Autor Tema: Integral con raíces cuadradas en el denominador

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07 Noviembre, 2020, 07:49 pm
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Jorge quantum

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Hola.

Tengo una duda sobre la aplicación del Teorema del resíduo para esta integral:
\[ \mathcal{I}=\int_0^\infty dx\frac{\sqrt{x^2+a^2}-x}{Ax+B\sqrt{x^2+a^2}+C\sqrt{x(x+\sqrt{x^2+a^2})}}J_0(Rx)e^{-k x} \],
en donde las constantes \( a, A, B, C,R,k \) son reales y positivas, y \( J_0 \) son polinomios de Bessel. Pretendo llevar esta integral al plano complejo, en donde he demostrado que tiene polos en \( z=\pm iz_0 \) (\( z_0\in\mathbb{R} \)).

Ahora bien, la raíz cuadrada me da una rama que (creo) cubre el eje real y pensaba tomar el contorno que muestro en la figura adjunta, pero no estoy seguro si hice un buen planteamiento de dicha rama.

Agradecería cualquier luz que me puedan dar sobre este problema.

¡Saludos!

Editado: He intentado hacer una sustitución trigonométrica \( x=a\tan\theta \) y he exigido, dado el cuadrado dentro de la integral (real) que \( \sqrt{a^2\sec^2\theta}=a\sec\theta \). Esto me lleva a una integral (la pondré indefinida) de la forma:

\[ \mathcal{I}=2\int d\theta\frac{\left(1-\sin\theta\right)J_0\left(aR\tan\theta\right)\exp\left(-ak\tan\theta\right)}{A\sin\theta+B+C\cos\theta\sqrt{\tan\theta\left(\sec\theta+\tan\theta\right)}}. \]

Ahora bien, al parecer los Bessel no tienen polos (sólo lo he visto de forma gráfica), pero la exponencial si me los genera. ¿Alguna pista de lo que debería hacer? Me confunde aún más el hecho de que los límites de integración no quedan tan "bonitos".

Saludos.