Hola Luis.
Efectivamente lo que señalas en rojo es otro craso error mio injustificable. He efectuado la pertinente revisión que paso a detallar:
Se tiene para el entero \( b \), \( b=3\gamma\pm{\sqrt[ ]{3}\sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}} \).
Si \( \sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}= \frac{\eta}{\sqrt[ ]{3}} \), o sea, \( 4\varphi^3=\gamma(3\eta^2-\gamma^2) \), \( b \) es múltiplo de 3 y la solución no es primitiva. Deberá ser,
\( \sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}=\frac{\eta}{\sqrt[ ]{3}} \), o bien, \( 4\varphi^3=\gamma(\frac{\eta^2}{3}-\gamma^2) \). (1)
Con esto se tiene,
\( b=3\gamma\pm{\eta} \), que con \( a+b=3g=6\gamma \), da, \( a=3\gamma+\eta \) , \( b=3\gamma-\eta \).
Será también,
\( (3\gamma+\eta)^3+(3\gamma-\eta)^3=6^3\varphi^3 \), de donde, \( \gamma(3\gamma^2+\eta^2)=4.3\varphi^3 \), o bien, \( \gamma(3\gamma^2+\eta^2)=3.4\varphi^3 \). (2)
De (1) y (2) se obtiene,
\( 3\eta^2-\gamma^2=\frac{3\gamma^2+\eta^2}{3} \), o bien, \( 8\eta^2=6\gamma^2 \), y finalmente, \( \frac{\eta}{\gamma}=\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)
y no hay solución en enteros de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \).
Saludos.
