[ciberalfil]

Se me ocurre que quizás fuera más correcto expresar la manipulación del primer mensaje de este hilo, observando los diferenciales como infinitésimos, en una ecuación de la siguiente forma:

\( \Delta L\equiv dL \equiv   \sqrt[ ]{{dx}^2+{dy}^2} \equiv \sqrt[ ]{1+ \left (\displaystyle\frac{dy}{dx}\right )^2} dx \)

Dicha ecuación haría referencia a la equivalencia entre los cuatro infinitésimos incluidos en ella, lo que quizás podría resolver el problema. No lo sé, es tan solo un disparo al aire. Dichas expresiones no son necesariamente iguales, pero sí representan a cuatro infinitésimos equivalentes entre sí. Y eso permitiría, de forma rigurosa, realizar su sumatoria (integración) con el mismo resultado para todas ellas. La equivalencia entre los infinitésimos así lo garantiza.

Salu2

[feriva]

yo creo que dicha manipulación no puede justificarse, con los conocimientos actuales, con rigor. Otra cosa es que fuera posible hacerlo en un futuro, quizás, pero hoy en día el rechazo de los matemáticos a esas prácticas es evidente. No se conoce justificación posible.

Eso que has dicho me ha dado una idea, ciberalfil; si bien no va a servir para justificarlo desde el punto de vista de la geometría diferencial, quizá sí desde el punto de vista de la euclídea; tómese como un divertimento (no demasiado en serio).

En realidad el dibujo es una figura de lados rectos en un plano, un tríangulo a partir del cual, mediante una homotecia, podemos obtener otro más grande por semejanza.

Buscamos de razón de semejanza un úmero muy grande \( r\rightarrow\infty
  \) tal que \( d(x)r=a\in\mathbb{R}
  \) y lo mismo para \( d(y)r=b
  \); así los hemos transformado en números normales; ésas son ahora las medidas de los lados del triángulo semejante.

Entonces ya es una ecuación normal

\( \sqrt{1+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}\cdot a=\sqrt{\left(1+{\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}}}\right)a^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
  \).

Porque en realidad es un problema de hace mil años vestido con una ecuación moderna (que le sienta como a un Cristo dos pistolas, utilidad y verdad matemática aparte).

Saludos.

[ciberalfil]

Pues no sé que decirte Feriva, no esta mal pensado, pero si negamos la existencia de números reales infinitamente pequeños, también debemos negar la existencia de números reales infinitamente grandes, supongo. Me gusta más el planteamiento que inicié en mi mensaje anterior. Lo he estado pensando y me gusta la idea que sugiere. Además llevo un rato pensándolo y se me ha ocurrido la forma de mejorarlo. Veamos:

Admitamos que en un proceso de paso al límite en el que \( \Delta x \) se hace tan pequeño como queramos y que por lo tanto, podemos considerarlo como infinitésimo, se debe cumplir que:

\( \Delta L = \sqrt[ ]{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt[ ]{1+\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x \)   (1)

ecuación que claramente es una igualdad si consideramos la relación pitagórica definida en el primer mensaje de este hilo, y teniendo en cuenta, por la consideración del diferencial como infinitésimo, las siguientes equivalencias:

\( \Delta L\equiv dL \)  (2)        \( \Delta y\equiv dy \)  (3)        \( \Delta x\equiv dx \)  (4)

Entonces estaría justificada la expresión que expuse en mi mensaje anterior:

\( \Delta L\equiv dL \equiv   \sqrt[ ]{{dx}^2+{dy}^2} \equiv \sqrt[ ]{1+ \displaystyle y'^2} dx \)  (5)

y de ahí, mediante el salto a la integración como límite de la suma de infinitésimos, estaría perfectamente justificado el resultado y por lo tanto la manipulación.

Es decir las manipulaciones se justifican no por la igualdad de las expresiones, sino que al ser tratadas como infinitésimos, se justifican por sus equivalencias. La igualdad de resultados entonces se justifica con rigor, a la hora de realizar las integraciones. Me gusta el argumento. No estoy seguro de que sea válido, pero me gusta.

Salu2.

[cristianoceli]

Lo que yo he entendido que se pretendía, Feriva, con la pregunta inicial, era conocer la justificación rigurosa de la manipulación que se muestra en el primer mensaje, y yo creo que dicha manipulación no puede justificarse, con los conocimientos actuales, con rigor. Otra cosa es que fuera posible hacerlo en un futuro, quizás, pero hoy en día el rechazo de los matemáticos a esas prácticas es evidente. No se conoce justificación posible.

Salu2.

No tenia idea que no pudiese justificarse con conocimientos actuales .

Saludos

[ciberalfil]

Pues sí, los matemáticos niegan el rigor dichas manipulaciones, aunque si sigues leyendo se me ha ocurrido una forma que quizás sí les diera la debida justificación. Ten en cuenta que voy pisando huevos, y no estoy demasiado seguro de no romper alguno, pero cambiando el enfoque inicial, substituyendo las igualdades por equivalencias entre infinitésimos, quizás sí se pudiera.

Salu2.

[geómetracat]

Una manera totalmente rigurosa de probar eso es la siguiente.
Supongamos que tenemos una función \( y=f(x) \) y queremos encontrar la longitud de la curva en el segmento entre \( x=a \) y \( x=b \). La longitud de la curva, como he dicho antes, es el límite de las aproximaciones poligonales cuando hacemos las aproximaciones más y más finas.
Tomemos una partición \( a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b \) y consideremos la curva poligonal con vértices \( (x_0, f(x_0)), (x_1,f(x_1)), \dots, (x_n, f(x_n)) \). La longitud del segmento de recta entre dos puntos consecutivos \( (x_i, f(x_i)), (x_{i+1}, f(x_{i+1})) \) es, por pitágoras:
\( \displaystyle \sqrt{(x_{i+1} - x_i)^2 + (f(x_{i+1}) - f(x_i))^2} =  \sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i}\right)^2} (x_{i+1} - x_i) \), y por tanto
\(  \displaystyle L = \sum_{i=0}^{n-1}  \sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i}\right)^2} (x_{i+1} - x_i) \)

La idea ahora es pasar al límite tomando particiones más y más finas.
Pero para probar que la fórmula funciona, es mejor usar primero el teorema del valor medio para obtener que \( f(x_{i+1}) - f(x_i) = f'(c_i)(x_{i+1} - x_i) \)
para algún \( c_i \in (x_i, x_{i+1}) \).
Sustituyendo, tenemos que
\(  \displaystyle L = \sum_{i=0}^{n-1}  \sqrt{1 + (f'(c_i))^2} (x_{i+1} - x_i) \),
y esta expresión tiende a la integral de Riemann tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a \( 0 \), siempre y cuando la integral exista.
Para asegurar que la integral exista, una condición suficiente es que la derivada de \( f \) sea contínua, es decir, que \( f \) sea de clase \( C^1 \).

El problema con razonar "localmente" es que en general no se ve claro (por lo menos yo no lo veo muy claro) que hacer el "límite" de tu expresión y después integrar sea lo mismo que tomar el límite de las sumas de Riemann. Tampoco está demasiado claro cuál es el significado de
\( \displaystyle dL = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right)^2} dx \)
de manera aislada, sin integral. Esto no quiere decir que esa expresión no tenga sentido, pero habría que definir con precisión qué quiere decir (se puede hacer en términos de formas diferenciales, pero creo que eso no es lo que se está discutiendo aquí).
En cualquier caso la idea de fondo es esencialmente la misma se haga como se haga.

[ciberalfil]

Bueno, lo que yo veo en estos métodos, es que son mucho más directos e intuitivos que los ortodoxos. Si se pudieran justificar mínimamente, serían mucho más ágiles, lo que sería su principal ventaja.

Salu2

[feriva]

Pues no sé que decirte Feriva, no esta mal pensado, pero si negamos la existencia de números reales infinitamente pequeños, también debemos negar la existencia de números reales infinitamente grandes, supongo. Me gusta más el planteamiento que inicié en mi mensaje anterior. Lo he estado pensando y me gusta la idea que sugiere. Además llevo un rato pensándolo y se me ha ocurrido la forma de mejorarlo.

Mi idea no la veo tan distinta. Tú lo ves enpequeñeciendo en vez de agrandando, partes de unos lados “grandes” (quiero decir que cuando escribes la variación Delta entiendo que te refieres a números reales) y después pasas al triángulo pequeño; y aunque éste desaparezca o incluso deje de existir, es obvio que la semejanza es un concepto matemático tan abstracto que se mantiene, no desaparece. Yo creo que en eso estaremos de acuerdo.

En mi caso es como si lo mirara con una lupa; si estuviera sobre una superficie esférica, por ejemplo, y lo agrandara, se deformaría; pero estoy pensando en la igualdad para el triánguo pequeño, que es la que está en cuestión, y nada me impide usar la semejanza para verlo en grande independientemente de en qué superficie esté; por semejanza, la relación entre los lados se mantendrá y la igualdad tendrá que funcionar lo mismo.

En cuanto a la razón “r” que tiende a infinito.... no sé cuál sería, pero creo que tiene que existir. Dada una indeterminación del tipo \( \dfrac{\infty}{\infty}
  \) al resolver un límite, puede darnos cualquier cosa según los casos, \( \dfrac{102}{8}
  \), \( \dfrac{3}{2}
  \)... lo que sea, por lo que me parece claro que, aunque todos tengan el mismo “valor”, infinito, los hay de distintos tamaños, porque los límites (cuando se puede deshacer la indeterminación) nos informan de distintas proporciones, como pasa con los infinitesimales.

Sin saber lo que dicen los matemáticos acerca de esto, supongo que será posible considerar unas razones “r” indefinidamente grandes tales que al multiplicarlas por los infinitesimales nos den valores reales; a lo mejor algunas se pasan de grandes u otras se quedan cortas (no lo sé) pero tendrán que existir unas “intermedias”. No veo impedimento porque si yo puedo “imaginar” esto 0,000...1 también me puedo imaginar eso sumado 10 veces, con lo que ya habrá un cero menos por el final (antes de llegar al 1). Por tanto, como nadie nos pone límite para sumar el infinitesimal todas las veces que queramos, teóricamente ha de existir un valor muy grande, una razón que tienda a infinito, tal que eso se transforme por el producto en un número real.

Saludos.

[ciberalfil]

Perdón por el inciso
Oye feriva, veo que en tus mensajes aparece siempre en la parte inferior el enlace al mensaje, y no sé como lo haces, me puedes explicar?

Gracias.

[feriva]

Perdón por el inciso.
Oye feriva, veo que en tus mensajes aparece siempre en la parte inferior el enlace al mensaje, y no sé como lo haces, me puedes explicar?

Gracias.

Sí. Arriba de la página, donde pone inicio, Buscar, Reglas... pone Perfil, al lado de Herramientas. Pinchas en Perfil y ahí te vienen varias cuadros para poner cosas. Abajo en esa página pone "Firma", que es donde yo lo he puesto. Tienes que ponerlos con las etiquetas de de url entre corchetes la de entrada url y la de cierre \url o no sé si se pone automáticamente, ya no me acuerdo, míralo a ver.

Saludos.