[ciberalfil]

Como todos sabéis, o debéis saber, los infinitésimos se clasifican en clases de equivalencia, de forma que en cada clase se agrupan todos los infinitésimos equivalentes entre si. Entonces quizás podría decirse que cuando las manipulaciones convierten un infinitésimo en otro equivalente (perteneciente a su misma clase), dicha manipulación sería válida, siempre con vistas a su integración\( (^*) \).

Perdon por citarme a mi mismo, pero es que no sé si se me ha entendido.

Solo he sugerido, ni tan siquiera lo he afirmado, que las manipulaciones con diferenciales podrían aceptarse siempre que se cumplan las tres condiciones siguientes:

1.- Que los diferenciales puedan considerarse como infinitésimos de un proceso de paso al límite.
2.- Que dichas transformaciones conviertan un diferencial en otro diferencial equivalente.
3.- Que la manipulación tenga como fin último realizar la integración en una suma de Riemann.

y he tratado de justificar con el rigor que he podido dicha afirmación, aunque no sé si lo he conseguido.

Salu2.

[nia]

feriva:

no tienes nunca que perder el tiempo con 5/0 porque no está definido, ni se te puede presentar en el caso tratado actualmente, 5/dx, porque dx es distinto de 0 y se supone que es un número cierto que has tomado o calculado, sea 5678999993443 o 0.0000000000023.

Decir que es de tipo infinito, cuando el denominador tiende a 0, es una forma de hablar simplificada de una condición lógica que sabemos que se cumple, con cifras dx supuestamente tan concretas como las anteriores citadas. Otra cosa es que la condición lógica no dependa de los valores mas distantes de 0 (o de los primeros términos en sucesiones) y que se puedan tantear valores mas avanzados próximos a 0 para orientarnos (que con tu lupa podrían parecer distantes ¡hasta considerarlos normales!).

Nota El término "Infinitésimo" me parece que proviene de tomar en las sucesiones términos avanzados, que lo asocio (o asociamos) históricamente a términos muy pequeñitos porque solemos trabajar cerca del cero a lo que reducimos muchos problemas.

El tipo  (cero.infinito)  que es reducible al tipo  (cero:(1/infinito))  que es del tipo (cero:cero) no resuelve nada, porque seguimos exponiendo los tipos de límites parciales de una función compuesta del cociente de dos, que puede dar cualquier límite o nó. El asunto, por el que se elige pasarlo a un tipo determinado, es cuestión de lo mas estudiado que esté su resolución, sacando regletas de aplicación. Nota Los infinitésimos también se emplean en límites y no son fijos, que dependen de los requerimientos de las regletas para aplicarlas.
Nota 1=lím dx->0 (dx/dx)=lím dx->0 (dx).(1/dx)==0.infinito   
Nota 0=lím dx->0 (  0/dx)==0:0

Por otra parte conviene remarcar, como en otros hilos, que la adscripción a un mismo tipo no hace que las sucesiones sean equivalentes a todos los efectos, ni en el mero límite del cociente que debiera dar 1, y, sin embargo, puede o no dar una solución cualquiera.

[feriva]

feriva:

no tienes nunca que perder el tiempo con 5/0 porque no está definido, ni se te puede presentar en el caso tratado actualmente, 5/dx, porque dx es distinto de 0 y se supone que es un número cierto que has tomado o calculado, sea 5678999993443 o 0.0000000000023.

Pero yo he especificado, “si dx es un infinitesimal, con esta condición...”, luego no es, en valor, distinto de cero, dx=0, es cero modelo patatero. Y de ahí que haya hecho \( d(x)+5=5 \), si no, no lo podría haber hecho. No obstante, se puede considerar \( \dfrac{5}{dx}
  \) y ver qué sale; y sale que no tiene límite, se va a infinito. Desde luego que no está definido, pero si se lo das a un máquina, al Wolframalpha (poniendo que x tiende a cero, en vez de dx, para que lo entienda) no te dice “esto no se puede hacer”, te dice igual a infinito.

Hay una diferencia con el cero patatero corriente (para el cual no tiene sentido dividir ni hallar nada) pero no está en el valor, está en el signo: un infinitesimal puede ser \( 0^{+}
  \) ó \( 0^{-}
  \).

Como había dicho por ahí en otra respuesta, si \( lim_{x\rightarrow0}x+r=r
  \), x tiene que ser cero en valor.

Para verlo, pon que x valiera 0,00001 y “r” valiera 0,00009; no sería verdad x+r=r. Luego ese x tiene que ser más pequeño. Pero “r” también puede serlo, porque los reales se acercan a cero tanto como queramos.

Metamos más ceros en medio y tomemos 0,0000000000000001 y 0,0000000000000009; tampoco sería verdad x+r=r, serían números reales distintos. Como estamos considerando reales muy pequeños, tenemos que distinguirlos dentro de los reales pequeños, no van a ser el mismo número, no sería consistente.

Así que esto pierde la generalidad \( lim_{x\rightarrow0}\,\, x+r=r
  \)  a no ser que x sea cero de verdad, en valor.

(Otra cuestión es que a lo mejor podamos considerar el valor de los diferenciales como números reales pequeños y despreciar lo despreciable).

Pero la cuestión es ésa, entre cero y cualquier número real distinto de cero, por pequeño que sea, es necesario que existan “cosas” de valor cero que tiene distintos tamaños. Lo fascinante de esto para mí es... ¿cómo debemos considerar la frontera, es vacía? No sé cómo se considera porque no he estudiado estas cosas; yo la consideraría inaccesible pero no vacía, es decir, existirían infinitesimales que fueran a la vez reales, pero no se podrían usar, estarían sólo para separar y, así, justificar por qué el valor de los no inaccesibles es cero en la práctica (siendo los no inaccesibles los infinitesimales que aparecen en las cuentas).

Esto en cuanto a los infinitesimales, que los diferenciales ya son otra cosa, van más allá como objetos matemáticos. A principio del siglo XX, los Lorenz, Einstein... y algún físico más, inventan los tensores y con ello se empieza ya el camino de lo que van a ser los diferenciales de hoy, pero no hay que olvidar que este símbolo “dx” lo inventa Leibniz mucho antes de que exista el concepto moderno; y para Leibnitz derivada era un cociente entre diferencias pequeñas a las que llamaba así, tal como se escriben hoy. Ocurre entre otras cosas que tampoco se habían inventado los conjuntos, con lo que él no tenía ese problema de si pertenecían o no a los reales. Y el caso es que le salían las cuentas bien, aunque con eso no pudiera hacer cuentas tan elaboradas como las que se emplean hoy para considerar cosas sobre superficies onduladas y otros aspectos similares.

Saludos

[Masacroso]

He estado echando un vistazo sobre libros de análisis no estándar. De todos los que he hojeado me ha gustado mucho la exposición clara, justificada (motivada) y sencilla del libro Notes on the hyperreals de Robert Goldblatt (he leído algo menos de la mitad).

Entonces visto desde el análisis no estándar se puede entender la expresión \( dL=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} \) como la longitud de un vector infinitesimal \( (dx,dy) \), y si \( y \) depende de \( x \) y \( dx>0 \) entonces nos queda la expresión \( dL=\sqrt{1+(dy/dx)^2} dx \), donde \( dy/dx \) es la derivada (o un valor infinitamente cerca a la derivada) de \( y \) respecto de \( x \) (siendo \( dy \) el diferencial de \( y \)). Sin embargo la notación \( dL \) sigue siendo confusa, ya que la expresión no es diferencial de ninguna función (dentro del análisis no estándar tampoco). Sería más apropiado algo como \( |dv| \) con \( v \) la función identidad en \( \Bbb R^2 \).

Un camino muy semejante (o quizá equivalente) es el que se toma en esta propuesta, encuadrado ya dentro del análisis estándar.


Siguiendo con el análisis no estándar y la notación arriba acordada entonces si \( C \) es una curva cerrada en \( \Bbb R^n \) y \( v \) es la función identidad en \( \Bbb R^n \) tenemos que

\( \displaystyle \int_C |dv|=\mathrm{sh}\left(\sum_{k=0}^n |dv|\right) \)

cuando la serie de la derecha existe, donde \( \mathrm{sh} \) es la sombra (el valor real asociado) de la suma hiperreal de la derecha donde \( n \) es un número hipernatural ilimitado y \( \{p_0,p_1,\ldots, p_n\} \) es una partición infinitesimal de \( C \) con \( |p_k-p_{k+1}|=|dv| \) para todo \( k\in\{0,\ldots, n-1\} \).

Entonces si \( \gamma:[0,1]\to\Bbb R^n \) es una parametrización diferenciable a trozos de \( C \) el cambio de variable \( v=\gamma(t) \) es más claro, teniendo que \( |dv|=|d(\gamma(t))|=|\gamma'(t)||dt| \), es decir, que

\( \displaystyle \int_C |dv|=\int_0^1|\gamma'(t)||dt| \)

donde \( |dt|=dt \) si \( dt>0 \).

[ciberalfil]

Ya lo he dicho antes, pero vuelvo a insistir. En mi opinión el diferencial de una función real de variable real, habitualmente representado por \( dy \) debe tener una interpretación sencilla en análisis estandar, ya que su uso está generalizado en la geometría y el cálculo. Buscar explicaciones fuera de estas disciplinas es complicar el problema y sacarlo fuera de contexto. No quiere eso decir que no haya una interpretación correctísima en el análisis no estandar, pero debe haber otra más sencilla creo yo en el análisis estandar. La interpretación como infinitésimo equivalente al que se genera como \( \Delta y \) creo yo que es válida, aunque ya veo que no te satisface demasiado. Un diferencial puede ser una aplicación lineal y un infinitésimo al mismo tiempo, creo yo, de hecho todas las aplicaciones lineales pueden serlo si se integran en el proceso de paso al límite adecuado. No son visiones incompatibles, y utilizando la segunda visión se pueden justificar muchas de sus propiedades:

\( dx\equiv\Delta x\qquad\qquad dy\equiv\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x) \)

con todo lo que se puede deducir a partir de ahí. Si aceptamos además que deben ser aplicaciones lineales entonces directamente se deduce que:

\( dx=\Delta x\qquad\qquad dy=y'(x)dx \)

y la derivada se puede interpretar así como el cociente de dos diferenciales, todo ello realizado con funciones reales de variable real, en el campo de los números reales. Sin espacios vectoriales ni números hiperreales, no es necesario.

Por supuesto que para salirnos de este contexto es necesario, en la mayoría de los casos, recurrir a definiciones más complejas y rigurosas, como las que hay en los libros de matemáticas, pero eso no quiere decir que esta interpretación no sea correcta.

Salu2

[xjca]

Buenas, llego un poco tarde pero si todavía no lo has podido resolver te puedo dar una mano.
Lo voy a resolver pero sin aplicar la derivada, pero seria lo mismo con ella:
 \(  {L}^2 =  {x}^2+{y}^2 \)

Luego divido todos los terminos por  \(  {x}^2  \):

 \(  \frac{{L}^2}{{x}^2 } =  \frac{{x}^2}{{x}^2}+\frac{{y}^2}{{x}^2} \)

Luego simplifico y paso el termino \(  {x}^2  \):

\(  {L}^2 =  (1+\frac{{y}^2}{{x}^2})*{x^2} \)

Y por ultimo paso el cuadrado y simplifico, quedando:

\(  L =  \sqrt[]{(1+\frac{{y}^2}{{x}^2})}*x \)