[ciberalfil]

Si veo lo que me dices, pero no veo como hacerlo.

[Juan Pablo Sancho]

Editado
Está corregido.
 
Lo pongo en spoiler por que es casi lo que se ha dicho.

Spoiler

Tenemos que si una función \( f  \) es derivable en \( x_0 \) entonces:
\( \displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \dfrac{df}{dx}  \)
Aquí \( \dfrac{df}{dx}  \) no es una fracción y no podemos multiplicar por \(  dx  \) que nos daría:
\( f'(x_0) \ \cdot dx = dy  \).
Simplemente por que la sucesión \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\dfrac{2}{n}}{\dfrac{1}{n}} = 2  \) y sólo podemos hacer \( \displaystyle  \lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\lim_{n \to +\infty} a_n}{\lim_{n \to +\infty} b_n}  \) si \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n \neq 0  \).
Otra cosa es la diferencial de una función.
Tenemos que \( f \) es diferenciable en \( x_0 \) si tenemos:
\( \vartriangle f(x) = A \cdot \vartriangle x + \vartriangle x \cdot \epsilon(\vartriangle x )  \).
Con \(  \displaystyle \lim_{\vartriangle x \to 0} \epsilon(\vartriangle x) = 0  \).
Tenemos que \(  A = f'(x_0)  \) y \( \vartriangle x \neq  0 \) incremento no nulo, definimos la diferencial de \( f  \) como:
\( df = f'(x_0) \cdot \vartriangle x  \).
Como \(  \vartriangle x = 1 \cdot \vartriangle x  \) tenemos que la diferencial  de  \( x \) es \( dx = \vartriangle x \neq 0  \).
Tenemos entonces que podemos dividir por \( dx \) y nos queda \( f'(x_0) = \dfrac{df}{dx}  \)

Entonces \( \displaystyle \sqrt{(dy)^2 + (dx)^2} = \sqrt{(\dfrac{dy}{dx})^2 + 1}\ \cdot  dx  \).
Estamos en el caso de una partición de Riemmann por eso \(  \vartriangle > 0  \) (orden creciente).
\( \displaystyle \sum_{i=0}^n \sqrt{(dy(x_i))^2 + (dx_i)^2} = \sum_{i=0}^n \sqrt{1+(\dfrac{dy(x_i)}{dx_i})^2} \vartriangle x_i  \)

Así que tenemos dos símbolos iguales que representan el mismo objeto \( f'(x_0)  \) pero uno tiene denominador cero y el otro no.

Aparte de esto cuando multiplicamos por \( dx  \) lo que estamos haciendo es en realidad un cambio de variable.

[cerrar]

.

La conexión que tengo  es bastante lenta por eso me cuesta devolver algunos mensajes mucho tiempo.
Gracias ciberafil por la mirada.

 

[ciberalfil]

Corrige el spoiler, parece que tienes errores de LaTex.

Salu2

[feriva]

Si veo lo que me dices, pero no veo como hacerlo.

Simplemente copia y pega el enlace que quieras; no hace falta que pongas etiquetas, salen solas.

Saludos.

[ciberalfil]

Respecto a tu spoiler, que veo que ya has corregido, algunos comentarios:

1.- Parece que identificas \( \Delta x \) con \( dx \) y eso me parece un riesgo importante, y que no estoy seguro que pueda aceptarse.

2.- Yo he identificado \( dx \) con un infinitésimo que es equivalente a \( \Delta x \) que no es lo mismo. Y observa que es suficiente para justificar la equivalencia de los infinitésimos expresados en ambas formas:

\( \sqrt[ ]{{dx}^2+{dy}^2} \equiv \sqrt[ ]{1+ \displaystyle y'^2} dx \)

o lo que viene a ser equivalente:

\( \sqrt[ ]{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2} \equiv \sqrt[ ]{1+ \displaystyle y'^2} \Delta x \)

que es lo que justifica que la manipulación (incorrecta si se realiza en términos de igualdad, pero correcta si se realiza en términos de equivalencia) pueda realizarse. Ya que la equivalencia entre ambos infinitésimos justifica rigurosamente la obtención de idéntico resultado en la integración, realizada como límite de una suma de Riemann:

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\sqrt[ ]{{(\Delta_i x)}^2+{(\Delta_i y)}^2} = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\sqrt[ ]{1+ \displaystyle (y')^2} \Delta_i x \)

Los matemáticos, que suelen ser más rigurosos que los técnicos o incluso los físicos debido a que manipulan funciones de muy diversa índole, trabajan con los diferenciales, e incluso crean teorías con las formas diferenciales, pero a físicos e ingenieros habitualmente solo nos interesa realizar la integración y obtener un resultado, lo que generalmente conduce a validar la manipulación. Pero sí parece que la manipulación se hace mas rigurosa y se puede justificar mejor si se realiza a nivel de equivalencia de infinitésimos que a nivel de igualdad.

Todo esto ten en cuenta que estaría cogido con pinzas, y aunque soy yo el que lo propone, no estoy seguro de no estar diciendo un montón de barbaridades, que también podría ser, ya que esto desde luego no está en los libros. Ni en los de matemáticas, ni en los de física. Y quizás podría estar en los dos.

Espero que esto te ayude a entender mi propuesta.

Salu2

[nia]

Notas

Creo que la discusión entre grande/pequeño está de mas, que es como el chiste:
A-    ¡que diminuto es Vd!
B-    ¡no!-¡lo que pasa es que estoy muy lejos!.
Para comprobarlo no necesitamos mas que arrancarle la lupa a feriva (¡y, de paso, su guitarra de músico callejero!, lo que lograríamos legalmente con la expropiación que procede a su justo tormento!, aunque a ciberalfil le parezca feo), que vamos tras ello, pero es que con un modesto ácaro puede montar la mejor guerra de las galaxias, el arte que nos exaspera.

La costumbre de hablar de cifras infinitas o infinitésimos, creo que obedece a los tanteos con cifras corrientes y molientes, para intentar detectar el cumplimiento del armazón lógico de la noción de límite.

Estos tanteos, cuando son diferencias, se anotan con el triángulo de la delta mayúscula, mientras que se anotan con la letra d cuando sabemos que se cumple el límite, lo que limita las cifras a la precisión que deseamos en cada momento (la implícita épsilon), todos ampliados o acercados por nuestro reo "prefe".

No creo por tanto que exista mucha discusión seria entre matemáticos y técnicos, que los técnicos suelen manejar los teoremas contrastados, que bastante tienen con comprobar experimentalmente lo consagrado que a veces no se ajustan a la naturaleza de las cosas, precediendo a la necesidad de su ampliación, como es harto frecuente en la historia. No hay que confundir un ferretero constructor de "ferramientas" con un buen carpintero o "ebanistero", que el avance se produce cuando se ponen de acuerdo.

[feriva]

Para comprobarlo no necesitamos mas que arrancarle la lupa a feriva (¡y, de paso, su guitarra de músico callejero!... )

Un momento, un momento, que cuando digo que he sido músico callejero es cierto con matices; siempre he tocado bajo techo, entre otras cosas, porque mi instrumento no se puede llevar debajo del brazo. He tocado el piano desde garitos de poca monta hasta en hoteles; algunos de cinco estrellas, como el Princesa Plaza, ¡que todavía hay clases! (esto es broma, muchos músicos que tocan en la puerta del metro son mejores que yo, eso no quiere decir nada).

 En cuanto a lo que nos atañe.

La costumbre de hablar de cifras infinitas o infinitésimos, creo que obedece a los tanteos con cifras corrientes.

No lo veo como una “costumbre”, o sí, pero en cualquier caso es antes una necesidad.

Pensemos en esto \( \underset{x\rightarrow0}{lim}x+r=r
  \), donde “r” es un número real.

Surge un problema, porque aunque “r” sea real, puede ser tan pequeño como quiera, por lo que habría uno tan pequeño con el que ocurriría esto \( \underset{x\rightarrow0}{lim}x+r\neq r
  \). Si queremos que \( \underset{x\rightarrow0}{lim}x+r=r
  \) sea algo que se pueda usar en todo caso, general, “x” tiene que ser cero, de lo contrario, existen “erres” tan pequeños que la suma no se puede considerar igual a “r”.

Así es de imaginar cómo un día los matemáticos se vieron entre la espada y la pared; x tiene que ser cero patatero tal cual, pero a la vez existen “ceros” más pequeños o más grandes, lo cual sale a relucir con la resolución de límites.

La solución es sumamente parecida a lo que pasa “por arriba” con el infinito. Por muy pequeño que sea un número real distinto de cero (que lo puede ser todo lo que quiera) nos vemos obligados a considerar que existen otros números mucho más pequeños que cualquier número real distinto de cero. Y ésta es la diferencia, por “abajo” existe un tope, un número con unicidad, el cero, por arriba, no hay un tope. Así, en los reales, los infinitesimales tiene el valor de ese tope, pero mirado esto con una lupa hiperreal existe un micromundo entre el cero y los números reales más cercanos a cero.

En análisis real no se usan directamente, pero siempre están en la sombra, son necesarios para que esto \( \underset{x\rightarrow0}{lim}x+r=r
  \) pueda ser verdad siempre sin dar problemas.

Si nos vamos arriba, a los grandes, y contamos 1,2,3,4,5,6... nunca llegaremos a infinito; ni contando eternamente. Esto lo aceptamos todos, es la propiedad de cerradura algebraica; para saltar al infinito no podemos sumar ni de 1 en 1 ni de cantidad finita en finita.

Así, cualquier número real se queda muy lejos de eso que llamamos infinito; del mismo modo, cualquier número real (distinto de cero) por pequeño que sea, se queda muy lejos de los infinitesimales.

Pero esa “clausura”, si se le puede llamar así, no tiene una barrera estática (ni no estática).

Eso, que es problemático, no se inventa, surge, aparece en nuestras cabezas cuando pensamos en ello con cierta profundidad, no simplemente tanteando con cifras corrientes.

Saludos.

[ciberalfil]

Bueno, yo lo siento pero me vais a permitir que no intervenga en el debate privado entre Nia y Feriva. Estoy mas preocupado por el problema inicial de este hilo y mi objetivo es tratar de dar una justificación adecuada a las manipulaciones que se explicaron en el primer mensaje.

Como todos sabéis, o debéis saber, los infinitésimos se clasifican en clases de equivalencia, de forma que en cada clase se agrupan todos los infinitésimos equivalentes entre si. Entonces quizás podría decirse que cuando las manipulaciones convierten un infinitésimo en otro equivalente (perteneciente a su misma clase), dicha manipulación sería válida, siempre con vistas a su integración\( (^*) \). Pondré algún ejemplo para ilustrar lo que digo:

1.- Dif. de una función: \( \qquad\Delta y\equiv y'\Delta x\quad \Rightarrow{}\quad dy\equiv\ y'dx \)

2.- Dif. de longitud: \( \qquad\sqrt[ ]{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\equiv\sqrt[ ]{1+y'^2}\Delta x\quad \Rightarrow{}\quad \sqrt[ ]{(dx)^2+(dy)^2}\equiv\sqrt[ ]{1+y'^2}dx \)

lo que nos conduce de forma inmediata y matemáticamente rigurosa a las siguientes identidades:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}dy=\displaystyle\int_{a}^{b}y'dx\qquad\qquad\qquad\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{(dx)^2+(dy)^2}=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{1+y'^2}dx \)

y es entonces cuando nuestro inconsciente nos empuja a pensar que es posible operar con estas expresiones como si estuviéramos utilizando expresiones algebraicas de corte clásico (fracciones, polinomios, etc.), cuando en realidad en dichas expresiones intervienen límites, sumas infinitas y otros bichos que no vemos pero que realmente están ahí y que debemos tener en cuenta si queremos llegar a buen puerto.

Como muestra bien vale un botón, aunque imagino que podrían citarse unos cuantos casos más, de uso bien extendido en los libros de física e ingeniería. Se podría hacer algo muy parecido por ejemplo con la rectificación de curvas alabeadas y el cálculo de superficies y volúmenes en \( \mathbb{R^3} \), expresados en sus coordenadas paramétricas, y supongo que el tema sería generalizable a dimensiones superiores, aunque no merece la pena mostrar los cálculos. La idea está bien expresada y el problema inicial del hilo más que aclarado.

\( (^*) \) Siempre, claro está, que el objetivo sea realizar una integración, ya que en otro caso dichas manipulaciones podrían conducir a errores considerables y ahí no habría nada que decir. Se impondría la matemática ortodoxa y punto.


Salu2

[nia]

ciberalfil:

creo que nos estamos refiriendo al mismo tema desde el principio, bromas aparte entre feriva y yo, lo que niegas y afirmas implícitamente empleando infinitésimos equivalentes, que pienso son deducciones al suponer que existen límites en todo lo que manipulas, por lo cual puedes prescindir de la coleta que seguiría en el desarrollo, para determinada precisión en cálculos ad hoc, esto es: poder manejar incrementos normalitos en vez de los raritos diferenciales, pero conservando "d" como recuerdo de su origen limitado por tener límite, por si tienes que aplicar mas de estas analogías.

En general no se puede decir que, p.e., el límite_del_cociente de dos funciones sea el cociente_del_límite de las funciones, que no es válido tal especie de homomorfismo, por mas frecuentes que se hallen, que "fallan" en los que se denominan históricamente "indeterminados" (o que hay que repasar acudiendo a las definiciones). Y esto no significa que el número que dieran los límites sean raros, que pueden ampliarse hasta comprender a infinitos, que puede tratarse de comparar las velocidades de dos viajeros, tanto si llegan a Roma como a sus antípodas en Cartago.

[feriva]

Hola, nia, muy buenos días.

ciberalfil:

creo que nos estamos refiriendo al mismo tema desde el principio, bromas aparte entre feriva y yo, lo que niegas y afirmas implícitamente empleando infinitésimos equivalentes, que pienso son deducciones al suponer que existen límites en todo lo que manipulas, por lo cual puedes prescindir de la coleta que seguiría en el desarrollo, para determinada precisión en cálculos ad hoc, esto es: poder manejar incrementos normalitos en vez de los raritos diferenciales, pero conservando "d" como recuerdo de su origen limitado por tener límite, por si tienes que aplicar mas de estas analogías.

En general no se puede decir que, p.e., el límite_del_cociente de dos funciones sea el cociente_del_límite de las funciones

Pienso que él no dice que siempre se pueda (creo entenderle) dice que cuando se puede.

Ciertamente el límite de un cociente tiene una excepción en cuanto a la regla que citas y es cuando el denominador es cero. Pero esto no quiere decir que no se puede resolver una indeterminación del tipo 0/0. Un infinitésimo siempre es equivalente consigo mismo, es decir, si consideramos que d(x) tiende a cero, \( \dfrac{d(x)}{d(x)}=
 1 \) o con el símbolo que sea (siendo el mismo) arriba y abajo de la fracción; a eso se refiere la equivalencia de un infinitésimo; aunque en general es con dos o más distintos, los cuales se representan con el término general de las sucesiones que sea.

En ese caso no suele haber peligro, salvo que en la cuenta quede involucrado algo más; por ejemplo, alguien podría hacer esto, y haría mal:

\( \dfrac{d(x)}{d(x)}\left(d(x)+5\right)=d(x)\left(1+\dfrac{5}{d(x)}\right)
  \)

Si entendemos que d(x) es un infinitesimal, con esa condición, no se puede multiplicar \( \dfrac{1}{d(x)}
  \) por la distributiva, porque dentro nos queda este sumando \( \dfrac{5}{0}
  \); no es que no se pueda (a mí no me gusta decir “no se puede” a secas) es que no se puede resolver, nos queda una indeterminación del tipo \( 0\cdot\infty
  \).

En cambio, si hacemos, \( \dfrac{d(x)}{d(x)}(d(x)+5)=1\cdot(0+5)=5
  \), dudo de que el resultado se desvíe de la realidad, puesto que ahí sólo hay un número que tiende a cero. Si entraran en juego otros, d(y), d(z)... los que fueran, entonces ya sí estaríamos ante un problema de diferenciales de verdad. Pero si eso se entiende sólo como una letra que dice que el número tiende a cero, no es más que un límite normal y corriente donde, ahí sí, tenemos una regla más segura: el límite de un producto es el producto de los límites: y los límites de los factores \( \dfrac{d(x)}{d(x)}
  \) y \( (d(x)+5)
  \) son 1 y 5.

Claro, en ese caso lo mismo me da decir dx que \( x\rightarrow0
  \) con la expresión \( \underset{x\rightarrow0}{lim}\dfrac{x}{x}(x+5)
  \), sólo cambia el garabato “dx” por “x”, y así visto no es más que límite elemental, de colegio.

Si ciertamente es muy bueno ser cuidadoso, tener cautela cuando hay que tenerla, también es bueno alejar los miedos y las supersticiones (que no son nada científicas, son más para músicos callejeros ). Una cosa no debe impedir la otra, todo en su justa medida.

Saludos.