Autor Tema: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad

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07 Febrero, 2020, 11:44 am
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Restituto

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¿Algo de esto es correcto?  :-\: La holomorfidad en \( \mathbb{C} \) implica funciones \( \mathbb{C} \)-lineales y estas implican funciones \( \mathbb{R} \)-lineales ya que \( \mathbb{C} \)-linealidad presupone \( \mathbb{R} \)-linealidad, pero no al revés.

 Más concretamente el espacio de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \) es un espacio vectorial real de dimensión 4 y complejo de dimensión 2 del que las funciones \( \mathbb{C} \)-lineales forman un subespacio de dimensión 2 sobre los reales y una dimensión sobre los complejos.

¿Se puede identificar el espacio "ambiente" o gráfica de las funciones holomorfas con el espacio vectorial de dimension 4 sobre los reales o \( \mathbb{R^4} \) y 2 sobre los complejos o \( \mathbb{C^2} \) mencionado arriba?

07 Febrero, 2020, 11:56 am
Respuesta #1

Masacroso

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¿Algo de esto es correcto?  :-\: La holomorfidad en \( \mathbb{C} \) implica funciones \( \mathbb{C} \)-lineales y estas implican funciones \( \mathbb{R} \)-lineales ya que \( \mathbb{C} \)-linealidad presupone \( \mathbb{R} \)-linealidad, pero no al revés.

 Más concretamente el espacio de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \) es un espacio vectorial real de dimensión 4 y complejo de dimensión 2 del que las funciones \( \mathbb{C} \)-lineales forman un subespacio de dimensión 2 sobre los reales y una dimensión sobre los complejos.

¿Se puede identificar el espacio "ambiente" o gráfica de las funciones holomorfas con el espacio vectorial de dimension 4 sobre los reales o \( \mathbb{R^4} \) y 2 sobre los complejos o \( \mathbb{C^2} \) mencionado arriba?

Un espacio de funciones tiene dimensión infinita por lo general, salvo que dominio y codominio sean finitos. Lo que hay es un isomorfismo como espacios vectorial reales entre \( \Bbb C  \) y \( \Bbb R^2  \), no sé si por ahí van los tiros de lo que quieres decir.

07 Febrero, 2020, 12:03 pm
Respuesta #2

Restituto

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Un espacio de funciones tiene dimensión infinita por lo general, salvo que dominio y codominio sean finitos. Lo que hay es un isomorfismo como espacios vectorial reales entre \( \Bbb C  \) y \( \Bbb R^2  \), no sé si por ahí van los tiros de lo que quieres decir.
Estoy dando por hecho la dimensión finita de dominio y codominio,sí,  por el contexto de función holomorfa. El isomorfismo entre \( \Bbb C  \) y \( \Bbb R^2  \) también creo que está implicado si lo que he escrito es correcto, pero quiero estar seguro de todas las implicaciones que afirmo arriba.
 En cualquier caso es un espacio de funciones concreto al que me refiero, el de mapas lineales y ese creo que es de dimensión finita.

07 Febrero, 2020, 01:13 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

¿Algo de esto es correcto?  :-\: La holomorfidad en \( \mathbb{C} \) implica funciones \( \mathbb{C} \)-lineales y estas implican funciones \( \mathbb{R} \)-lineales ya que \( \mathbb{C} \)-linealidad presupone \( \mathbb{R} \)-linealidad, pero no al revés.

No estoy seguro que quieres decir con la frase en rojo. En principio no hace falta hablar de C-linealidad para definir holomorfidad, aunque si pueden relacionarse.

Citar
Más concretamente el espacio de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) a \( \mathbb{C} \) es un espacio vectorial real de dimensión 4 y complejo de dimensión 2 del que las funciones \( \mathbb{C} \)-lineales forman un subespacio de dimensión 2 sobre los reales y una dimensión sobre los complejos.

Correcto.

Citar
¿Se puede identificar el espacio "ambiente" o gráfica de las funciones holomorfas con el espacio vectorial de dimension 4 sobre los reales o \( \mathbb{R^4} \) y 2 sobre los complejos o \( \mathbb{C^2} \) mencionado arriba?

Si, es decir  la gráfica de una función de \( \Bbb C\to \Bbb C \) se puede representar en \( \Bbb C^2 \) y equivalentemente en \( \Bbb R^4 \). No sé si tiene sentido de hablar de la esctructura de espacio vectorial porque en principo no aporta mucho.

Lo que si es cierto es que tal gráfica es una curva compleja (dimensión como variedad compleja \( 1 \)) de \( \Bbb C^2 \), pero una superficie real (dimensión como variedad real y casi con la mayoría de las definiciones de dimensión DOS) de \( \Bbb R^4. \)

En cualquier caso es un espacio de funciones concreto al que me refiero, el de mapas lineales y ese creo que es de dimensión finita.

Si. Si los espacios vectoriales implicados son de dimensión finita, como es el caso, si.

Saludos.

07 Febrero, 2020, 01:23 pm
Respuesta #4

Masacroso

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Oh, claro... no había caído en lo de lineal. Ciertamente la dimensión del espacio es finita, es simplemente el espacio de matrices 2x2 de coeficientes reales, el cual es isomorfo a \( \Bbb R ^4 \).

 :banghead: :banghead:

07 Febrero, 2020, 02:14 pm
Respuesta #5

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No estoy seguro que quieres decir con la frase en rojo. En principio no hace falta hablar de C-linealidad para definir holomorfidad, aunque si pueden relacionarse.
Quería decir que una función holomorfa en \( \mathbb{C} \) debe ser \( \mathbb{C} \)-lineal, al menos eso es lo que creo que se consigue al exigir que cumplan su parte real e imaginaria las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


07 Febrero, 2020, 02:34 pm
Respuesta #6

Restituto

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Si, es decir  la gráfica de una función de \( \Bbb C\to \Bbb C \) se puede representar en \( \Bbb C^2 \) y equivalentemente en \( \Bbb R^4 \). No sé si tiene sentido de hablar de la esctructura de espacio vectorial porque en principo no aporta mucho.


¿Se puede representar o no hay otra opción que representarla de esa manera? Por ahí iba yo en cuanto a la relevancia de la estructura vectorial, al hecho de que la \( \mathbb{C} \)-linealidad implica la \( \mathbb{R} \)-linealidad de los mapas de que hablaba arriba.

07 Febrero, 2020, 08:01 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Quería decir que una función holomorfa en \( \mathbb{C} \) debe ser \( \mathbb{C} \)-lineal, al menos eso es lo que creo que se consigue al exigir que cumplan su parte real e imaginaria las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

¡No!. En absoluto. Por ejemplo la función \( f(z)=z^2 \) es holomorfa pero NO es \( \Bbb C \)-lineal.

¿Se puede representar o no hay otra opción que representarla de esa manera?

No entiendo muy bien el matiz. No sé que alcance le quieres dar. Quiero decir, si vamos a lo que se entiende por definición de gráfica de una función, en general la gráfica de una función \( f:A\to B \) es un subconjunto de \( A\times B \):

\( Graf(f)=\{(a,b)\in A\times B|b=f(a)\} \)

En muchas ocasiones esto da un conjunto que uno puede "dibujar" o en todo caso manejar como una variedad geométrica y por eso es una buena representación de la función.

Ahora en general el concepto de representar algo es un tanto subjetivo; una función también está representada por la fórmula que la define, o en ciertos contextos por diagramas de Venn y flechas o se podrían inventar otras representaciones.

Por resumir desde luego lo más natural es representar la función mediante su gráfica.

Citar
Por ahí iba yo en cuanto a la relevancia de la estructura vectorial, al hecho de que la \( \mathbb{C} \)-linealidad implica la \( \mathbb{R} \)-linealidad de los mapas de que hablaba arriba.

Sigo sin entender que papel le das a la estructura de espacio vectorial.

Saludos.

08 Febrero, 2020, 12:52 am
Respuesta #8

geómetracat

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Creo que estás confundiendo el hecho de que una función holomorfa sea \( \Bbb C \)-lineal, que es falso como te ha dicho Luis, con que la diferencial de una función holomorfa en un punto es \( \Bbb C \)-lineal. Esto último sí que es verdad y es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Febrero, 2020, 09:15 am
Respuesta #9

Restituto

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Creo que estás confundiendo el hecho de que una función holomorfa sea \( \Bbb C \)-lineal, que es falso como te ha dicho Luis, con que la diferencial de una función holomorfa en un punto es \( \Bbb C \)-lineal. Esto último sí que es verdad y es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Si, exacto. Me precipité al escribirlo. Gracias por verlo.