu guía transformando mis "palos de ciego" en argumentos matemáticos seguiría atascado. Espero ir aprendiendo para poder hacer yo solo la traducción poco a poco.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 17 Abril, 2020, 09:10 pm
En efecto, si \( f \) es la función que da el cambio de cartas, la matriz jacobiana en la base (real) \( (z,\bar{z}) \) de \( \Bbb C \cong \Bbb R^2 \) es:
\(
\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z} & \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \end{bmatrix}
 \)
Por las ecuaciones CR los elementos fuera de la diagonal son cero, y tenemos que el determinante de la matriz es \( \left|\frac{\partial f}{\partial z}\right| > 0 \).


Tengo una duda sobre esto, los componentes de la matriz jacobiana que usas son los llamados operadores de Wirtinger (o a veces también de Cauchy-Riemann). Estos asumen la diferenciabilidad real y usan las derivadas parciales de las funciones reales \( u \) y \( v \)  para su obtención,  al menos en la definición que yo he visto.
¿Hay alguna forma de obtener  \(  (z,\bar{z}) \) como variables independientes en \( \mathbb{C} \) de funciones complejas que no implique diferenciabilidad en sentido real?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 17 Abril, 2020, 09:52 pm
Sí, son los operadores de Wirtinger, y tienes razón en que se definen a partir de las parciales usuales y se asume diferenciabilidad real.

Si tienes una función \( f:\Bbb C \to \Bbb C \), sin ninguna hipótesis, siempre la puedes expresar en términos de \( z, \overline{z} \), porque éstos forman una base real de \( \Bbb C \) (si la tienes en función de \( x,y \) sustituyes \( x= \frac{z + \overline{z}}{2}, y= \frac{z - \overline{z}}{2} \). Esto lo puedes hacer independientemente de asuntos de diferenciabilidad.

No sé si hay una manera de definir las derivadas de Wirtinger sin pasar por las parciales reales, no me suena haberlo visto. Pero también es verdad que para mí, que soy más de geometría, las funciones son \( C^\infty \) por defecto.  ;D
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 23 Mayo, 2020, 04:59 pm

La cuestión es que el dominio de cada carta, que es (un abierto de) \( \Bbb C \), admite la orientación canónica dada por la forma \( dx \wedge dy = \frac{i}{2} dz \wedge d\bar{z} \).
Volviendo a esta parte anterior a diferenciales o espacios tangentes, en la 2-forma \( dx \wedge dy  \) ¿cómo se genera su producto \( \wedge \) en el espacio del grafo?

Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 23 Mayo, 2020, 05:26 pm
No estoy seguro de entender la pregunta. Ahí estaba hablando de cartas en \( \Bbb C \), donde no hay problema.
El grafo de una aplicación variedades \( f: M \to N \) es una subvariedad de \( M \times N \) y tiene sentido definir el producto wedge de dos formas diferenciales, al igual que en cualquier variedad.

Pero no sé si esto responde a tu pregunta o en qué estás pensando exactamente.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 23 Mayo, 2020, 07:55 pm
No estoy seguro de entender la pregunta. Ahí estaba hablando de cartas en \( \Bbb C \), donde no hay problema.
El grafo de una aplicación variedades \( f: M \to N \) es una subvariedad de \( M \times N \) y tiene sentido definir el producto wedge de dos formas diferenciales, al igual que en cualquier variedad.

Pero no sé si esto responde a tu pregunta o en qué estás pensando exactamente.
Si, a ver si me explico. Creo que te sigo en que tiene sentido definir el producto wedge en un espacio \( M \times N \) que en este caso era la variedad \( \mathbb{C} \times \mathbb{CP¹} \) de 4 dimensiones y supongo que es porque disponemos localmente de vectores(o formas diferenciales) de \( \mathbb{R⁴} \), y por tanto siempre podemos construir su producto wedge a partir de su producto exterior natural en la variedad. Igualmente para el grafo o subvariedad  de 2 dimensiones pero esto ya viene dado de entrada por el dominio en \( \mathbb{C} \) y la holomorfidad para valores en la esfera de Riemann. Me interesa más el espacio en que vive la función.

Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 23 Mayo, 2020, 10:40 pm
Sí, eso es. Otra posibilidad es la siguiente: puedes ver cualquier forma diferencial en \( M \) como una forma diferencial en el grafo \( \Gamma_f \) tomando el pullback por la proyección \( \pi: \Gamma_f \to M \).

No me queda muy claro si era algo así lo que preguntabas o si tienes alguna pregunta más concreta.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 24 Mayo, 2020, 12:43 pm
Sí. Te agradezco un montón tus respuestas. Para no ser tan críptico en lo que estoy pensando, estos días anteriores en que no se podía conectar al foro estuve dando vueltas sobre tu respuesta 49, a raíz de tu explicación del uso de el producto wedge formando un bivector (tu te refieres a una 2-forma pero creo que es intercambiable aquí ya que estoy considerando que tenemos la forma cuadrática Q euclidiana, es decir que el producto wedge es de una álgebra de Clifford, pero corrígeme si no es el caso) orientado en la carta, que adquiere la compatibilidad de orientación con otras mediante las condiciones CR de holomorfidad de la función en 4 dimensiones reales precisamente.

A partir de aquí he sabido que el álgebra del cuerpo complejo se puede expresar de muchas formas isomórficas pero una de ellas es como el subágebra par \( Cl⁺(2,0) \) de 2 dimensiones con base (1,e12) (con \( e12=e1\wedge e2 \)) de escalares y bivectores,  del álgebra de Clifford 4 dimensional sobre los reales \( Cl(2,0) \) con base (1,e1,e2.e12). El elemento i sería isomorfo a e12. esto debe ser isomorfo al álgebra de Cifford sobre complejos \( Cl_0 \). También con el álgebra sobre reales \( Cl(0,1) \).

De esta manera desde el punto de vista algebraico y geométrico de funciones holomorfas es importante garantizar la generación de 2-formas o bivectores a partir del producto wedge cliffordiano de vectores del espacio correspondiente, para el grafo de las funciones holomorfas este espacio es \( \mathbb{R⁴}\equiv{C²} \) lo que garantiza la compatibilidad con el cuerpo complejo \( \mathbb{C} \).

Cualquier corrección sobre estos argumentos será  apreciada.

Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 24 Mayo, 2020, 05:28 pm
Cada vez lo vas complicando más, ahora álgebras de Clifford.  ;D

Lo que dices creo que está todo bien (salvo que diría que es el álgebra \( Cl(1,0) \) la que es isomorfa a los complejos y no la \( Cl(0,1) \)).
Normalmente se usa el álgebra exterior en lugar del álgebra de Clifford porque así no hay que escoger una forma cuadrática, pero puedes pensar igual las formas de volumen (área en este caso) como elementos del álgebra de Clifford.

Lo que no veo muy claro es que esto aporte gran cosa. Quiero decir, es verdad que puedes ver \( \Bbb C \) como la subálgebra generada en cada punto por \( (1,e_{12}) \), pero no veo cómo ligar este hecho con la holomorficidad o con el grafo.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 24 Mayo, 2020, 06:29 pm
Lo que dices creo que está todo bien (salvo que diría que es el álgebra \( Cl(1,0) \) la que es isomorfa a los complejos y no la \( Cl(0,1) \)).
Uso la convención habitual para álgebras de Clifford sobre reales \( Cl(p,q) \) del cuadrado negativo de vectores q en la segunda posición del paréntesis y signatura definida positiva euclídea para vectores p en la primera posición.

Citar
Lo que no veo muy claro es que esto aporte gran cosa. Quiero decir, es verdad que puedes ver \( \Bbb C \) como la subálgebra generada en cada punto por \( (1,e_{12}) \), pero no veo cómo ligar este hecho con la holomorficidad o con el grafo.
Aportar no creo que aporte mucho, es simplemente algo que se ha de garantizar de acuerdo con los isomorfismos mencionados: el producto wedge en 4 dimensiones compatible con la estructura de cuerpo complejo y la posterior condición en los abiertos que dan las ecuaciones de CR como tu explicabas para que haya compatibilidad entre la orientación de las 2-formas; y como verás  no se porqué exactamente me he empeñado desde casi el principio del hilo en meter tanto el grafo como su espacio(quizás porque como no se puede visualizar me intriga más).
Aparte de que relacionar conceptos algebraicos y geométrico-analíticos parece ser mi única forma de entender matemáticas asi que a mí sí me aporta ;).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 24 Mayo, 2020, 07:34 pm
Uso la convención habitual para álgebras de Clifford sobre reales \( Cl(p,q) \) del cuadrado negativo de vectores q en la segunda posición del paréntesis y signatura definida positiva euclídea para vectores p en la primera posición.

Yo también. Creo que lo que pasa es que yo uso la definición de producto de Clifford como \( v \cdot v = -q(v)1 \) y tú lo usas sin el signo menos. Si es así, estamos de acuerdo en todo.


Citar
Aportar no creo que aporte mucho, es simplemente algo que se ha de garantizar de acuerdo con los isomorfismos mencionados: el producto wedge en 4 dimensiones compatible con la estructura de cuerpo complejo y la posterior condición en los abiertos que dan las ecuaciones de CR como tu explicabas para que haya compatibilidad entre la orientación de las 2-formas; y como verás  no se porqué exactamente me he empeñado desde casi el principio del hilo en meter tanto el grafo como su espacio(quizás porque como no se puede visualizar me intriga más).

Lo que me pregunto si aporta o no es el hecho de identificar una subálgebra del álgebra de Clifford del tangente en un punto con \( \Bbb C \). Que puedes identificar la forma de área con el bivector \( e_{12} \) y trabajar con el álgebra de Clifford en vez de formas diferenciales si quieres, de acuerdo, no hay problema. Pero lo que no sé es si el hecho de que la subálgebra \( (1,e_{12}) \) sea isomorfa a \( \Bbb C \) tiene alguna relevancia o es más bien una casualidad. No lo he pensado demasiado, pero a mí me parece más bien lo segundo. No veo dónde podría entrar aquí ese hecho. Aunque quizás si que haya algo más profundo, no sé.

Citar
Aparte de que relacionar conceptos algebraicos y geométrico-analíticos parece ser mi única forma de entender matemáticas asi que a mí sí me aporta ;).

No, si eso está muy bien.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 24 Mayo, 2020, 08:18 pm


Yo también. Creo que lo que pasa es que yo uso la definición de producto de Clifford como \( v \cdot v = -q(v)1 \) y tú lo usas sin el signo menos. Si es así, estamos de acuerdo en todo.

Exacto, uso \( v \cdot v =Q(v)1 \)

Citar

Lo que me pregunto si aporta o no es el hecho de identificar una subálgebra del álgebra de Clifford del tangente en un punto con \( \Bbb C \).

Bueno, pero más que el espacio tangente en un punto, yo quería relacionarlo también con la "superficie de Riemann" que forma el grafo o función holomorfa, sus abiertos con cartas de transición holomorfas deben ser compatibles tanto con el producto wedge de los vectores en el espacio en que se encuentran como con la estructura de los complejos, ¿no?

Creo que todos esos isomorfismos pueden servir para ver que "todo encaja". En este sentido supongo que no es casual cuando en la relación entre dominio y codominio se ha de preservar la conformidad el usar estructuras algebraicas basados en álgebras alternantes que preservan orientaciones y a la vez tienen isomorfismos con el álgebra compleja.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 25 Mayo, 2020, 01:15 pm
Mi anterior mensaje posiblemente sea confuso, mejor especifico un poco más. El álgebra de Clifford (usando mi convención de signo) \( Cl(0,2) \) es la que creo que va a ser necesaria en este caso concreto de grafo, ademas del subálgebra par isomórfico al álgebra de complejos.

Esta es el álgebra 4 dimensional de cuaternios, y mi argumento (sacada la parte geométrica de "Visual complex analysis" de Needham, pgs. 30-44, si es que entendí algo) es que tenemos una función en \( \mathbb{C} \) que quiero que sea holomorfa para valores en la esfera de Riemann. Esto implica preservar similaridades directas(que es lo que hace la geometría compleja) no solo en el plano complejo de 2 dimensiones reales sino en una dimensión más, sobretodo porque las parametrizaciones estereográficas usadas para cubrir toda la esfera requieren 3 coordenadas cartesianas, y la única álgebra que consigue esto es la 4-dimensional de cuaternios, por eso aludo a los vectores 4-dimensionales, que obviamente no son usados en el subálgebra de escalares y bivectores de los complejos cuando no hay este grafo concreto.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 25 Mayo, 2020, 05:38 pm
Mi anterior mensaje posiblemente sea confuso, mejor especifico un poco más. El álgebra de Clifford (usando mi convención de signo) \( Cl(0,2) \) es la que creo que va a ser necesaria en este caso concreto de grafo, ademas del subálgebra par isomórfico al álgebra de complejos.

Esta es el álgebra 4 dimensional de cuaternios, y mi argumento (sacada la parte geométrica de "Visual complex analysis" de Needham, pgs. 30-44, si es que entendí algo) es que tenemos una función en \( \mathbb{C} \) que quiero que sea holomorfa para valores en la esfera de Riemann. Esto implica preservar similaridades directas(que es lo que hace la geometría compleja) no solo en el plano complejo de 2 dimensiones reales sino en una dimensión más, sobretodo porque las parametrizaciones estereográficas usadas para cubrir toda la esfera requieren 3 coordenadas cartesianas, y la única álgebra que consigue esto es la 4-dimensional de cuaternios, por eso aludo a los vectores 4-dimensionales, que obviamente no son usados en el subálgebra de escalares y bivectores de los complejos cuando no hay este grafo concreto.

Sinceramente, no entiendo nada. De hecho ahora ya estoy tan perdido que ni sé qué pretendes hacer con los cuaterniones o las álgebras de Clifford.
No sé a qué te refieres con "preservar similaridades directas no solo en el plano complejo de 2 dimensiones reales sino en una dimensión más" (¿tres dimensiones reales? ¿cuáles, de dónde salen?).

Tampoco entiendo lo de las parametrizaciones estereográficas de la esfera, si por esfera te refieres a \( S^2 \) solamente necesitas dos coordenadas reales, no tres.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 25 Mayo, 2020, 06:28 pm
 Tienes razón, le daré unas vueltas a ver si encuentro una forma más precisa de expresar la idea.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 26 Mayo, 2020, 09:18 pm
Vale me colé. No he dicho nada :banghead:
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 31 Mayo, 2020, 02:31 pm
Creo que las álgebras de Clifford pueden  liarme así que me ceñiré al álgebra exterior de las formas diferenciables. De acuerdo a lo que comentas en #49 la holomorfidad(que incluye compatibilidad de orientación entre cartas) en la matriz de cambio de cartas compuesta por 4 funciones \( \mathbb{R} \)-lineales que pertenecen al 4-espacio real o 2-espacio complejo de aplicaciones, ¿como  está relacionado exactamente con que el dominio \( \mathbb{C} \) de las cartas admita una estructura de 2-forma para los elementos lineales de su base real ? (ya sea a partir de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales \( dx \) y \( dy \) o \( dz \) y \( d\bar{z} \) según la relación que das en #49)
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 31 Mayo, 2020, 05:45 pm
Pues no está relacionado de ninguna manera. Las cartas siempre admiten formas diferenciales. Lo único que necesitas para ello es una estructura de variedad diferenciable (para que tenga sentido hablar de espacio tangente).
Lo mismo pasa con las álgebras de Clifford en los tangentes, están definidas para cualquier variedad diferenciable.

Lo que mostraba en ese mensaje es que todo atlas holomorfo (cartas con cambio de coordenadas holomorfos) es también un atlas orientado (cambios de coordenadas con determinante jacobiano positivo).
Pero no toda variedad orientada es compleja, al igual que toda función holomorfa preserva orientación, pero no toda aplicación que preserva orientación es holomorfa.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 31 Mayo, 2020, 06:28 pm
Pues no está relacionado de ninguna manera. Las cartas siempre admiten formas diferenciales. Lo único que necesitas para ello es una estructura de variedad diferenciable (para que tenga sentido hablar de espacio tangente).
Lo mismo pasa con las álgebras de Clifford en los tangentes, están definidas para cualquier variedad diferenciable.

Lo que mostraba en ese mensaje es que todo atlas holomorfo (cartas con cambio de coordenadas holomorfos) es también un atlas orientado (cambios de coordenadas con determinante jacobiano positivo).
Pero no toda variedad orientada es compleja, al igual que toda función holomorfa preserva orientación, pero no toda aplicación que preserva orientación es holomorfa.
Si me estoy refiriendo a eso precisamente. Tú me has recalcado varias veces la orientación canónica tanto en dominio como en codominio del grafo, pues las formas diferenciables y su producto wedge sirven para asegurar esto, ¿no?
Las ecuaciones de  CR se cumplen si la matriz jacobiana asegura esta orientación canónica entre cartas.

Ya sé que la holomorfidad es una condición más fuerte que la orientación canónica, pero esta última es necesaria para la primera. Es decir si no se cumpliera  no habría holomorfidad. Esta es la relación a la que me refiero.  Me sugieres que esto es algo trivial ya que todas las variedades diferenciables disponen de estas formas pero yo creo que no es tan trivial al considerar la compatibilidad entre la estructura vectorial real y compleja y de hecho en la referencia que mencioné hace tiempo de Berenstein se refieren en un par de páginas a definir el producto wedge de elementos del espacio de mapas \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) en \( \mathbb{C} \).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 31 Mayo, 2020, 09:37 pm
Tampoco digo que sea algo trivial. Ciertamente es una condición necesaria, pero no suficiente.
De todas formas la estructura compleja es más que la existencia de formas de áreas, en el sentido de que puedes tener varias estructuras complejas no equivalentes con la misma forma de área.

Echaré un vistazo a lo que dices del Berenstein.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 31 Mayo, 2020, 10:10 pm
Tampoco digo que sea algo trivial. Ciertamente es una condición necesaria, pero no suficiente.
De todas formas la estructura compleja es más que la existencia de formas de áreas, en el sentido de que puedes tener varias estructuras complejas no equivalentes con la misma forma de área.
Sí, esto lo entiendo. Y en cuanto se tiene la diferenciabilidad ya realmente la condición se trivializa y no hay  relación, y normalmente la diferenciabilidad se da por supuesta así que entiendo a qúe te referías con "no está relacionado de ninguna manera", ya que es mas bien negativa la relación, sólo en el extraño caso en que se trabaje en circunstancias en que se pierda la diferenciabilidad.

Citar

Echaré un vistazo a lo que dices del Berenstein.
Gracias, es en las primeras 4 páginas del libro.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Junio, 2020, 12:00 pm
La cuestión es que el dominio de cada carta, que es (un abierto de) \( \Bbb C \), admite la orientación canónica dada por la forma \( dx \wedge dy = \frac{i}{2} dz \wedge d\bar{z} \).
Ahora, lo único que hay que ver es que estas orientaciones son compatibles (es decir, que el jacobiano del cambio de cartas es positivo). Pero esto es una consecuencia del hecho de que el cambio de cartas es holomorfo.

Si has podido echar un vistazo a lo que hablamos lo que quiero entender mejor es cual es la forma de máximo grado del espacio de las formas \( dx  \) y esto dependerá de a qué espacio o subespacio vectorial nos estemos refiriendo, ya que en la página 3 define el producto exterior que da lugar a las 2-formas de tu post  a partir de elementos del espacio de 4 dimensiones de todas las aplicaciones lineales \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \), yo supongo que  la n-forma máxima sobre los reales en ese espacio sería una 4-forma \( dx \wedge dy \wedge du \wedge dv \) y entonces el cambio de cartas con orientación compatible se puede ver como equivalente a que la 2-forma o determinante de la submatriz jacobiana de cambio de cartas( que admiten la equivalencia que das en la primera linea de tu post que cito) sea el segundo menor de la matriz de 4-formas y 4-vectores en el espacio de todas las aplicaciones lineales \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \) . ¿Es esta una forma de verlo válida?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Junio, 2020, 03:14 pm
Perdona, se me olvidó. Le he echado un vistazo ahora. Lo que hace ahí es considerar los espacios complejificados. Es decir, en vez de ver el tangente a una superfície \( \Sigma \) como un espacio vectorial de dimensión real 2, consideras en cada punto \( p \) el tangente complejificado \( T_p\Sigma \otimes \Bbb C \) y el cotangente complejificado \( T_p^*\Sigma \otimes \Bbb C \). Esto es lo mismo que considerar combinaciones lineales de elementos de \( T^*_p \Sigma \) con coeficientes complejos, en vez de reales. Este espacio tiene dimensión compleja \( 2 \) (una base sería \( dx,dy \) y otra \( dz, d\bar{z} \)) y como espacio vectorial real tiene dimensión \( 4 \) (una base sería real sería \( dx,dy,idx,idy \), y otra \( dz, d\bar{z}, idz, id\bar{z} \)).

En efecto, una forma máxima en este espacio, visto como espacio vectorial real es una \( 4 \)-forma, por ejemplo, \( dx\wedge dy \wedge idx \wedge idy \). Si ahora consideras un cambio de cartas cualquiera \( u=f_1(x,y), v=f_2(x,y) \), no necesariamente holomorfo, y calculas cómo se transforman las \( 4 \)-formas, verás que \( du\wedge dv \wedge idu \wedge idv = |J|^2 dx\wedge dy \wedge idx \wedge idy \), donde \( |J| \) es el determinante jacobiano del cambio de \( (x,y) \) a \( (u,v) \). En particular, el cambio de cartas siempre tiene determinante jacobiano positivo. Esto quiere secir que el fibrado tangente complejificado \( T \Sigma \otimes \Bbb C \) es orientable, pero esto no te dice nada sobre la orientabilidad de \( \Sigma \). Es simplemente una consecuencia de que \( T\Sigma \otimes \Bbb C \) es un fibrado complejo, que siempre son orientables, independientemente de que \( \Sigma \) lo sea.

Lo que tiene importancia para la holomorficidad no es el tangente complejificado y sus cambios de cartas, sino su descomposición en suma directa del tangente holomorfo y el antiholomorfo. En cada punto tienes una descomposición \( T^*\Sigma \otimes \Bbb C = T^{'*} \Sigma \oplus T^{''*}\Sigma \), que corresponde a la descomposición de las aplicaciones \( \Bbb R \)-lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \) en suma directa de las aplicaciones \( \Bbb C \)-lineales y las \( \Bbb C \)-antilineales. Entonces tienes que el cambio de cartas es holomorfo si y solo si preserva esta descomposición en suma directa, que acaba siendo equivalente a decir que la aplicación dada por la matriz jacobiana del cambio de cartas sea \( \Bbb C \)-lineal en cada punto.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Junio, 2020, 06:43 pm
Perdona, se me olvidó. Le he echado un vistazo ahora. Lo que hace ahí es considerar los espacios complejificados. Es decir, en vez de ver el tangente a una superfície \( \Sigma \) como un espacio vectorial de dimensión real 2, consideras en cada punto \( p \) el tangente complejificado \( T_p\Sigma \otimes \Bbb C \) y el cotangente complejificado \( T_p^*\Sigma \otimes \Bbb C \). Esto es lo mismo que considerar combinaciones lineales de elementos de \( T^*_p \Sigma \) con coeficientes complejos, en vez de reales. Este espacio tiene dimensión compleja \( 2 \) (una base sería \( dx,dy \) y otra \( dz, d\bar{z} \)) y como espacio vectorial real tiene dimensión \( 4 \) (una base sería real sería \( dx,dy,idx,idy \), y otra \( dz, d\bar{z}, idz, id\bar{z} \)).

En efecto, una forma máxima en este espacio, visto como espacio vectorial real es una \( 4 \)-forma, por ejemplo, \( dx\wedge dy \wedge idx \wedge idy \). Si ahora consideras un cambio de cartas cualquiera \( u=f_1(x,y), v=f_2(x,y) \), no necesariamente holomorfo, y calculas cómo se transforman las \( 4 \)-formas, verás que \( du\wedge dv \wedge idu \wedge idv = |J|^2 dx\wedge dy \wedge idx \wedge idy \), donde \( |J| \) es el determinante jacobiano del cambio de \( (x,y) \) a \( (u,v) \). En particular, el cambio de cartas siempre tiene determinante jacobiano positivo. Esto quiere secir que el fibrado tangente complejificado \( T \Sigma \otimes \Bbb C \) es orientable, pero esto no te dice nada sobre la orientabilidad de \( \Sigma \). Es simplemente una consecuencia de que \( T\Sigma \otimes \Bbb C \) es un fibrado complejo, que siempre son orientables, independientemente de que \( \Sigma \) lo sea.

Lo que tiene importancia para la holomorficidad no es el tangente complejificado y sus cambios de cartas, sino su descomposición en suma directa del tangente holomorfo y el antiholomorfo. En cada punto tienes una descomposición \( T^*\Sigma \otimes \Bbb C = T^{'*} \Sigma \oplus T^{''*}\Sigma \), que corresponde a la descomposición de las aplicaciones \( \Bbb R \)-lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \) en suma directa de las aplicaciones \( \Bbb C \)-lineales y las \( \Bbb C \)-antilineales. Entonces tienes que el cambio de cartas es holomorfo si y solo si preserva esta descomposición en suma directa, que acaba siendo equivalente a decir que la aplicación dada por la matriz jacobiana del cambio de cartas sea \( \Bbb C \)-lineal en cada punto.

Pues no sé si estamos mirando lo mismo, en mi texto define en la página 2 el espacio \( L_R(\mathbb{C}) \) de 4 dimensiones de las aplicaciones \( \Bbb R \)-lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \)  precisamente como la suma directa de los espacios de aplicaciones \( \Bbb C \)-lineales y \( \Bbb C \)-antilineales. No veo los espacios complejificados que mencionas.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Junio, 2020, 07:24 pm
Sí, es verdad que el libro no habla explícitamente de complejificaciones, pero es lo mismo. El espacio de aplicaciones lineales \( L_{\Bbb R}(\Bbb C, \Bbb R) \) es lo mismo que el espacio de \( 1 \)-formas reales, y el espacio de aplicaciones lineales \( L_{\Bbb R}(\Bbb C) \) su complejificado.

Pero lo que quiero decir es que a efectos de holomorficidad lo que cuenta es la descomposición como suma directa de aplicaciones \( \Bbb C \)-lineales y \( \Bbb C \)-antilineales. Los cambios de carta holomorfos son aquellos en los que su diferencial preserva esa descomposición en cada punto. Y si únicamente miras los espacios \( L_{\Bbb R}(\Bbb C) \) y no la descomposición como suma directa no vas a poder ver nada relativo a holomorficidad, porque es una construcción que puedes hacer siempre, haya estructura compleja global en una variedad o no.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Junio, 2020, 07:51 pm
Sí, es verdad que el libro no habla explícitamente de complejificaciones, pero es lo mismo. El espacio de aplicaciones lineales \( L_{\Bbb R}(\Bbb C, \Bbb R) \) es lo mismo que el espacio de \( 1 \)-formas reales, y el espacio de aplicaciones lineales \( L_{\Bbb R}(\Bbb C) \) su complejificado.

Pero lo que quiero decir es que a efectos de holomorficidad lo que cuenta es la descomposición como suma directa de aplicaciones \( \Bbb C \)-lineales y \( \Bbb C \)-antilineales. Los cambios de carta holomorfos son aquellos en los que su diferencial preserva esa descomposición en cada punto. Y si únicamente miras los espacios \( L_{\Bbb R}(\Bbb C) \) y no la descomposición como suma directa no vas a poder ver nada relativo a holomorficidad, porque es una construcción que puedes hacer siempre, haya estructura compleja global en una variedad o no.
Vale, es que hay 2 definiciones de \( L_{\Bbb R}(\Bbb C) \), la de la complejificación de \( L_{\Bbb R}(\Bbb C, \Bbb R) \)  en la página 1 y la suma directa de aplicaciones \( \Bbb C \)-lineales y \( \Bbb C \)-antilineales de la página 2, yo me refiero a la última. La 4-forma  del espacio \( L_{\Bbb R}(\Bbb C) \) definido de esta última forma  tiene en cuenta la descomposición, ¿no?, y si no he entendido mal  lo que dice a partir del párrafo de la página 2 que empieza por "Finally, let us denote...." entonces la orientación canónica de las 2-formas que admite cada carta va a ser la de esta 4-forma  que corresponde con la orientación canónica del grafo de la función holomorfa en 4 dimensiones.

Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Junio, 2020, 08:02 pm
No, con la \( 4 \)-forma no vas a poder ver nada sobre la orientación porque al cambiar de carta siempre te va a dar un múltiplo positivo, incluso aunque la variedad no sea orientable. La cuestión es que la información sobre la descomposición en suma directa de los dos subespacios desaparece cuando consideras la \( 4 \)-forma, porque en cada punto solo existe una única \( 4 \)-forma salvo múltiplos (es decir, el espacio de \( 4 \)-formas en cada punto es un espacio vectorial de dimensión \( 1 \)).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Junio, 2020, 08:31 pm


No, con la \( 4 \)-forma no vas a poder ver nada sobre la orientación porque al cambiar de carta siempre te va a dar un múltiplo positivo, incluso aunque la variedad no sea orientable. La cuestión es que la información sobre la descomposición en suma directa de los dos subespacios desaparece cuando consideras la \( 4 \)-forma, porque en cada punto solo existe una única \( 4 \)-forma salvo múltiplos (es decir, el espacio de \( 4 \)-formas en cada punto es un espacio vectorial de dimensión \( 1 \)).
Es verdad, gracias.  Mientras siga en el espacio tangente en un punto e intente cosas desde lo local a lo global ahí no hay mucho que hacer , quizás yendo desde lo global a lo local ¿ no hay para el grafo holomorfo orientado en 4 dimensiones una asignación de una 2-forma a cada punto del grafo con su orientación canónica en el espacio ambiente 4-dimensional que vendrá dada por una 4-forma en \( \mathbb{R⁴} \)?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Junio, 2020, 09:34 pm
No sé en qué estás pensando. Una \( 4 \)-forma en el espacio ambiente no puede inducir una \( 2 \)-forma en una subvariedad, solamente otra \( 4 \)-forma (que será necesariamente cero si la subvariedad es de dimensión dos).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Junio, 2020, 10:41 pm
No sé en qué estás pensando. Una \( 4 \)-forma en el espacio ambiente no puede inducir una \( 2 \)-forma en una subvariedad, solamente otra \( 4 \)-forma (que será necesariamente cero si la subvariedad es de dimensión dos).
No una \( 4 \)-forma que induzca una \( 2 \)-forma, me refiero a si hay alguna forma de relacionar la orientación canónica de las 2 formas en los puntos del grafo con la orientación de su espacio ambiente;  por ejemplo si el mismo sentido positivo de giro en todas las 2-formas en los distintos puntos del grafo será el mismo que el dado por la orientación fija 4-dimensional del espacio ambiente.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Junio, 2020, 11:30 pm
Sí que hay algo así: las estructuras cuasi complejas. En cada espacio tangente del espacio ambiente (que es un espacio vectorial de dimensión \( 4 \)) tienes una estructura de espacio vectorial complejo de dimensión \( 2 \). El producto de un vector por \( i \) define una estructura cuasi compleja, una aplicación lineal que cumple \( i^2=-1 \) en cada espacio tangente.
Si tienes una subvariedad de dimensión dos (el grafo de la aplicación en este caso), el plano tangente de la subvariedad en un punto se identifica con un subespacio vectorial del espacio tangente del espacio ambiente. Entonces, puede pasar que la estructura cuasi compleja respete el plano tangente del grafo o no. Es decir, puede ser que al multiplicar un vector del plano tangente por \( i \) en el espacio tangente del ambiente vuelvas a obtener siempre otro vector del plano tangente del grafo, o no.
En el primer caso tienes una estructura cuasi compleja inducida en el grafo, y esto pasa si y solo si el grafo es de una función holomorfa.

Además la existencia de una estructura cuasi compleja en el grafo ya te implica la orientabilidad y todo lo demás.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 09 Junio, 2020, 01:09 am
Muchas gracias, había leído algo de la estructura cuasi-compleja pero no la asociaba con el espacio ambiente pese a que siendo una variedad de dimensión par podría haberlo pensado, ni conocía su relación con la holomorfidad del grafo  subvariedad. Las condicones de Cauchy-Riemann entonces aseguran la equivalencia de las estructuras cuasi-complejas del subespacio ambiente  y el grafo subvariedad?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 09 Junio, 2020, 09:59 am
Sí. Si tienes una aplicación \( f:\Sigma_1 \to \Sigma_2 \) entre superfícies de Riemann, el plano tangente en el punto \( (p,f(p)) \) del grafo corresponde al subespacio de \( T_{(p,f(p)}(\Sigma_1 \times \Sigma_2) \) dado por los vectores de la forma \( (v,df_p(v)) \) con \( v\in T_p \Sigma_1 \). Cuando multiplicas por \( i \) (usando la estructura cuasi compleja del espacio ambiente) obtienes \( (iv,idf_p(v)) \). Ese vector vuelve a estar en el tangente al grafo si y solo si \( (iv,idf_p(v))=(iv,df_p(iv)) \), es decir si y solo si \( df_p(iv)=idf_p(v) \) para todo \( v \in T_p\Sigma_1 \). Pero esto es lo mismo que decir que la diferencial es \( \Bbb C \)-lineal, que ya sabemos que es equivalente a que \( f \) cumpla las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 09 Junio, 2020, 12:55 pm
Genial, ya voy atando cabos en relación con la holomorfidad. Esta permite elegir en cada punto el mapa \( \mathbb{C} \)-lineal y no el \( \mathbb{C} \)-antilineal de manera consistente. Y esto implicaba diferenciabilidad real porque la suma directa de los mapas complejos lineales y antilineales del que la holomorfidad selecciona sólo el subespacio \( \mathbb{C} \)-lineal  se construye en el espacio de todos los mapas \( \mathbb{R} \)-lineales \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \) y a partir de sus elementos, \( 1 \)-formas, se construyen mediante el producto wedge las \( 2 \)-formas que admiten las cartas en \( \mathbb{C} \). Las \( 4 \)-formas no aparecen por ningún lado sino que la conexión con el espacio ambiente se da por la estructura cuasi-compleja bidimensional compatible de grafo y subespacio ambiente.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 09 Junio, 2020, 02:26 pm
Sí, básicamente es eso.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 11 Junio, 2020, 01:20 pm
Gracias. Me resulta fascinante todo esto que explicas. He buscado bibliografía al respecto y he encontrado un libro de Raymond O. Wells: "Differential analysis on complex manifolds", donde en las páginas 27-36 del primer capitulo desarrolla lo que me cuentas de la estructura cuasi-compleja y su relación con la holomorfidad, las formas diferenciales y la suma directa de aplicaciones \( \mathbb{C} \)-lineales y conjugado-lineales o \( \mathbb{C} \)-antilineales con la suficiente claridad como para que yo lo entienda después de lo que hemos hablado. Si tienes alguna otra referencia que consideres valiosa no dudes en sugerírmela.

¿Es algo imprescindible que exista la descomposición de suma directa como espacios vectoriales reales de aplicaciones {C}[/tex]-lineales y {C}[/tex]-antilineales de todas las posibles aplicaciones {R}[/tex]-lineales en funciones \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \), para que sea posible definir su holomorfidad? Supongo que sí si de lo que se trata es de seleccionar sólo las funciones con aplicación \( \mathbb{C} \)-lineal en su fibrado tangente. En este sentido ¿hay una dependencia del espacio \( \mathbb{R^4} \) en último término para la holomorfidad? ¿O hay otra forma de separar aplicaciones lineales y antilineales complejas independiente de esto?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 11 Junio, 2020, 02:30 pm
El libro de Wells es magnífico, cuando me estaba metiendo en temas de estos me lo leí de cabo a rabo.
Otra referencia que suelo mirar para estos temas es el capítulo 0 del "Principles of algebraic geometry" de Griffiths y Phillips. En él hacen lo mismo (¡o incluso más!) que en todo el libro de Wells, pero está bastante bien hecho y es una referencia muy útil.

Sobre lo último, yo diría que sí. No acabo de entender lo de la dependencia de \( \Bbb R^4 \). Puedes considerar el espacio de aplicaciones lineales en abstracto, sin hacer referencia a bases, y definir la descomposición también en abstracto. Al fin y al cabo, la \( \Bbb C \)-linealidad es algo que solamente hace referencia a las aplicaciones, no a su representación como matrices fijada una base. En este sentido no hace falta hacer referencia a \( \Bbb R^4 \).
Pero claro, el espacio de aplicaciones lineales es un espacio vectorial real de dimensión \( 4 \) y por tanto isomorfo a \( \Bbb R^4 \), por tanto si lo buscas tienes un \( \Bbb R^4 \) detrás.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 11 Junio, 2020, 09:51 pm
El libro de Wells es magnífico, cuando me estaba metiendo en temas de estos me lo leí de cabo a rabo.
¡Qué envidia! ;) Yo por motivos obvios si me aventuro más allá de esas 5 páginas será como mucho al resto del primer capítulo de momento.

Citar
Otra referencia que suelo mirar para estos temas es el capítulo 0 del "Principles of algebraic geometry" de Griffiths y Phillips. En él hacen lo mismo (¡o incluso más!) que en todo el libro de Wells, pero está bastante bien hecho y es una referencia muy útil.
Gracias, creo que lo he oído nombrar alguna vez como un libro muy bueno. Le echaré un ojo por si alguna sección me es asequible.

Citar
Sobre lo último, yo diría que sí. No acabo de entender lo de la dependencia de \( \Bbb R^4 \). Puedes considerar el espacio de aplicaciones lineales en abstracto, sin hacer referencia a bases, y definir la descomposición también en abstracto. Al fin y al cabo, la \( \Bbb C \)-linealidad es algo que solamente hace referencia a las aplicaciones, no a su representación como matrices fijada una base. En este sentido no hace falta hacer referencia a \( \Bbb R^4. \)
Pero claro, el espacio de aplicaciones lineales es un espacio vectorial real de dimensión \( 4 \) y por tanto isomorfo a \( \Bbb R^4 \), por tanto si lo buscas tienes un \( \Bbb R^4 \) detrás.
Se me ocurre que incluso si no lo buscas mucho lo encuentras, es decir hay una dependencia directa de la diferenciabilidad compleja en un entorno de \( \mathbb{C} \) de su complejificación(y por tanto de la diferenciabilidad en dimensión doble) por lo siguiente:  la complejificación del espacio \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C},\mathbb{R}) \) de \( 1 \)-formas reales en 2 dimensiones reales al  \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \)   de \( 1 \)-formas reales en 4 dimensiones aporta una extensión canónica de la aplicación involutiva de conjugación compleja desde \( \mathbb{C} \) a al espacio complejificado \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \) y esta propiedad es la que va a servir para la descomposición en suma directa de aplicaciones \( \mathbb{C} \)-lineales y \( \mathbb{C} \)-antilineales de las que se puede escoger sólo las \( \mathbb{C} \)-lineales, y por tanto para la integrabilidad de la estructura cuasi-compleja en los espacios tangentes que se puede dar en todo espacio vectorial real de dimensión par, a la estructura compleja que es más exigente. ¿Qué opinas?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 12 Junio, 2020, 02:15 am
Gracias, creo que lo he oído nombrar alguna vez como un libro muy bueno. Le echaré un ojo por si alguna sección me es asequible.

Sí, es un libro que está muy bien pero es bastante más duro que el de Wells. De hecho el libro de Wells se puede ver como una preparación para este. En general el Griffiths-Harris es la biblia de la geometría algebraica desde el punto de vista complejo.

Citar
Se me ocurre que incluso si no lo buscas mucho lo encuentras, es decir hay una dependencia directa de la diferenciabilidad compleja en un entorno de \( \mathbb{C} \) de su complejificación(y por tanto de la diferenciabilidad en dimensión doble) por lo siguiente:  la complejificación del espacio \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C},\mathbb{R}) \) de \( 1 \)-formas reales en 2 dimensiones reales al  \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \)   de \( 1 \)-formas reales en 4 dimensiones aporta una extensión canónica de la aplicación involutiva de conjugación compleja desde \( \mathbb{C} \) a al espacio complejificado \( L_\mathbb{R}(\mathbb{C}) \) y esta propiedad es la que va a servir para la descomposición en suma directa de aplicaciones \( \mathbb{C} \)-lineales y \( \mathbb{C} \)-antilineales de las que se puede escoger sólo las \( \mathbb{C} \)-lineales

Bien, estoy de acuerdo. Ya te digo que depende de qué entiendas por "depender de \( \Bbb R^4 \)", ya que en ese párrafo no se menciona explícitamente (aunque por ahí está, claro).

Citar
, y por tanto para la integrabilidad de la estructura cuasi-compleja en los espacios tangentes que se puede dar en todo espacio vectorial real de dimensión par, a la estructura compleja que es más exigente. ¿Qué opinas?

Aquí creo que tienes una confusión con la nomenclatura. La estructura cuasi-compleja ya es la que viene dada por la descomposición en cada tangente. Es decir, una estructura cuasi-compleja en una variedad \( M \) es una aplicación de fibrados \( J:TM \to TM \) que cumple que \( J^2=-id \) (es como una multiplicación por \( i \)). Esto te induce una estructura compleja en el espacio tangente de cada punto. Una estructuta cuasi-compleja en una variedad es pues en cierto modo una estructura "algebraica".
Toda la historia de la descomposición del tangente y demás hace referencia en realidad a la estructura cuasi-compleja.

Otro tema es una estructura compleja en una variedad \( M \). Esto es un conjunto de cartas con cambios holomorfos. Si tienes una estructura compleja automáticamente tienes una estructura cuasi-compleja en la variedad (multiplicar por \( i \) en cada tangente), pero al revés no es cierto en general. Si una estructura cuasi-compleja proviene de una estructura compleja entonces se dice que es integrable. En general, la integrabilidad se corresponde con que la estructura cuasi-compleja \( J \) cumpla una cierta ecuación diferencial.

Ahora bien, en dimensión real \( 2 \) (el caso de superfícies de Riemann que nos interesa aquí), toda estructura cuasi-compleja es integrable (esto no es obvio o fácil), de forma que no nos tenemos que preocupar por la diferencia entre estructura cuasi-compleja y estructura compleja.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 12 Junio, 2020, 01:29 pm


Aquí creo que tienes una confusión con la nomenclatura. La estructura cuasi-compleja ya es la que viene dada por la descomposición en cada tangente. Es decir, una estructura cuasi-compleja en una variedad \( M \) es una aplicación de fibrados \( J:TM \to TM \) que cumple que \( J^2=-id \) (es como una multiplicación por \( i \)). Esto te induce una estructura compleja en el espacio tangente de cada punto. Una estructuta cuasi-compleja en una variedad es pues en cierto modo una estructura "algebraica".
Toda la historia de la descomposición del tangente y demás hace referencia en realidad a la estructura cuasi-compleja.

Otro tema es una estructura compleja en una variedad \( M \). Esto es un conjunto de cartas con cambios holomorfos. Si tienes una estructura compleja automáticamente tienes una estructura cuasi-compleja en la variedad (multiplicar por \( i \) en cada tangente), pero al revés no es cierto en general. Si una estructura cuasi-compleja proviene de una estructura compleja entonces se dice que es integrable. En general, la integrabilidad se corresponde con que la estructura cuasi-compleja \( J \) cumpla una cierta ecuación diferencial.

Ahora bien, en dimensión real \( 2 \) (el caso de superfícies de Riemann que nos interesa aquí), toda estructura cuasi-compleja es integrable (esto no es obvio o fácil), de forma que no nos tenemos que preocupar por la diferencia entre estructura cuasi-compleja y estructura compleja.

Absolutamente, me vine demasiado arriba en esa última línea y me olvidé de las peculiaridades de las superficies, donde lo importante es la estructura cuasi-compleja ya que la compleja es automática si se tiene aquella, así que lo que escribí se ciñe a la estructura cuasi-compleja. En el caso general cumplir que se anule el tensor de Nijenhuis es más complicado.

Me doy cuenta ahora de que lo que estaba buscando en este hilo era esta estructura cuasi-compleja y lo de las 4 dimensiones era simplemente el hecho general de que por cada entero \( n \) el espacio \( \mathbb{R^{2n}} \) admite una estructura cuasi-compleja, y era lo que yo intuía en la holomorfidad de las funciones en \( \mathbb{C} \) pero no tenía herramientas para explicar.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Noviembre, 2020, 01:14 pm
Puedes considerar el espacio de aplicaciones lineales en abstracto, sin hacer referencia a bases, y definir la descomposición también en abstracto. Al fin y al cabo, la \( \Bbb C \)-linealidad es algo que solamente hace referencia a las aplicaciones, no a su representación como matrices fijada una base. En este sentido no hace falta hacer referencia a \( \Bbb R^4 \).
Pero la diferenciabilidad total real en una región si requiere la representación matricial para una base única, ¿no?
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Noviembre, 2020, 01:27 pm
Sí y no. La diferenciabilidad de una función se mira usando una carta (unas coordenadas), pero es independiente de las coordenadas en el sentido de que ser diferenciable depende solo de la estructura diferenciable.

Pero en cualquier caso en esa cita creo que hablaba de aplicaciones lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \). En ese caso, si la aplicación es lineal es automáticamente diferenciable (respecto de cualquier sistema de coordenadas).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 08 Noviembre, 2020, 01:59 pm
Sí y no. La diferenciabilidad de una función se mira usando una carta (unas coordenadas), pero es independiente de las coordenadas en el sentido de que ser diferenciable depende solo de la estructura diferenciable.
A lo que me refiero es a que aquí se exige diferenciabilidad fuerte(Fréchet) y una matriz de una aplicación lineal única para los puntos de una región. Quizás no estoy entendiendo bien en qué sentido debe ser la aplicación lineal única, creo que debe ser única al menos en cuanto a ser elemento de \( \mathbb{R^4} \) y por tanto orientable(invertible) en este espacio en la base de \( \mathbb{R^2} \) escogida.

Citar
Pero en cualquier caso en esa cita creo que hablaba de aplicaciones lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \). En ese caso, si la aplicación es lineal es automáticamente diferenciable (respecto de cualquier sistema de coordenadas).
Si, claro. Si partimos de la \( \mathbb{C} \)-linealidad es así. Yo partía de la otra dirección que no la asume.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 08 Noviembre, 2020, 07:35 pm
No me aclaro mucho con el contexto, la verdad. Entre que es un mensaje de hace meses y que no puedo repasar todo el hilo me cuesta un poco.

Pero yo diría que en la cita que has puesto hablaba del "espacio de aplicaciones lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \)", donde está claro que puedes definir la linealidad independiente de coordenadas como aplicaciones \( f \) tales que \( f(z+w)=f(z)+f(w), f(\alpha z)=\alpha f(z) \).

Ahora mismo no sé a qué te refieres con lo de que la aplicación lineal debe ser única. Lo mejor es que intentes describir el contexto adecuado, como si fuera una duda totalmente nueva, a ver si me sitúo.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 09 Noviembre, 2020, 10:59 am
Sí, disculpa. En realidad no estaba discutiendo o contradiciendo nada de lo que decías en ese parrafo. Era una pregunta nueva sobre la matriz jacobiana en un mensaje anterior:
\(
\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z} & \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \end{bmatrix}
 \)
en base real de operadores de derivada parcial (\( \frac{{\partial }}{{\partial z}},\frac{{\partial }}{{\partial \overline{z}}} \))
Mi duda era sobre la aplicación lineal real a la que representa(antes de utilizar las ecuaciones de CR para obtener \( \mathbb{C} \)-linealidad), creo que cuando existe para una función este operador lineal como derivada de Fréchet \( D_f \) debe ser un operador único de la función, y estaba intentando aclararme sobre el significado de esta unicidad, en el sentido de en qué o cómo es esta unicidad diferente a otras derivadas en que en vez de una matriz real \( 2\times{2} \) que es también elemento de un espacio vectorial \( \mathbb{R^4} \)  representando a un operador lineal actuando en \( \mathbb{R^2} \), son vectores(gradientes...) de \( \mathbb{R^2} \)o números en \( \mathbb{R} \).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 09 Noviembre, 2020, 02:23 pm
Ah, vale. La derivada es un operador único de la función, sí. Pero es lo mismo que la derivada "usual", ambos son operadores lineales, definidos de forma única en el espacio donde actúen. Yo en principio no veo ninguna diferencia con la derivada usual. La única diferencia es que usas coordenadas distintas (en un caso \( x,y \) y en el otro \( z, \bar{z} \)), pero es exactamente lo mismo.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 11 Noviembre, 2020, 10:36 am
Ah, vale. La derivada es un operador único de la función, sí. Pero es lo mismo que la derivada "usual", ambos son operadores lineales, definidos de forma única en el espacio donde actúen. Yo en principio no veo ninguna diferencia con la derivada usual. La única diferencia es que usas coordenadas distintas (en un caso \( x,y \) y en el otro \( z, \bar{z} \)), pero es exactamente lo mismo.
La novedad en el caso holomorfo sería que la continuidad en la derivada se traduce en invertibilidad necesaria de la matriz que para derivadas escalares es trivial y para vectores no está bien definida para la multiplicación.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 11 Noviembre, 2020, 11:31 am
No entiendo muy bien qué quieres decir con lo de "para derivadas escalares es trivial y para vectores no está bien definida para la multiplicación", la verdad.

Pero lo de que la matriz jacobiana tiene que ser invertible para funciones holomorfas no es verdad. Tiene que ser invertible en los puntos donde \( f'(z)\neq 0 \), pero en los ceros de la derivada no es invertible. Por ejemplo, una función constante es holomorfa y su jacobiana no es invertible en ningún punto.

Por otro lado, esta matriz:
\(
\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z} & \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \end{bmatrix}
 \)
para una función \( f:\Bbb C \to \Bbb C \) diferenciable (en sentido real) arbitraria (no necesariamente holomorfa) tiene exactamente la misma información que la jacobiana usual donde piensas \( f \) como una función \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \). Es lo mismo expresado en bases distintas. En particular, es invertible si y solo si la matriz jacobiana usual es invertible.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 11 Noviembre, 2020, 12:29 pm
No entiendo muy bien qué quieres decir con lo de "para derivadas escalares es trivial y para vectores no está bien definida para la multiplicación", la verdad.
Sólo recalcaba la diferencia en los requisitos de unicidad en puntos donde no se anule la derivada. Un escalar siempre tiene definido inverso, los vectores como los gradientes lo tienen definido para la adición pero no en general para la multiplicación aunque a veces sea factible.


Citar
Pero lo de que la matriz jacobiana tiene que ser invertible para funciones holomorfas no es verdad. Tiene que ser invertible en los puntos donde \( f'(z)\neq 0 \), pero en los ceros de la derivada no es invertible. Por ejemplo, una función constante es holomorfa y su jacobiana no es invertible en ningún punto.
Por supuesto, no estaba pensando en esto y por eso no mencioné esta excepción de deriva nula, pero lo conozco.
Citar
Por otro lado, esta matriz:
\(
\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial z} & \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \\ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z} & \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \end{bmatrix}
 \)
para una función \( f:\Bbb C \to \Bbb C \) diferenciable (en sentido real) arbitraria (no necesariamente holomorfa) tiene exactamente la misma información que la jacobiana usual donde piensas \( f \) como una función \( \Bbb R^2 \to \Bbb R^2 \). Es lo mismo expresado en bases distintas. En particular, es invertible si y solo si la matriz jacobiana usual es invertible.
De acuerdo también.

A lo que voy es que hay una correspondencia 1-1 entre las matrices asociadas a estas derivadas y elementos de \( \mathbb{R^4} \), pero esto es independiente del tema de la invertibilidad así que disculpa.
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: geómetracat en 11 Noviembre, 2020, 12:40 pm
Vale, de acuerdo en todo. Solo un par de puntualizaciones: un escalar siempre tiene definido inverso multiplicativo salvo que sea nulo. Y por otro lado, hablar de inverso multiplicativo de un vector en general no tiene mucho sentido porque no hay un producto definido en general (que a dos vectores te asigne otro vector).
Título: Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad
Publicado por: Restituto en 11 Noviembre, 2020, 12:41 pm
Vale, de acuerdo en todo.
Gracias.