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Matemática => Teoría de números => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: simpleimpar en 04 Enero, 2019, 11:24 am

Título: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 04 Enero, 2019, 11:24 am
Hola:
El caso n>2 primo  de la ecuación de Fermat \( m^n = a^n + b^n \) lo he considerado en el archivo pdf adjunto, en los supuestos b par, a par y m par, mediante aritmética y álgebra ordinarias. Creo que se llega a contradicciones que indicarían ,salvo error u omisión, que no existen soluciones enteras y positivas m, a, b para la  ecuación.  en esos supuestos
Si se me hace saber donde están los errores de la supuesta demostración os quedaré sumamente agradecido.
Saludos cordiales
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: aureodd en 10 Enero, 2019, 11:07 am
Hola.
¿Estás indicando que \( m \), \( a \) y \( b \) son los 3 pares?
Puedes reducir entonces el UTF a que los tres son coprimos y solo uno de ellos debe ser par.
¿Tu prueba se adaptaría a este supuesto/caso?
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 10 Enero, 2019, 02:05 pm
Hola aureodd
Las soluciones posibles de la ecuación de Fermat de existir, estrían formadas por un número par y dos impares. Cuando considero los casos b par, a par y m par, es porque solo uno de los números b, a, m, puede ser par y se deben considerar estos tres supuestos independientemente. Esto da lugar al desarrollo que hago en el que creo demostrar que en esos supuestos se llega a la contradicción de que los números impares \( (b,(m-a))/2^p, (a,(m-b))/2^q, (m,(a+b))/2^r  \) para los caso b par, a par y m par respectivamente, deben ser iguales a 1 y diferentes de 1 con lo que concluyo que la ecuación de Fermat carece de soluciones enteras y positivas.
Saludos cordiales
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: aureodd en 10 Enero, 2019, 03:00 pm
Hola.
Sin perdida de generalidad puedes partir del supuesto de que uno de ellos es par, por ejemplo \( b \), y si lo demuestras para eso caso no es necesario demostrarlo para los otros 2 (que \( a \) sea par o \( m  \) sea par).
Para el caso que \( b \) sea par indicas que \( (b,(m-a))/2^p \).
¿Con esta notación quieres decir que \( 2^p \) divide a \( b \) y a \( m-a \) o que \( b/2^p \) y \( (m-a)/2^p \) son iguales a \( 1 \) y diferentes de  \( 1 \) luego es una contradicción?
Gracias.
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 10 Enero, 2019, 05:01 pm
Hola de nuevo aureodd
Los supuestos \( b \) par y \( a \) par en la ecuación \( m^n = a^n + b^n \) se pueden tratar de la misma manera, de forma que basta cambiar \( b \) por \( a \) en el desarrollo del caso \( b \)  par para obtener lo  correspondiente al caso \( a \) par. Eso es lo que digo y expongo de manera sucinta al tratar el supuesto \( a \) par, a fin de poner de manifiesto tal semejanza.
En el caso \( m \) par no se puede hacer lo mismo y debe ser demostrado con independencia de los otros dos supuestos.
El simbolo \( (b,(m-a)) \)es la notación corriente para "máximo común divisor" de \( b \) y \( m-a \).
Saludos y gracias por tu seguimiento.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 11 Enero, 2019, 10:59 am
La notación correcta para el máximo común divisor de \( b \) y \( m-a \) no es \( (b,(m-a)) \) como le dije a aureodd en mi último mensaje, es la que está en el pdf que envié en mi primer mensaje, o sea \( (b,m-a) \) y análogamente para los demás mcd. Lamento estos fallos de notación cometidos en mis anteriores mensajes.
Saludos y mis mejores deseos para todos en 2019
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: aureodd en 11 Enero, 2019, 01:57 pm
Hola.
Con respecto a la paridad de las tres variables que manejas y tratando con números enteros evitaría el caso de \( m \) par. Además para cuestiones sobre paridad, el signo no debería afectar.
Para la cuestion sobre la notación creo que sería mas claro si incluyeras algo del tipo \( mcd(b,m-a) \).
Donde aparece \( 4k+1 \) entiendo no es el mismo \( k \) que utilizas después. Es correcto?
Donde aparece \( \beta \) debería ser \( \beta_0 \)?
Revisando la página 2 del doc, y tomando por ejemplo \( n=3 \)
\( b^3=m^3-a^3=(m-a)(m^2+ma+a^2) \) 
y \(  b^3=2^3B^3 \) con \( b=2B \), \( B=CM \) y \( m-a=2^3M^3 \)
No se podría dar \( C^3=(m^2+ma+a^2) \)
Y según tu notación sería entonces \( k=1 \)?
Saludos

Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 12 Enero, 2019, 09:09 pm
Hola aureodd y demás foreros.
Como veo que se presta a confusión la notación que empleo, he hecho una revisión de todo el archivo y el resultado es un nuevo pdf que solo se diferencia del original en que utilizo solo símbolos en cursiva y no repito los mismos símbolos, es decir, si pongo \( a \) no utilizaré \( \mbox{a} \) en el documento para evitar confusiones en los mensajes.
Empleo la notación \( (a,b) \) para representar el mcd de \( a \) y \( b \) tal y como se hace comúnmente.
El k de 4k +1 y 4k - 1, representa un número que recorre los números naturales y no es el k de la fórmula (3') de aquí una posible confusión que he tratado de corregir en el nuevo documento pdf.
Para que \( \beta  \) sea igual a \( \beta_0 \) es preciso que \( P_0 \) sea igual a \( 2^\varphi \), ahora bien, la "gracia" de esta posible demostración está precisamente en que el mcd \( P_0 \) no es potencia de 2 y \( r \) es un impar mayor que 1. Lo mismo cabe decir de \( Q_0 \) y \( s \) y \( R_o \) y \( t \).
Hay que considerar el caso \( m \) par independientemente de los otros dos, porque si uno de los números de la terna solución es par, e impares los otros dos por consiguiente, se deben considerar los tres casos \( a \) par, \( b \)  par y \( m \) par. De hecho las formas de los impares \( m \)  y \( a \) para el caso \( b \) par y las de los impares \( m \) y \( b \) del caso \( a \) par son las mismas, mientras que en el caso  \( m \) par las formas de los impares \( a \) y \( b \) par son distintas.
Espero que con esta nueva versión las cosas queden más claras.
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Enero, 2019, 01:06 pm
Hola

 No he tenido mucho tiempo para mirar con calma tu propuesta.

 Pero a vuelapluma le veo un error de bulto; una afirmación gratuita (sin justificar y muy gruesa) que no entiendo de donde sale y que es clave en tu conclusión final.

 Dices en la página 2:

Citar
Para el impar \( k \) de (4) resultará, \( k=r^j \), e introduciendo este valor de \( k  \)en (3') será,

\( b^n/(m-a)=r^j\beta_0^n,\qquad\qquad (j=1,2,\ldots,n-1) \)

relación que debe ser cierta para todos los valores de \( j \) especificados, pues todos ellos determinan el carácter impar del número \( k \).

 Lo que me parece gratuito es lo que he marcado en rojo: que digas que esa relación es cierta para TODOS los valores de \( j \). De todo lo que has ido deduciendo aun admitiéndolo correcto (hay algunos errores, más sutiles) en todo caso se deduciría que esa igualdad es cierta par un valor concreto de \( j \). ¡Cómo va a ser cierta para TODOS los valores de \( j, \) si las variables implicadas son números fijos!.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13 Enero, 2019, 06:48 pm
Hola Luis
Debe entenderse "para todos y cada uno de los valores de \( j \)"
No se si explicitando esto se puede resolver el error de bulto Tu me dirás.
Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Enero, 2019, 10:08 am
Hola

Hola Luis
Debe entenderse "para todos y cada uno de los valores de \( j \)"
No se si explicitando esto se puede resolver el error de bulto Tu me dirás.

No se muy bien que me quieres decir con esa aclaración. Fíjate que el núcleo de tu conclusión se basa en justificar que \( r=1 \). Eso lo haces dando por bueno que:

\( r\beta_0^n=r^2\beta_0^n=r^3\beta_0^n=\ldots \)

Eso a su vez lo deduces de:

Citar
Para el impar \( k \) de (4) resultará, \( k=r^j \), e introduciendo este valor de \( k  \)en (3') será,

\( b^n/(m-a)=r^j\beta_0^n,\qquad\qquad (j=1,2,\ldots,n-1) \)

relación que debe ser cierta para todos los valores de \( j \) especificados, pues todos ellos determinan el carácter impar del número \( k \).

 En esa igualdad, incluso admitiendo todo lo que haces antes, el \( j \) es un valor concreto; no es cierta para TODOS los valores de \( j=1,2,\ldots,n-1 \) sino para UNVALOR CONCRETO de \( j \) en ese rango.

 Fíjate que la primera vez que introduces \( j \) es aquí:

Citar
\( k=2^{nu-2}r^n/\rho \) impar (4)

y \( k \) solo puede ser un número impar si es  \( \rho= 2^{nu-2}r^{n-j} \), con \( j=1,2,\ldots,n-1 \) y \( r \) es impar distinto de \( 1 \).

Ahí el valor de \( j \) es uno concreto, ¡no muchos valores al mismo tiempo!.

Spoiler
Adicionalmente de (4) no veo que se deduzca exactamente lo que afirmas (aunque casi prefiero primero que te des cuenta del primer error o incongruencia que te apunté, que es el más grueso).

En principio de (4) yo solo veo que \( \rho= 2^{nu-2}r' \) donde \( r' \) es un divisor de \( r^n \) pero no necesariamente una potencia de \( r \).
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 16 Enero, 2019, 12:01 pm
Hola a todos
Después de las valiosas observaciones de Luis, he revisado la última "entrega" y el resultado es la versión que adjunto. He procurado ser lo más explícito posible y esa es la razón de las reiteraciones que contiene.
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Enero, 2019, 12:44 pm
Hola

Hola a todos
Después de las valiosas observaciones de Luis, he revisado la última "entrega" y el resultado es la versión que adjunto. He procurado ser lo más explícito posible y esa es la razón de las reiteraciones que contiene.
Saludos

Cuando pones que \( m-a=4\rho \). ¿De dónde te sacas que \( \rho \) tiene que ser impar?. No veo motivo.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 11 Febrero, 2019, 04:37 pm
Hola
Os envío una nueva y reducida versión del supuesto n > 2 primo  a ver que os parece. Dispensad la insistencia.
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Febrero, 2019, 05:28 pm
Hola

Hola
Os envío una nueva y reducida versión del supuesto n > 2 primo  a ver que os parece. Dispensad la insistencia.
Saludos

En la línea novena pones:

\( 2^{nu}\beta^n=4\rho=2^3h \)

con \( \beta \) impar. Bien. Pero de ahí haces:

\( \beta=2^{3-nu}h \)

y afirmas que de ahí se deduce que \( 3-nu=0 \) y \( h \) impar. Eso es falso. Por ejemplo (por decir algo) podría ocurrir \( 3-nu=-10 \) y \( h=2^{10}\cdot 157 \).

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 17 Febrero, 2019, 08:05 pm
Hola de nuevo
Os envío, en archivo adjunto, el resultado de una última revisión, lo más profunda que he podido, dentro de mis limitadas capacidades, de todo lo que he estado "produciendo" para el TUF con n > 2 primo.
De nuevo os ruego aceptéis mis disculpas por la insistencia.
Saludos 
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Febrero, 2019, 11:50 am
Hola

Hola de nuevo
Os envío, en archivo adjunto, el resultado de una última revisión, lo más profunda que he podido, dentro de mis limitadas capacidades, de todo lo que he estado "produciendo" para el TUF con n > 2 primo.
De nuevo os ruego aceptéis mis disculpas por la insistencia.
Saludos 

Antes de nada un consejo o recomendación importante.

Escribe una primera versión de los resultados para \( n=3 \). Tiene todas las ventajas:

1) Es más corto y claro  de explicar por tu parte.
2) Te será mucho más fácil a ti mismo darte cuenta de tus errores. Y en todo caso será más fácil a cualquier otra persona animarse a leer y criticar tu trabajo.
3) En el improbable caso de que todo estuviese bien, tener una demostración sencilla del caso \( n=3 \) ya sería interesante. Y es entonces el momento de generalizarlo a \( n>3 \).

Entonces en tu trabajo la proposición 1 ya está mal.

En la página 2, línea 13 dices:

Citar
... y como se cumple (1) será,

\( -\color{red}(-1)^j\color{black}\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}{}n_jm^{n-j}a^j=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}n_ja^{n-j}(hn^{n-1})^j \)

y \( n \) será divisor del producto \( ma \) ...

 Tienes una pequeña errata (pero eso es lo de menos). Es:

\( -\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}{}\color{red}(-1)^j\color{black}n_jm^{n-j}a^j=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}n_ja^{n-j}(hn^{n-1})^j \)

 Pero lo importante es que NO se deduce que \( n \) será divisor del producto \( ma \).

 Y lo puedes ver claramente si escribes la expresión para \( n=3 \). Te quedaría:

\( m^2a-ma^2=a^2(9h)+a(9h)^2 \)

 Simplificando:

\(  m^2-ma=9ah+81h^2 \)

 y de ahí NO se deduce que \( ma \) sea múltiplo de \( 3 \).

 Ya no he leído más del trabajo; si crees que hay algo aprovechable, te animo a que lo reescribas primero para \( n=3 \).

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 18 Febrero, 2019, 09:11 pm
Tienes razón Luís. De esa relación se obtiene en el caso \( n=3 \) solo que \( m(m-a) \) es divisible por 3.
Trataré de ver lo que pasa limitándome al caso \( n=3 \)
Saludos y gracias.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13 Marzo, 2019, 05:12 pm
Hola a todos.
Trato el caso n = 3 aquí porque no es mi intención terciar con mis criterios en el hilo específico de ese caso.
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Marzo, 2019, 07:01 pm
Hola

Hola a todos.
Trato el caso n = 3 aquí porque no es mi intención terciar con mis criterios en el hilo específico de ese caso.
Saludos

He leido el documento por encima. Pero un primer comentario. He entendido que para poder concluir tu demostración necesitas probar que la ecuación:

\( 27x^2+9ax^2+a^2x-\beta^3=0 \)

no tiene soluciones enteras. Es una ecuación de tercer grado a priori más complicada que la original:

\( m^3-a^3-b^3=0 \)

¿Qué te hace pensar que hemos avanzado algo? ¿Por qué habría de ser más sencillo demostrar que tu ecuación no tiene soluciones enteras?.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13 Marzo, 2019, 07:39 pm
Hola
la ecuación \( 27x^3 +9ax^2+a^2x-\beta=0 \) posee discriminante negativo y por tanto una solución real. En el archivo adjunto trato de encontrar la solución.
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Marzo, 2019, 10:04 pm
Hola

Hola
la ecuación \( 27x^3 +9ax^2+a^2x-\beta=0 \) posee discriminante negativo y por tanto una solución real. En el archivo adjunto trato de encontrar la solución.
Saludos

¿Y te parece que has ganado algo teniendo en cuenta la "barbaridad" de expresión qué te sale?. ¿Te parece más fácil de analizar que la simple ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)?.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13 Marzo, 2019, 10:38 pm
De nuevo Hola.
En principio parecía más tratable una ecuación de tercer grado con una incógnita que una de tercer grado con tres incógnitas.
Todo el problema se reduce a demostrar, como tu ya has advertido, que la solución real de la ecuación en cuestión no puede ser entera. Quizá esto requiera un nivel superior de conocimientos en la materia (para demostrar en particular que la "barbaridad" resultante no es un entero).
Mis saludos cordiales.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Marzo, 2019, 10:53 pm
Hola

De nuevo Hola.
En principio parecía más tratable una ecuación de tercer grado con una incógnita que una de tercer grado con tres incógnitas.

Pero es ficticio que tu ecuación tenga una incógnita. ¿Lo dices porque le llamas \( x \)?. Tu ecuación tiene tres variables \( x,a,\beta \), igual que la original. Puedes llamarle a une de ellas incógnita igual que podrías hacerlo en la original. No hay diferencia, salvo que la ecuación original es más sencilla que a la que has llegado tu.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 14 Marzo, 2019, 12:11 am
Continuando sobre el asunto.

"Mi ecuación" para el caso b múltiplo de 3, es una ecuación de manual con coeficientes enteros y una incógnita que, claro está, tendrá valores que dependen de tales coeficientes, que deben cumplir además las desigualdades (2). Admite tratamientos "standard" como el que he pretendido aplicar, de momento, como prueba, a fin de ver si el aspecto de la solución es o no "amistoso" o "irracionalmente" agresivo.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Marzo, 2019, 08:21 am
Hola

"Mi ecuación" para el caso b múltiplo de 3, es una ecuación de manual con coeficientes enteros y una incógnita que, claro está, tendrá valores que dependen de tales coeficientes, que deben cumplir además las desigualdades (2). Admite tratamientos "standard" como el que he pretendido aplicar, de momento, como prueba, a fin de ver si el aspecto de la solución es o no "amistoso" o "irracionalmente" agresivo.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Será la última vez que insisto en esto; lo hago porque me parece que no acabas de entender lo que digo. La ecuación original también admite tratamientos "standard" y también tiene coeficientes que deben de cumplir desigualdades. El aspecto de la solución es amistoso; pero aun así no parece ayudar a discernir el carácter entero de la misma de forma directa:

\( m^3=a^3+b^3 \)

la solución es...

\( m=\sqrt[3]{a^3+b^3} \)  ¡qué expresíón más sencilla!  :D

Citar
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Sobre ese "quizá"... poco que decir. Inténtalo si quieres; pero no veo ningún motivo objetivo para ser optimista.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 14 Marzo, 2019, 10:44 am
Me parece muy bien todo lo que dices Luis y no tengo nada que objetar. Trataré de seguir con mi manera de ver el asunto
Saludos cordialísimos por tanto interés.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 21 Junio, 2019, 01:56 pm
Hola

Hola de nuevo
Aquí os envío un último intento de solución del caso n = 3 por si resulta de interés y es posible generalizarlo para todo exponente primo.
Saludos cordiales


Algunos errores:

1) En pagina 1, en la fórmula (4) pretendes deducir que:

\( 3(\alpha^2+\beta^2)+[3(\alpha+\beta)+1]/2 \) divisible por \( 2 \)

no es posible. Pero no es cierto. El error es que estás presuponiendo que el sumando \( [3(\alpha+\beta)+1]/2 \) tiene que ser impar lo cual obligaría al primero a ser también impar. Pero no hay ningún motivo para que ese cociente necesariamente tenga que ser impar.

2) En la página 2, de (6) tienes que:

\( a\left(a+m+\dfrac{m^2-ca}{c-m}\right) \)

es entero. De ahí pretendes deducir que \( \dfrac{m^2-ca}{c-m} \) es entero. Pero en realidad lo único que puedes decir en principio es que \( \dfrac{a(m^2-ca)}{c-m} \)es entero.

3) Este es el error más grave, en cuanto que es la parte más decisiva de tu intento de demostración.

En la página 3, dices:

\( b=\dfrac{f^{1/3}}{f^{1/3}-3g^{1/3}}(m-a) \)

 Y de ahí afirmas que:

 - o bien \( (m-a) \) es divisor de \( b \)
 - o bien \( f^{1/3}-3g^{1/3} \) es divisor de \( m-a \)

 Eso no tiene porque ser así de nuevo: \( (m-a) \) podría tener algunos factores comunes con \( b \) y otros con el cociente \( \dfrac{f^{1/3}}{f^{1/3}-3g^{1/3}} \)

 Más adelante del hecho de que \( b^3/(m-a) \) sea un cubo deduces que:

\( b^3=m^3a-a^3m \)

 Ahí me pierdo completamente. ¿De dónde sale eso?. Antes pones que:

\( \dfrac{m^3-a^3}{m-a}=ma(m+a) \)

pero eso está mal; es:

\( \dfrac{m^3-a^3}{m-a}=m^2+ma+a^2 \)

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 02 Julio, 2019, 10:11 pm
Hola de nuevo
Antes que nada ruego me perdonéis una vez más los errores imjustificables que cometo en los sucesivos envíos sobre el asunto n =3. De nuevo agradezco las observaciones de Luis Fuentes que tan amablemente dedica su tiempo y paciencia a leerlos. En este envío me limito al caso de \( n=3 \) y \( b \) par de la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \). Espero que los errores no sean excesivos y se me indique donde están. En estos supuestos, creo que se puede probar que \( m-a \) es un cubo par, que \( 2^{1/3}a>m \) y que los valores posibles de \( b \) dado \( a \), para todo \( m-a \) posible, están limitados a \( (2^{1/3}-1)a \), con el resultado de que \( a^3+(2j)^3 \) para los valores permitidos de \( j \), es siempre mayor que \( a^3+[2^{1/3}-1]^3a^3 \) y por lo tanto no existe solución para la ecuación de Fermat con exponente 3 si \( b \) es par.
Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 15 Agosto, 2019, 11:07 am
Hola
Con el deseo de que esta nueva entrega no se convierta en el pasatiempo de los siete errores, me atrevo a someter a vuestra consideración una prueba de que la ecuación de Fermat con exponente 3 no tiene solución. El procedimiento está basado en la idea de que \( a^3+(b-1)^3<a^3+b^3<a^3+(b+1)^3 \) y puede ser generalizado directamente al caso \( n \) simple mayor que 3.
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 17 Diciembre, 2019, 05:16 pm

Una nueva ocurrencia que someto a vuestra consideración.

La ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)tiene en números reales y positivos las soluciones obvias no nulas \( a=b=\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).
Como \( m \) es el mayor de la terna solución, si \( a>b \), será \( m>a>b \) y \( a>\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \), de modo que los posibles valores del entero \( a \) que resuelven la ecuación, dado \( m \) , son los del intervalo \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \).
El menor entero \( a \)  mayor que\( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \), es el mayor entero \( c \) contenido en \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \) que es el cociente de la división de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) que deja resto \( r \) inferior a \( {2^{1/3}} \) y verifica la ecuación \( m={2^{1/3}}c+r \), en la que es \( r\ne1 \).
Los enteros \( a \) serán de la forma \( c+j \), es decir, los coeficientes de las divisiones por exceso de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) que satisfacen las ecuaciones, con \( j \) entero positivo,
\( m={2^{1/3}}(c+j)+r_j  \)
donde los residuos son negativos, no enteros, superiores en valor absoluto a \( {2^{1/3}} \) y guardan entre sí la relación \( r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).
De esta relación se obtiene \( a=c+j=\displaystyle\frac{m-r_j}{2^{1/3}} \), de donde, \( 2{a^3}={(m-r_j)^3} \) y será divisible por 2 el número \( m-r_j \) que no es entero y por tanto la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \) no tiene solución en enteros  positivos.

Saludos cordiales.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: manooooh en 17 Diciembre, 2019, 05:36 pm
Hola

(...) y guardan entre sí la relación \( \color{red}r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).

¿Qué has querido poner en lo de rojo?

Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2019, 05:53 pm
Hola

donde los residuos son negativos, no enteros, superiores en valor absoluto a \( {2^{1/3}} \) y guardan entre sí la relación \( r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).
De esta relación se obtiene \( a=c+j=\displaystyle\frac{m-r_j}{2^{1/3}} \), de donde, \( 2{a^3}={(m-r_j)^3} \) y será divisible por 2 el número \( m-r_j \) que no es entero y por tanto la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \) no tiene solución en enteros  positivos.

Es que no se de donde te sacas que no es entero. El cubo de un NO entero si puede ser entero.

De hecho:

\( m-r_j=2^{1/3}(c+j) \)

luego su cubo es entero; le puedes dar valores a \( m \) y poner incluso ejemplos concretos.

AÑADIDO: Es decir \( (m-r_j)^3 \) si es entero y puede ser perfectamente divisible por dos; \( (m-r_j) \) es irracional no entero y al ser divido por dos dará otro irracional no entero y tampoco hay ningún problema en eso.

Saludos.

P.D. En realidad en el argumento sólo usas que:

\( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \)

con \( a,m \) enteros. No puedes pretender llegar a una contradicción de ahí, porque la existencia de esos enteros es perfectamente posible.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 17 Diciembre, 2019, 07:51 pm
para nanoooh
SE ME HA EXTRAVIADO EL PARÉNTESIS( , Y QUIERO DECIR \( (j-k){2^{1/3}} \)
SALUDOS
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 18 Diciembre, 2019, 12:41 pm
Hola Luís
En efecto mi error consiste en tratar los irracionales como enteros y admitir que si el cubo de un irracional es divisible por 2 lo es el irracional base. Entono mi mea culpa y pido disculpas a la concurrencia por este nuevo e inexcusable error.
Trato de resolver este asunto de la siguiente manera, continuando desde la expresión \( a = c+j=\displaystyle\frac{(m-r_j)}{2^{1/3}} \).
\( b \) será un cociente de alguna de las divisiones por defecto de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) y de la forma, \( b=c-J=\displaystyle\frac{(m+R_J}{2^{1/3}}  \) con \( R_J \) irracional positivo.
Será \( a+b=\displaystyle\frac{2m-r_j+R_J}{2^{1/3}} \) donde es \( -r_j+R_J \) el producto de un entero \( p \) por \( 2^{1/3} \), y por tanto, \( a+b= 2^{2/3}m+p  \).
Por otro lado se tiene la congruencia módulo3 \( b=m-a+3d  \) que con la anterior ecuación para \( a+b \), da, \( 1-2^{2/3}=\displaystyle\frac{(p-3d}{m} \) lo que no es posible porque el primer miembro de esta igualdad es irracional y el segundo racional.
Ya me dirás donde estan los nuevos errores.
Salud
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Diciembre, 2019, 01:27 pm
Hola

Hola Luís
En efecto mi error consiste en tratar los irracionales como enteros y admitir que si el cubo de un irracional es divisible por 2 lo es el irracional base. Entono mi mea culpa y pido disculpas a la concurrencia por este nuevo e inexcusable error.
Trato de resolver este asunto de la siguiente manera, continuando desde la expresión \( a = c+j=\displaystyle\frac{(m-r_j)}{2^{1/3}} \).
\( b \) será un cociente de alguna de las divisiones por defecto de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) y de la forma, \( b=c-J=\displaystyle\frac{(m+R_J}{2^{1/3}}  \) con \( R_J \) irracional positivo.
Será \( a+b=\displaystyle\frac{2m-r_j+R_J}{2^{1/3}} \) donde es \( -r_j+R_J \) el producto de un entero \( p \) por \( 2^{1/3} \), y por tanto, \( a+b= 2^{2/3}m+p  \).

No se porque afirmas que  \( -r_j+R_J \) el producto de un entero \( p \) por \( 2^{1/3} \). No es así., ni se deduce de nada de lo anterior.

Si fuese así esto:

\( a+b= 2^{2/3}m+p  \)

ya sería imposible, porque tres de los términos son enteros y el restante irracional.

Saludos.

P.D. Una vez más ahí sólo usas que \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \) y \( b<\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \) y no hay ningún problema en conseguir enteros en esas condiciones; entonces no se puede pretender llegar a una contradicción de ahí.

Este tipo de reflexiones evitaría perder el tiempo en razonamientos que desde el principio se ve que no pueden llegar a buen puerto.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 18 Diciembre, 2019, 05:24 pm
Hola
Cito "no se porqué afirmas que \( -r_j+R_J \) es un entero \( p \) por \( 2^{]1/3} \)"

Lo afirmo porque la suma de los resíduos por esxceso y por defecto de una división con el mismo dividendo y divisor  es un múltiplo del divisor.

\(  \)Respecto de \( b \) ni que decir tirne que cumple la desigualdad \( \displaystyle\frac{c}{2^{1/3}}<b<\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).

De nuevo saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Diciembre, 2019, 06:00 pm
Hola

Cito "no se porqué afirmas que \( -r_j+R_J \) es un entero \( p \) por \( 2^{]1/3} \)"

Lo afirmo porque la suma de los resíduos por esxceso y por defecto de una división con el mismo dividendo y divisor  es un múltiplo del divisor.

Eso sería \( r_j+R_j \), que es distinto.

Citar
\(  \)Respecto de \( b \) ni que decir tirne que cumple la desigualdad \( \displaystyle\frac{c}{2^{1/3}}<b<\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).

Si. Y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo esas desigualdades.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 18 Diciembre, 2019, 07:29 pm
Hola de nuevo

Como \( r_j \) es negativo es \( \left |r_j \right |+ \left |R_J \right| \) que es lo que tu dices.

Cito

"Si, y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo las desigualdades"

Añado

¿que verifiquen la ecuación \( m^3 = a^3 * b^3 \)  siendo \( a+b= 2^{2/3}+p \)?

Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Diciembre, 2019, 09:08 am
Hola

Como \( r_j \) es negativo es \( \left |r_j \right |+ \left |R_J \right| \) que es lo que tu dices.

No estoy seguro si me estás diciendo que estás de acuerdo con mi crítica o no. Tienes:

\( m=2^{1/3}a+r_j \)
\( m=2^{1/3}b-R_j \)

Si restas:

\( 0=2^{1/3}(a-b)+r_j+R_j\quad \Rightarrow{}\quad R_j+r_j=2^{1/3}(b-a) \)

Entonces lo que es un entero por \( 2^{1/3} \) es \( r_j+R_j \) y NO, \( -r_j+R_j \).

Citar
"Si, y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo las desigualdades"

Añado

¿que verifiquen la ecuación \( m^3 = a^3 * b^3 \)  siendo \( a+b= 2^{2/3}+p \)?

Supongo que querías poner \( m^3=a^3+b^3 \). Eso no lo usas de manera efectiva en todo lo que haces.

Por otra parte vuelves a escribir \( a+b= 2^{2/3}+p \), pero esa igualdad está mal deducida. Lo que tienes es:

\( a+b=2^{2/3}m+\color{blue}\dfrac{R_j-r_j}{2^{1/3}}\color{black} \)

y como te he dicho el término en azul NO es entero.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 20 Diciembre, 2019, 01:51 pm
Hola Luís

Se tiene, \( a=\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}} \) y \( b=\displaystyle\frac{m-R_J}{2^{1/3}} \).

\( m-a=m-\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}} \) y \( b=m-a+3d \) o bien \( \displaystyle\frac{m-R_J}{2^{1/3}}=m-\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}}+3d \), de donde,

\( (2-2^{1/3})m=R_J-r_j+2^{1/3}3d \), que con \( R_J-r_j=k2^{1/3} \) da,

\( (2-2^{1/3})m=2^{1/3}(k +3d)  \), y finalmente,

\( m=\displaystyle\frac{2^{1/3}(k+3d)}{2-2^{1/3}} \) y dería ser entero el número, \( \displaystyle\frac{2^{1/3}}{2-2^{1/3}} \).

Ya me dirás que te parece esto.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Diciembre, 2019, 03:59 pm
Hola

Se tiene, \( a=\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}} \) y \( b=\displaystyle\frac{m-R_J}{2^{1/3}} \).

\( m-a=m-\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}} \) y \( b=m-a+3d \) o bien \( \displaystyle\frac{m-R_J}{2^{1/3}}=m-\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}}+3d \), de donde,

\( (2-2^{1/3})m=R_J-r_j+2^{1/3}3d \), que con \( R_J-r_j=k2^{1/3} \) da,

\( (2-2^{1/3})m=2^{1/3}(k +3d)  \), y finalmente,

\( m=\displaystyle\frac{2^{1/3}(k+3d)}{2-2^{1/3}} \) y dería ser entero el número, \( \displaystyle\frac{2^{1/3}}{2-2^{1/3}} \).

Ya me dirás que te parece esto.

Pues.. me desmoraliza un poco.

Te agradecería que en lo sucesivo cuando hago una crítica a tus intentos de demostración, antes de escribir un nuevo intento me dijeses claramente si estás o no de acuerdo con mi objeciones.

El hecho de que intentes otras cosas me haría pensar que si, que entendías la objeción. Pero el problema es que vuelves a usar algo que ya te he dicho por dos veces (y esta será la tercera) que es FALSO.


No es cierto que  \( R_J-r_j=k2^{1/3} \). Te lo dije aquí:

Cito "no se porqué afirmas que \( -r_j+R_J \) es un entero \( p \) por \( 2^{]1/3} \)"

Lo afirmo porque la suma de los resíduos por esxceso y por defecto de una división con el mismo dividendo y divisor  es un múltiplo del divisor.

Eso sería \( r_j+R_j \), que es distinto.

Y otra vez:

Como \( r_j \) es negativo es \( \left |r_j \right |+ \left |R_J \right| \) que es lo que tu dices.

No estoy seguro si me estás diciendo que estás de acuerdo con mi crítica o no. Tienes:

\( m=2^{1/3}a+r_j \)
\( m=2^{1/3}b-R_j \)

Si restas:

\( 0=2^{1/3}(a-b)+r_j+R_j\quad \Rightarrow{}\quad R_j+r_j=2^{1/3}(b-a) \)

Entonces lo que es un entero por \( 2^{1/3} \) es \( r_j+R_j \) y NO, \( -r_j+R_j \).

Citar
"Si, y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo las desigualdades"

Añado

¿que verifiquen la ecuación \( m^3 = a^3 * b^3 \)  siendo \( a+b= 2^{2/3}+p \)?

Supongo que querías poner \( m^3=a^3+b^3 \). Eso no lo usas de manera efectiva en todo lo que haces.

Por otra parte vuelves a escribir \( a+b= 2^{2/3}+p \), pero esa igualdad está mal deducida. Lo que tienes es:

\( a+b=2^{2/3}m+\color{blue}\dfrac{R_j-r_j}{2^{1/3}}\color{black} \)

y como te he dicho el término en azul NO es entero.

Entonces si no estabas de acuerdo con eso, desde el principio debátelo. Pero no pongas un argumento diferente donde vuelves a usar lo mismo. Así no avanzamos.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 20 Diciembre, 2019, 05:27 pm
Perdona Luís

He cometido un error en la copia de las fórmulas.

Lo que se obtiene de las fórmulas precedentes no es \( (2-2^{1/3})m=R_J-r_j+2^{1/3}3d \), es,

\( (2-2^{1/3})m=R_J+r_j+2^{1/3}3d \) y aquí si es \( R_J+r_j=k2^{1/3} \).

Te ruego me disculpes. 
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Diciembre, 2019, 07:12 pm
Hola

He cometido un error en la copia de las fórmulas.

Lo que se obtiene de las fórmulas precedentes no es \( (2-2^{1/3})m=R_J-r_j+2^{1/3}3d \), es,

\( (2-2^{1/3})m=R_J+r_j+2^{1/3}3d \) y aquí si es \( R_J+r_j=k2^{1/3} \).

Eso es lo que te vendría bien para que tu argumento funcionase. Pero no habías cometido ningún error ahí. De aquí:

\( \displaystyle\frac{m-R_J}{2^{1/3}}=m-\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}}+3d \)

Quitando denominadores se obtiene:

\( m-R_J=2^{1/3}m-m-r_j+3d2^{1/3} \)

\( (2-2^{1/3})m=R_j-r_j+3\cdot 2^{1/3}\cdot d \)

En tu respuesta agradecería que quedase claro si por fin entiendes que lo que haces está mal.

Saludos.

P.D. Y además no puedes esperar llegar a ninguna contradicción en todo lo que usas. Se pueden encontrar enteros \( a,b,m,d \) cumpliendo todo lo que estás utilizando sin problema.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 21 Diciembre, 2019, 11:25 am
Entendido
Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 31 Diciembre, 2019, 06:00 pm
Hola a todos y Felíz año nuevo

Me tomo la libertad, una vez más, de daros la murga con una nueva intentona para el caso \( n=3 \) que resumo aquí y expongo en el archivo pdf adjunto de solo dos páginas.

Para determinar si la suma de dos cubos o su diferencia es un cubo se pueden considerar los dos cubos \( a \) y \( b \) como impares.

Se tiene así, \( \displaystyle\frac{a+b}{2}=p \) y \( \displaystyle\frac{a-b}{2}=q \) y \( p \), \( q \) son de paridades opuestas

Si se cumple \( m=a^3+b^3 \) es \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \) y \( a \) es un cociente de alguna de las divisiones por exceso de \( m \) por

\( 2^{1/3} \), y si \( c \) es el cociente de la división de \( m \) por \( 2^{1/3} \) con resto menor que \( 2^{1/3} \) será \( a=c+j \).

Análogamente es \( b \) un cociente de la división por defecto de \( m \) por \( 2^{1/3} \) y dado por \( b=c-k \).

La suma \( (c+j)^3+(c-k)^3 \) es el número \( 2c^3+3c^2(j-k)+3c(j^2+k^2)+j^3-k^3 \) donde \( j \) y \( k \) deben ser de paridades opuestas porque \( m \) es impar.

Por otro lado deberá ser\( \displaystyle\frac{2c+j-k}{2}=c+\displaystyle\frac{j-k}{2}=p \) y \( \displaystyle\frac{j+k}{2}=q \) solo posibles si \( j \) y \( k \) son de la misma paridad

en contradicción con lo que se acaba de obtenier. Luego la suma y la diferencia de dos cubos no es un cubo y esta conclusión se puede generalizar para el caso de exponente simple impar. 

Saludos cordiales
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Diciembre, 2019, 07:41 pm
Hola

Para determinar si la suma de dos cubos o su diferencia es un cubo se pueden considerar los dos cubos \( a \) y \( b \) como impares.

Se tiene así, \( \displaystyle\frac{a+b}{2}=p \) y \( \displaystyle\frac{a-b}{2}=q \) y \( p \), \( q \) son de paridades opuestas

Si se cumple  \( m=a^3+b^3 \) es \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \) y \( a \) es un cociente de alguna de las divisiones por exceso de \( m \) por

\( 2^{1/3} \), y si \( c \) es el cociente de la división de \( m \) por \( 2^{1/3} \) con resto menor que \( 2^{1/3} \) será \( a=c+j \).

Análogamente es \( b \) un cociente de la división por defecto de \( m \) por \( 2^{1/3} \) y dado por \( b=c-k \).

La suma \( (c+j)^3+(c-k)^3 \) es el número \( 2c^3+3c^2(j-k)+3c(j^2+k^2)+j^3-k^3 \) donde \( j \) y \( k \) deben ser de paridades opuestas porque \( m \) es impar.


Si \( a \) y \( b \) son impares y \( m=a^3+b^3 \) o \( m^3=a^3+b^3 \) (da igual) se tiene que \( m \) es par; no sé porque pones que es impar.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 01 Enero, 2020, 12:54 pm
Hola Luís

Otro tremendo error por mi parte: \( m \) es par.

Saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 15 Enero, 2020, 11:54 am
Hola
Os mando un postrer intento resumido.

1º Obviedades
Los tres números \( m \), \( a \), \( b \), solución de \( m^3=a^3+b^3 \) son diferentes y primos entre si dos a dos si la solución es primitiva, y uno de ellos es par, que será el mayor \( m \), porque si la suma de dos cubos es un cubo también lo es la diferencia de dos cubos, o sea cuando uno de los números \( a \) o \( b \) es negativo.
Los impares son de la forma \( 4k\pm{1} \) y se obtienen por diferencia de cuadrados consecutivos y sus potencias, impares, tienen la misma forma que los impares base. La ecuación indeterminada \( m^3=a^3+b^3 \) con \( m \) par, tiene el primer miembro múltiplo de 4 y solo se puede verificar si los impares \( a \) y \( b \) son de distinta forma porque de lo contrario la suma sería múltiplo de 2 y no de 4.
Si se cumple la ecuación en cuestión será, \( 4\alpha+1+4\beta-1=4p \) de donde \( \alpha+\beta=p \).

2º Deducciones
Las diferencias entre las terceras potencias de los enteros consecutivos son impares que forman una progresión aritmética de diferencia entre términos consecutivos \( d=3.2 \).
Si es \( a>b \) se tiene, \( a^3-b^3=3.2q \) y \( 4(\alpha-\beta)+2=3.2q \), de donde, \( \alpha-\beta=\displaystyle\frac{3}{2}q-\displaystyle\frac{1}{2} \), y se obtiene para
\( \alpha \) y \( \beta \)

\( \alpha=\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{2} \),  \( \beta=-\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \)  (1)

Los impares diferencias de quintas potencias de enteros consecutivos forman una progresión aritmética de diferencia el producto 5.3.2, y se tiene, procediendo de manera análoga al caso de exponente 3,

\( \alpha+\beta=p \), \( 4(\alpha-\beta)+2=5.3.2q \), o sea, \( \alpha-\beta=\displaystyle\frac{3.5}{2}q-\displaystyle\frac{1}{2} \) de donde,

\( \alpha=\displaystyle\frac{3.5}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \),      \( \beta=-\displaystyle\frac{3.5}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{4} \).  (2)

Los impares diferencias de potencias de exponente simple \( n \), de enteros consecutivos, forman una progresión aritmética cuya diferencia es el producto de los simples no superiores a \( n \), y se obtiene en este caso general,

\( \alpha=\displaystyle\frac{P_n}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \),     \( \beta=-\displaystyle\frac{P_n}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{4} \),  (3)

donde \( P_n \) representa el producto de los simples no superiores a \( n \).

3º Conclusión
Las ecuaciones  (1) (2) y (3), no se satisfacen con \( \alpha \), \( \beta \), \( p \), \( q \), enteros, y en consecuencia, no tiene solución en enteros positivos la ecuación \( m^n=a^n+b^n \) si \( n \) es simple impar.

Cordiales saludos
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 16 Enero, 2020, 08:40 am
Hola: Corrijo errores del último mensaje.

Línea 10
se suprime
"progresión aritmética....d=3.2"

y se sustituye por
"sucesión en la que dos términos cualesquiera difieren en un  múltiplo de 3.2 que depende del par que se considere"

Línea 14
se suprime
"progresión...de diferencia el"

y se sustituye por
"sucesión en la que dos términos cualesquiera difieren en un múltiplo del"

Línea17
se suprime
"progresión...es el"

y se sustituye por
"sucesión en la que dos términos cualesquiera difieren en un múltiplo del"

El resto del mensaje no varía. 
Ruego encarecidamente me disculpéis una vez más por tantos errores.

Vale
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Enero, 2020, 11:57 am
Hola

Hola
Os mando un postrer intento resumido.

1º Obviedades
Los tres números \( m \), \( a \), \( b \), solución de \( m^3=a^3+b^3 \) son diferentes y primos entre si dos a dos si la solución es primitiva, y uno de ellos es par, que será el mayor \( m \), porque si la suma de dos cubos es un cubo también lo es la diferencia de dos cubos, o sea cuando uno de los números \( a \) o \( b \) es negativo.
Los impares son de la forma \( 4k\pm{1} \) y se obtienen por diferencia de cuadrados consecutivos y sus potencias, impares, tienen la misma forma que los impares base. La ecuación indeterminada \( m^3=a^3+b^3 \) con \( m \) par, tiene el primer miembro múltiplo de 4 y solo se puede verificar si los impares \( a \) y \( b \) son de distinta forma porque de lo contrario la suma sería múltiplo de 2 y no de 4.
Si se cumple la ecuación en cuestión será, \( 4\alpha+1+4\beta-1=4p \) de donde \( \alpha+\beta=p \).

2º Deducciones
Las diferencias entre las terceras potencias de los enteros consecutivos son impares que forman una progresión aritmética de diferencia entre términos consecutivos \( d=3.2 \).
Si es \( a>b \) se tiene, \( a^3-b^3=3.2q \) y \( 4(\alpha-\beta)+2=3.2q \), de donde, \( \alpha-\beta=\displaystyle\frac{3}{2}q-\displaystyle\frac{1}{2} \), y se obtiene para
\( \alpha \) y \( \beta \)

\( \alpha=\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{2} \),  \( \beta=-\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \)  (1)

Mirando muy muy a vuelapluma sin entrar a analizar casi nada. ¿Por qué dices que no hay enteros que cumplan esas ecuaciones?. Si que las hay. No hay ningún problema.

Teniendo en cuenta que:

\( p=\alpha+\beta \)

\( q=\dfrac{2\alpha-2\beta+1}{3} \)

Basta que \( 2\alpha-2\beta+1 \) sea múltiplo de \( 3 \).

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 27 Enero, 2020, 07:30 pm
Hola

Resumo

En la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), \( m \) es par y \( a \) y \( b \) son impares de distinta forma y será \( (4f+1)^3+(4g-1)^3=2^3h^3 \).

Las formas de los impares son invariantes respecto de sus potencias de exponente impar, luego se tendrá,

 \( 4\alpha+1+4\beta-1=4(\alpha+\beta)=2^3h^3 \),   de donde,    \( \alpha+\beta=2h^3 \)

Si la diferencia de dos cubos es un cubo par, será,

 \( 4(\alpha-\beta)+2=2^3k^3 \),   de donde,    \( \alpha-\beta=2h^3-\displaystyle\frac{1}{2} \)

y se obtiene,

 \( \alpha=h^3+k^3-\displaystyle\frac{1}{4}  \)     y    \( \beta=h^3-k^3+\displaystyle\frac{1}{4} \)       (1)

de soluciones posibles,

 \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{4} \),  \( h^3+k^3=\displaystyle\frac{A+1}{4} \)   y   \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \),  \( h^3-k^3=\displaystyle\frac{B-1}{4} \)

Si 4 divide a los enteros A o B no divide a A+1 o B-1 y recíprocamente, luego las ecuaciones (1) no tienen solución en enteros \( \alpha \), \( \beta \), \( h \) y \( k \).

Para \( n \) simple impar, si la suma y diferencia de dos potencias \( n \)-simas de enteros son potencias \( n \)-simas pares de enteros, se tendrá,

 \( \alpha+\beta=2^{n-2}h^n \),   \( \alpha-\beta=2^{n-2}k^n-\displaystyle\frac{1}{2} \) ,  de donde,  \( \alpha=2^{n-3}(h^n+k^n)-\displaystyle\frac{1}{4} \),  \( \beta=2^{n-3}(h^n-k^n+\displaystyle\frac{1}{4} \),

y se tendría,

 \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{a} \),  \( h^n+k^n=\displaystyle\frac{{A+1}}{4} \)   y   \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \),  \( h^n-k^n=\displaystyle\frac{B-1}{4} \)

y 4 sería divisor de A, y A+1 y de B y B+1, lo que es imposible.

En consecuencia, salvo error u omisión, cosa muy probable a juzgar por los antecedentes, si \( n \) es simple impar, la ecuación \( m^n=a^n+b^n  \) no tiene solución en \( m \), \( a \), \( b \), enteros positivos.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Enero, 2020, 08:05 pm
Hola

En la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), \( m \) es par y \( a \) y \( b \) son impares de distinta forma y será \( (4f+1)^3+(4g-1)^3=2^3h^3 \).

Las formas de los impares son invariantes respecto de sus potencias de exponente impar, luego se tendrá,

 \( 4\alpha+1+4\beta-1=4(\alpha+\beta)=2^3h^3 \),   de donde,    \( \alpha+\beta=2h^3 \)

Si la diferencia de dos cubos es un cubo par, será,

 \( 4(\alpha-\beta)+2=2^3k^3 \),   de donde,    \( \alpha-\beta=2h^3-\displaystyle\frac{1}{2} \)

¿Pero por qué había de ser la diferencia de esos mismos cubos impar?.

Estás analizando \( a^3+b^3=m^3 \) donde el par es \( m \). ¿Por qué de repente y al mismo tiempo lo mezclas con \( a^3-b^3=m'^3 \)?. Lo que pruebas es que no puede darse al mismo tiempo que dos cubos impares sumen y resten un cubo, lo cuál es bastante trivial (no hace falta seguir con lo que pones después: la ecuación en rojo no se da para enteros porque dos términos son múltiplos de \( 4 \) pero el tercero no). Pero eso no prueba que no pueda darse simplemente \( a^3+b^3=m^3 \).

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 28 Enero, 2020, 10:47 am
Corrijo errores del ultimo mensaje

línea 14

debe decir \( \beta=2^{n-3}(h^n-k^n)-\displaystyle\frac{1}{4} \),

línea 16

debe decir, \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{4} \), \( h^n+k^n=\displaystyle\frac{A+1}{2^{n-1}} \), \( h^n-k^n=\displaystyle\frac{B-1}{2^{n-1}} \),

Una vez más mis disculpas.

Si se considera el caso de exponente 4 se obtiene, siempre s.e.u.o.

 \( 4(\alpha+\beta)+2=2^4h^4 \) y  \( 4(\alpha-\beta)=2^4k^4 \), de donde,

 \( \alpha+\beta=2^2h^4-\displaystyle\frac{1}{2}  \)   y   \( \alpha-\beta=2^2k^4 \),

y debería ser,

 \( \alpha=\displaystyle\frac{A}{4} \),  \( h^4+k^4=\displaystyle\frac{A+1}{8} \),   \( \beta=\displaystyle\frac{B}{4} \),   \( h^4-k^4=\displaystyle\frac{B+1}{8} \),

igualdades que no son posibles porque 4 no puede dividir a A y A+1 o B y B+1.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 28 Enero, 2020, 10:56 am
Hola

He visto la observación de Luís después de enviar mi último mensaje.

Estoy de acuerdo en que he cometido el error de tomar los mismos dos cubos en suma y diferencia.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 25 Abril, 2020, 12:27 pm
Hola
El caso de exponente \( 3 \) exige que uno de los números solución sea múltiplo de 3, y si se mantiene esta condición entonces los otros dos números no son enteros y por lo tanto la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)no tiene soluciones enteras.
Saludos   
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 21 Mayo, 2020, 11:05 am
Hola

Hola
El caso de exponente \( 3 \) exige que uno de los números solución sea múltiplo de 3, y si se mantiene esta condición entonces los otros dos números no son enteros y por lo tanto la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)no tiene soluciones enteras.
Saludos   

He mirado un tanto en diagonal tu documento. Incluso admitiendo que todas las cuentas sean correctas, llegas al final a expresar \( b \) en función de una serie de raíces cuadradas y de ahí afirmas que \( b \) no será entero. ¿Por qué?. Que en la expresión de \( b \) aparezcan raíces no quiere decir que el resultado de estas no pueda ser entero.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 26 Mayo, 2020, 09:33 pm
He revisado el archivo último y os envío un nuevo intento corregido en archivo adjunto para el caso de exponente 3.
Si \( m^3=a^3+b^3 \) se cumple,  uno de los números solución es múltiplo de 3 y se debe satisfacer la desigualdad \( a+b>m>a>b \). He probado que estas dos condiciones son incompatibles.
El valor de \( b \)  consignado en el anterior mensaje,

                                   \( b=\frac{3g}{2}\pm{\sqrt[ ]{3}}\sqrt[ ]{\frac{4f^3-g^3}{4g}} \)

no determina de forma explícita \( b \) porque el segundo miembro depende \( b \), no es más que una nueva forma de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \) pero se puede evitar esta situación.
Saludos cordiales
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Mayo, 2020, 10:18 am
Hola

He revisado el archivo último y os envío un nuevo intento corregido en archivo adjunto para el caso de exponente 3.
Si \( m^3=a^3+b^3 \) se cumple,  uno de los números solución es múltiplo de 3 y se debe satisfacer la desigualdad \( a+b>m>a>b \). He probado que estas dos condiciones son incompatibles.
El valor de \( b \)  consignado en el anterior mensaje,

                                   \( b=\frac{3g}{2}\pm{\sqrt[ ]{3}}\sqrt[ ]{\frac{4f^3-g^3}{4g}} \)

no determina de forma explícita \( b \) porque el segundo miembro depende \( b \), no es más que una nueva forma de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \) pero se puede evitar esta situación.
Saludos cordiales

Está mal. En las ecuaciones que manipulas \( g \) depende de \( b \). Pero tu utilizas el mismo valor de g para las diferentes raíces \( b_1,b_2,b_3 \) de la ecuación de grado \( 3 \) original.

Además en ningún momento usas de manera decisiva que los números implicados son enteros: es señal inequívoca de que tus argumentos tienen que estar mal, porque la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \) si tiene soluciones no enteras.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 28 Mayo, 2020, 11:08 am
Hola Luis

Agradezco tus observaciones. He revisado mi última "aportación" y he he hecho otro intento para el caso de exponente 3. Creo que se puede demostrar que si 3 divide a uno de los números de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), las soluciones no pueden ser primitivas.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Mayo, 2020, 11:54 am
Hola

Hola Luis

Agradezco tus observaciones. He revisado mi última "aportación" y he he hecho otro intento para el caso de exponente 3. Creo que se puede demostrar que si 3 divide a uno de los números de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), las soluciones no pueden ser primitivas.

Saludos.

Cuando escribes:

"y deberá ser..."

\( \sqrt{\dfrac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}=\eta\sqrt{3} \)

No tiene porque ser así. También podría ser:

\( \sqrt{\dfrac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}=\dfrac{\eta}{\sqrt{3}} \)

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 29 Mayo, 2020, 11:55 am
Hola de nuevo.

Si es \( \sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}=\frac{\eta}{\sqrt[ ]{3}} \) se tiene:

    \( b=3\gamma\pm{\eta}=m-a+3d=3(f+d)-a \),     

    \( a+b=3(f+d)\pm{\eta}=3g \),

y \( \eta \) debe ser divisible por 3 y \( b \) será también divisible por 3 y no primo con \( m \) como se requiere.

Saludos.           

   
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Mayo, 2020, 12:02 pm
Hola

    \( \color{red}a+b=3(f+d)\pm{\eta}\color{black}=3g \),

No se de donde te sacas esa igualdad en rojo.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 31 Mayo, 2020, 08:33 pm
Hola Luis.

Efectivamente lo que señalas en rojo es otro craso error mio injustificable. He efectuado la pertinente revisión que paso a detallar:

Se tiene para el entero \( b \),    \( b=3\gamma\pm{\sqrt[ ]{3}\sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}} \).

Si    \( \sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}= \frac{\eta}{\sqrt[ ]{3}} \), o sea, \( 4\varphi^3=\gamma(3\eta^2-\gamma^2) \), \( b \) es múltiplo de 3 y la solución no es primitiva. Deberá ser,

\( \sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}=\frac{\eta}{\sqrt[ ]{3}} \), o bien, \( 4\varphi^3=\gamma(\frac{\eta^2}{3}-\gamma^2) \).      (1)

Con esto se tiene,

 \( b=3\gamma\pm{\eta} \), que con \( a+b=3g=6\gamma \), da,  \( a=3\gamma+\eta \) , \( b=3\gamma-\eta \).

Será también,

\( (3\gamma+\eta)^3+(3\gamma-\eta)^3=6^3\varphi^3 \), de donde, \( \gamma(3\gamma^2+\eta^2)=4.3\varphi^3 \), o bien, \( \gamma(3\gamma^2+\eta^2)=3.4\varphi^3 \).       (2)

De (1) y (2) se obtiene,

\( 3\eta^2-\gamma^2=\frac{3\gamma^2+\eta^2}{3} \),   o bien,   \( 8\eta^2=6\gamma^2 \),   y finalmente,   \( \frac{\eta}{\gamma}=\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)

y no hay solución en enteros de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \).

Saludos.
 


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Junio, 2020, 10:00 pm
Hola
 
 Deberías de ser más autocrítico. Con lo que estás haciendo no es esperable que llegues a ninguna prueba del Teorema de Fermat. Así que cuando creas haberlo conseguido, lo más probable es que tengas un error. ¡Revisa con mucho cuidado las cuentas!. Tienes errores bastante gruesos.

 No debes de mostrarte tan autocomplaciente, dando más peso a la remota posibilidad de tener una prueba correcta, frente al hecho más probable de que tengas un error.


\( \sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}=\frac{\eta}{\sqrt[ ]{3}} \), o bien, \( 4\varphi^3=\gamma(\frac{\eta^2}{3}\color{red}-\color{black}\gamma^2) \).      (1)

El signo en rojo está mal. Sería:

\( 4\varphi^3=\gamma(\frac{\eta^2}{3}\color{red}+\color{black}\gamma^2) \).

Y tienes más errores...

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 02 Junio, 2020, 10:51 am
Una vez más gracias Luis por tus amables observaciones.

Espero no cometer más errores de principiante ignorante.

Saludos.
Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Junio, 2020, 10:54 am
Hola

Espero no cometer más errores de principiante ignorante.

No es cuestión de ignorancia ni de ser principiante. Simplemente repasa varias veces las cuentas.

Saludos.