[cristianoceli]

Hola tengo una duda con este procedimiento matemático de un ejercicio derivado de la física (no sé si este hilo va en esta sección)

Tenemos una barra y estudiamos una pequeña porción muy pequeña:




Por Teorema de Pitágoras:

\( dL =  \sqrt[ ]{{dx}^2+{dy}^2} \) (1)

- Que es lo mismo que escribir:

\( dL = \sqrt[ ]{1+ (\displaystyle\frac{dy}{dx})^2} dx \) (2)

Mi pregunta es ¿Por que matemáticamente el procedimiento en (2) es correcto?

Pienso que en definitiva mi pregunta se resume a que \( \displaystyle\frac{dy}{dx} = k \) donde \( k \) es una constante y por lo tanto ¿Por que puedo multiplicar la ecuación anterior por \( dx \) quedando \( dy= k dx \) . Yo creo que como \( dx \) es infinitamente pequeño se puede multiplicar por \( dx \) pero no se si existirá otra razón matemática mas acertada.



Saludos

[Masacroso]

Usando incrementos es claro que podemos escribir \( \Delta L=\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^2}\Delta x \), entendiendo que \( \Delta x>0 \), entonces cambiando el concepto de incremento por el de dirección de variación entonces se podría dar un significado heurístico al diferencial, en esa interpretación \( dx \) y \( dy \) representarían vectores (unitarios) de variación en una dirección, y \( \Delta y/\Delta x \) se transformaría en la derivada de \( y \) respecto de \( x \), es decir, la variación instantánea de \( y \) en cada punto respecto de la variación de \( x \).

La teoría que formaliza actualmente todo esto es bastante compleja y se llama geometría diferencial, lo anterior es sólo una justificación heurística sin rigor ninguno. Otra forma rigurosa de justificar la identidad diferencial del OP es utilizando teoría de la medida, pero sería bastante complicado ya que la teoría es compleja y los teoremas necesarios son bastante complejos de demostrar.

Otra manera elemental de justificar la identidad sería olvidarse de los diferenciales y usar la teoría de integrales de línea, que son integrales de Riemann.

CORRECCIÓN: que yo sepa en el caso de longitud de curva no podemos usar teoría de la medida.

ACTUALIZACIÓN: se puede definir la identidad diferencial dentro la teoría de la medida de variedades. En este caso en vez de utilizar el valor absoluto del determinante de la derivada del homeomorfismo, si fuese una integral entre abiertos de \( \Bbb R^n \), usando el volumen del atlas entre variedades, en este caso el volumen es definido como \( \sqrt{\det T^* T} \) donde \( T \) es la matriz jacobiana de cada parte del atlas (generalmente T no es cuadrada, de ahí la diferencia con el caso sencillo entre abiertos de \( \Bbb R^n \).)

[cristianoceli]

Usando incrementos es claro que podemos escribir \( \Delta L=\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^2}\Delta x \), entendiendo que \( \Delta x>0 \), entonces cambiando el concepto de incremento por el de dirección de variación entonces se podría dar un significado heurístico al diferencial, en esa interpretación \( dx \) y \( dy \) representarían vectores (unitarios) de variación en una dirección, y \( \Delta y/\Delta x \) se transformaría en la derivada de \( y \) respecto de \( x \), es decir, la variación instantánea de \( y \) en cada punto respecto de la variación de \( x \).

La teoría que formaliza actualmente todo esto es bastante compleja y se llama geometría diferencial, lo anterior es sólo una justificación heurística sin rigor ninguno. Otra forma rigurosa de justificar la identidad diferencial del OP es utilizando teoría de la medida, pero sería bastante complicado ya que la teoría es compleja y los teoremas necesarios son bastante complejos de demostrar.

Otra manera elemental de justificar la identidad sería olvidarse de los diferenciales y usar la teoría de integrales de línea, que son integrales de Riemann.

He tratado de buscar algún articulo que sea fácil de digerir para poder entender la teoria que hay detrás pero no encuentro o no se muy bien como buscar. Me gustaria estudiarla a través de la geometria diferencial pero creo que no tengo los conocimientos básicos para entenderla pero es bueno saberlo( ya que no lo sabia) que la geometria diferencial da matices de como formalizar todo esto


Saludos

[feriva]

Hola tengo una duda con este procedimiento matemático de un ejercicio derivado de la física (no sé si este hilo va en esta sección)

Tenemos una barra y estudiamos una pequeña porción muy pequeña:


Por Teorema de Pitágoras:

\( dL =  \sqrt[ ]{{dx}^2+{dy}^2} \) (1)

- Que es lo mismo que escribir:

\( dL = \sqrt[ ]{1+ (\displaystyle\frac{dy}{dx})^2} dx \) (2)

Mi pregunta es ¿Por que matemáticamente el procedimiento en (2) es correcto?

Yo no sé casi de cálculo diferencial, que, como dice Masacroso, ahí hay una complicada teoría. Pero, por si te sirve para intuirlo, pensemos por un momento como si las diferenciales fueran reales, números normales; entonces operaríamos corrientemente así:

\( \sqrt{1+({\displaystyle \frac{dy}{dx})^{2}}}\cdot dx=\sqrt{\left(1+{\displaystyle \frac{(dy)^{2}}{(dx)^{2}}}\right)(dx)^{2}}=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}
  \)

Es decir, primero aplico la regla de las potencias a ese paréntesis; después meto el dx, elevándolo al cuadrado, dentro de la raíz y multiplicando por la distributiva a todo lo de dentro. Así, al multiplicar, se cancela el dx cuadrado de la segunda fracción y en efecto la igualdad sería cierta para reales, pues esas operaciones algebraicas son correctas y de lo más habitual.

Luego la igualdad es claramente cierta para reales.

Particularmente, en esa expresión no es así; tenemos números que tienden a cero y el 1. Pero el 1 es el elemento neutro para cualquier cosa y, así, intuitivamente, yo no lo veo “raro”; otra cosa es que no haya estudiado geometría diferencial y no te pueda hablar de los entresijos teóricos.

Saludos.

[Masacroso]

Aquí en proofwiki hay una manipulación similar a la que hace cristianocelli pero no se justifica demasiado bien.

Además echando un vistazo en libros de geometría diferencial no he visto esa identidad obtenerse por medio de manipulación de formas diferenciales.

ACTUALIZACIÓN: ok, ya he encontrado la respuesta de porqué no encontraba una derivación de la fórmula del OP usando teoría de formas diferenciales... y es que esa expresión no se corresponde a una forma diferencial.

[ciberalfil]

Parece mentira que a estas alturas, y después de lo debatido en este foro (según he leído, llego a provocar discusiones bastante violentas), todavía andemos así.

Creo que puede decirse que los matemáticos consideran que esas manipulaciones no son rigurosas, y por lo tanto, son incorrectas. Ahora bien, parece que en otras ciencias aplicadas se utilizan habitualmente y eso es causa de un divorcio entre los que las consideran correctas y los que no. El divorcio sigue existiendo actualmente y parece que la cosa no tiene aclare.

Yo no quisiera decantarme por ninguna de las partes, pero si he de ser franco, debo decir que mi formación ha sido técnica y reconozco que las he utilizado con mucha frecuencia, y sé realizarlas con bastante soltura, lo que no quiere decir que sepa justificarlas, no, no lo sé. La idea se basa en el uso de los "elementos diferenciales", objetos que aunque son de uso frecuente en la docencia de las ciencias aplicadas, fundamentalmente físicas e ingenierías, no existen en la matemática ortodoxa y por lo tanto en opinión de los matemáticos no deben utilizarse en el cálculo.

En fin, el debate ha sido largo, siguen las banderas en pie de guerra, ha habido muertos, y parece que la cosa no tiene aclare. Porque nadie parece estar dispuesto a dar su brazo a torcer.

No diré más, ya he dicho bastante, y no quisiera iniciar aquí un debate que puede tener más victimas de las que ya se han producido.

Y sí me gustaría que algún día alguien sea capaz de resolver este divorcio, demostrando rigurosamente de una vez para siempre la validez o la invalidez de dichos procedimientos, dejándolos definitivamente obsoletos si eso fuera lo correcto o dándoles la validez necesaria para que sean utilizados de forma generalizada, en las matemáticas y en las ciencias aplicadas. Pero eso aún no ha ocurrido.

Salu2.

[geómetracat]

Sin entrar en temas de diferenciales, elementos "infinitamente pequeños" y demás, la manera estándar de hacer estas cosas en matemáticas es, como dice Masacroso, usar geometría diferencial (de curvas). Explico un poco cómo funciona.

En general, una curva (digamos en el plano) se puede dar como una aplicación \( \gamma:(a,b) \rightarrow \Bbb R^2 \), donde \( (a,b) \) es un intervalo, que puede ser infinito. Si \( \gamma \) es de clase \( C^1 \) (diferenciable con derivada continua) entonces su longitud se puede calcular como:
\( \displaystyle L(\gamma) = \int_a^b ||\gamma'(t)|| dt \)
Esta fórmula se puede justificar definiendo la longitud de una curva (no necesariamente diferenciable) como el límite de la longitud de las aproximaciones poligonales cuando vamos haciendo aproximaciones más y más finas. Entonces, se puede probar que cuando \( \gamma \) es \( C^1 \) este límite coincide con la fórmula de arriba.

Ahora, si tienes una curva en el plano dada por una función \( y = f(x) \), la puedes parametrizar así:
\( \gamma(x) = (x, f(x)) \).
Si derivas:
\( \gamma'(x)=(1,f'(x)) \).
Y finalmente:
\( \displaystyle ||\gamma'(x)|| = \sqrt{1+(f'(x))^2} \).
Sustituyendo esto en la fórmula de arriba obtienes tu expresión.

Añadido:

CORRECCIÓN: que yo sepa en el caso de longitud de curva no podemos usar teoría de la medida.

Sí que se puede. La idea es que tienes una aplicación (medible) \( \gamma: I \rightarrow \Bbb R^2 \) donde \( I \) es un intervalo, y consideras el pullback por \( \gamma \) de la medida de Lebesgue en \( \Bbb R^2 \) a \( I \). Esto te da una medida en \( I \), que si la expresas en términos de la medida de Lebesgue (la usual) en \( I \) te dará la fórmula que buscamos.

Olvidad eso, lo que dije ahí no tiene ningún sentido.

[ciberalfil]

Creo que los casos en los que hay coincidencia de resultados, usando uno y otro método, son muchísimos. Los libros de física e ingeniería están plagados de ellos. Lo que quizás convendría hacer si pretendemos poner un poco de luz en este asunto, que tampoco sé si se pretende, sería centrarse en los casos en los que no la hay ya que sería el camino en el que deberíamos encontrar la solución a este divorcio. Es decir aquellos casos en los que usando la matemática ortodoxa se llegara a una solución distinta de la que se pudiera obtener practicando las manipulaciones descritas más arriba. El rigor es un argumento, no lo dudo, pero la efectividad puede también ser otro. ¿Que pasaría si se viera que no existen casos sin coincidencia, si en todos los casos se llegara al mismo resultado usando un método y otro?

Salu2.

[feriva]

En fin, el debate ha sido largo, siguen las banderas en pie de guerra, ha habido muertos, y parece que la cosa no tiene aclare. Porque nadie parece estar dispuesto a dar su brazo a torcer.

Pero en este hilo concreto no entiendo que haya polémica, ciberalfil.

cristianoceli hace una pregunta; y termina diciendo “Yo creo que como dx es infinitamente pequeño se puede multiplicar por dx pero no se si existirá otra razón matemática mas acertada”.

Yo no sé cuál es la razón matemática acertada en cuanto a la teoría de diferenciales, lo que sí sé es que eso que dice no puede ser especialmente la razón, porque la igualdad sería cierta aunque dx e dy no fueran números infinítamente pequeños. Por tanto, será por lo que sea, no lo sé, pero la igualdad no es sospechosa ni contraintuitiva (que es lo que yo he querido hacer ver). Claro que en otras igualdades sí que pasa que si las operas de forma corriente, como si no hubiera números infinitesimales y fuesen todos normales, el resultado al que se llega no es correcto; y ahí si tiene razón de ser decirse uno “huy, aquí pasa algo especial, voy a preguntar por qué”. Yo he entendido que cristianoceli ha preguntado esto porque ha creído ver algo “anormal” respecto del álgebra y el cálculo básico de limites, y en principio no hay nada anormal o contraintuitivo (aunque lo mejor interpreto mal el sentido de la pregunta de cristiano y simplemente quiere conocer la razón teórica rigurosa dentro de la teoría, sin que sospeche nada ni dude de la verdad de eso).

Saludos.

[ciberalfil]

Lo que yo he entendido que se pretendía, Feriva, con la pregunta inicial, era conocer la justificación rigurosa de la manipulación que se muestra en el primer mensaje, y yo creo que dicha manipulación no puede justificarse, con los conocimientos actuales, con rigor. Otra cosa es que fuera posible hacerlo en un futuro, quizás, pero hoy en día el rechazo de los matemáticos a esas prácticas es evidente. No se conoce justificación posible.

Salu2.