Para el impar \( k \) de (4) resultará, \( k=r^j \), e introduciendo este valor de \( k \)en (3') será,
\( b^n/(m-a)=r^j\beta_0^n,\qquad\qquad (j=1,2,\ldots,n-1) \)
relación que debe ser cierta para todos los valores de \( j \) especificados, pues todos ellos determinan el carácter impar del número \( k \).
Hola Luis
Debe entenderse "para todos y cada uno de los valores de \( j \)"
No se si explicitando esto se puede resolver el error de bulto Tu me dirás.
Para el impar \( k \) de (4) resultará, \( k=r^j \), e introduciendo este valor de \( k \)en (3') será,
\( b^n/(m-a)=r^j\beta_0^n,\qquad\qquad (j=1,2,\ldots,n-1) \)
relación que debe ser cierta para todos los valores de \( j \) especificados, pues todos ellos determinan el carácter impar del número \( k \).
\( k=2^{nu-2}r^n/\rho \) impar (4)
y \( k \) solo puede ser un número impar si es \( \rho= 2^{nu-2}r^{n-j} \), con \( j=1,2,\ldots,n-1 \) y \( r \) es impar distinto de \( 1 \).
Hola a todos
Después de las valiosas observaciones de Luis, he revisado la última "entrega" y el resultado es la versión que adjunto. He procurado ser lo más explícito posible y esa es la razón de las reiteraciones que contiene.
Saludos
Hola
Os envío una nueva y reducida versión del supuesto n > 2 primo a ver que os parece. Dispensad la insistencia.
Saludos
Hola de nuevo
Os envío, en archivo adjunto, el resultado de una última revisión, lo más profunda que he podido, dentro de mis limitadas capacidades, de todo lo que he estado "produciendo" para el TUF con n > 2 primo.
De nuevo os ruego aceptéis mis disculpas por la insistencia.
Saludos
... y como se cumple (1) será,
\( -\color{red}(-1)^j\color{black}\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}{}n_jm^{n-j}a^j=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}n_ja^{n-j}(hn^{n-1})^j \)
y \( n \) será divisor del producto \( ma \) ...
Hola a todos.
Trato el caso n = 3 aquí porque no es mi intención terciar con mis criterios en el hilo específico de ese caso.
Saludos
Hola
la ecuación \( 27x^3 +9ax^2+a^2x-\beta=0 \) posee discriminante negativo y por tanto una solución real. En el archivo adjunto trato de encontrar la solución.
Saludos
De nuevo Hola.
En principio parecía más tratable una ecuación de tercer grado con una incógnita que una de tercer grado con tres incógnitas.
"Mi ecuación" para el caso b múltiplo de 3, es una ecuación de manual con coeficientes enteros y una incógnita que, claro está, tendrá valores que dependen de tales coeficientes, que deben cumplir además las desigualdades (2). Admite tratamientos "standard" como el que he pretendido aplicar, de momento, como prueba, a fin de ver si el aspecto de la solución es o no "amistoso" o "irracionalmente" agresivo.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.
Hola de nuevo
Aquí os envío un último intento de solución del caso n = 3 por si resulta de interés y es posible generalizarlo para todo exponente primo.
Saludos cordiales
(...) y guardan entre sí la relación \( \color{red}r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).
donde los residuos son negativos, no enteros, superiores en valor absoluto a \( {2^{1/3}} \) y guardan entre sí la relación \( r_j-r_k=j-k){2^{1/3}} \).
De esta relación se obtiene \( a=c+j=\displaystyle\frac{m-r_j}{2^{1/3}} \), de donde, \( 2{a^3}={(m-r_j)^3} \) y será divisible por 2 el número \( m-r_j \) que no es entero y por tanto la ecuación \( m^3= a^3+b^3 \) no tiene solución en enteros positivos.
Hola Luís
En efecto mi error consiste en tratar los irracionales como enteros y admitir que si el cubo de un irracional es divisible por 2 lo es el irracional base. Entono mi mea culpa y pido disculpas a la concurrencia por este nuevo e inexcusable error.
Trato de resolver este asunto de la siguiente manera, continuando desde la expresión \( a = c+j=\displaystyle\frac{(m-r_j)}{2^{1/3}} \).
\( b \) será un cociente de alguna de las divisiones por defecto de \( m \) por \( {2^{1/3}} \) y de la forma, \( b=c-J=\displaystyle\frac{(m+R_J}{2^{1/3}} \) con \( R_J \) irracional positivo.
Será \( a+b=\displaystyle\frac{2m-r_j+R_J}{2^{1/3}} \) donde es \( -r_j+R_J \) el producto de un entero \( p \) por \( 2^{1/3} \), y por tanto, \( a+b= 2^{2/3}m+p \).
Cito "no se porqué afirmas que \( -r_j+R_J \) es un entero \( p \) por \( 2^{]1/3} \)"
Lo afirmo porque la suma de los resíduos por esxceso y por defecto de una división con el mismo dividendo y divisor es un múltiplo del divisor.
\( \)Respecto de \( b \) ni que decir tirne que cumple la desigualdad \( \displaystyle\frac{c}{2^{1/3}}<b<\displaystyle\frac{m}{2^{1/3}} \).
Como \( r_j \) es negativo es \( \left |r_j \right |+ \left |R_J \right| \) que es lo que tu dices.
"Si, y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo las desigualdades"
Añado
¿que verifiquen la ecuación \( m^3 = a^3 * b^3 \) siendo \( a+b= 2^{2/3}+p \)?
Se tiene, \( a=\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}} \) y \( b=\displaystyle\frac{m-R_J}{2^{1/3}} \).
\( m-a=m-\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}} \) y \( b=m-a+3d \) o bien \( \displaystyle\frac{m-R_J}{2^{1/3}}=m-\displaystyle\frac{m+r_j}{2^{1/3}}+3d \), de donde,
\( (2-2^{1/3})m=R_J-r_j+2^{1/3}3d \), que con \( R_J-r_j=k2^{1/3} \) da,
\( (2-2^{1/3})m=2^{1/3}(k +3d) \), y finalmente,
\( m=\displaystyle\frac{2^{1/3}(k+3d)}{2-2^{1/3}} \) y dería ser entero el número, \( \displaystyle\frac{2^{1/3}}{2-2^{1/3}} \).
Ya me dirás que te parece esto.
Cito "no se porqué afirmas que \( -r_j+R_J \) es un entero \( p \) por \( 2^{]1/3} \)"
Lo afirmo porque la suma de los resíduos por esxceso y por defecto de una división con el mismo dividendo y divisor es un múltiplo del divisor.
Eso sería \( r_j+R_j \), que es distinto.
Como \( r_j \) es negativo es \( \left |r_j \right |+ \left |R_J \right| \) que es lo que tu dices.
No estoy seguro si me estás diciendo que estás de acuerdo con mi crítica o no. Tienes:
\( m=2^{1/3}a+r_j \)
\( m=2^{1/3}b-R_j \)
Si restas:
\( 0=2^{1/3}(a-b)+r_j+R_j\quad \Rightarrow{}\quad R_j+r_j=2^{1/3}(b-a) \)
Entonces lo que es un entero por \( 2^{1/3} \) es \( r_j+R_j \) y NO, \( -r_j+R_j \).Citar"Si, y no hay ningún impedimento en la existencia de enteros cumpliendo las desigualdades"
Añado
¿que verifiquen la ecuación \( m^3 = a^3 * b^3 \) siendo \( a+b= 2^{2/3}+p \)?
Supongo que querías poner \( m^3=a^3+b^3 \). Eso no lo usas de manera efectiva en todo lo que haces.
Por otra parte vuelves a escribir \( a+b= 2^{2/3}+p \), pero esa igualdad está mal deducida. Lo que tienes es:
\( a+b=2^{2/3}m+\color{blue}\dfrac{R_j-r_j}{2^{1/3}}\color{black} \)
y como te he dicho el término en azul NO es entero.
He cometido un error en la copia de las fórmulas.
Lo que se obtiene de las fórmulas precedentes no es \( (2-2^{1/3})m=R_J-r_j+2^{1/3}3d \), es,
\( (2-2^{1/3})m=R_J+r_j+2^{1/3}3d \) y aquí si es \( R_J+r_j=k2^{1/3} \).
Para determinar si la suma de dos cubos o su diferencia es un cubo se pueden considerar los dos cubos \( a \) y \( b \) como impares.
Se tiene así, \( \displaystyle\frac{a+b}{2}=p \) y \( \displaystyle\frac{a-b}{2}=q \) y \( p \), \( q \) son de paridades opuestas
Si se cumple \( m=a^3+b^3 \) es \( \displaystyle\frac{m}{2^{1/3}}<a<m \) y \( a \) es un cociente de alguna de las divisiones por exceso de \( m \) por
\( 2^{1/3} \), y si \( c \) es el cociente de la división de \( m \) por \( 2^{1/3} \) con resto menor que \( 2^{1/3} \) será \( a=c+j \).
Análogamente es \( b \) un cociente de la división por defecto de \( m \) por \( 2^{1/3} \) y dado por \( b=c-k \).
La suma \( (c+j)^3+(c-k)^3 \) es el número \( 2c^3+3c^2(j-k)+3c(j^2+k^2)+j^3-k^3 \) donde \( j \) y \( k \) deben ser de paridades opuestas porque \( m \) es impar.
Hola
Os mando un postrer intento resumido.
1º Obviedades
Los tres números \( m \), \( a \), \( b \), solución de \( m^3=a^3+b^3 \) son diferentes y primos entre si dos a dos si la solución es primitiva, y uno de ellos es par, que será el mayor \( m \), porque si la suma de dos cubos es un cubo también lo es la diferencia de dos cubos, o sea cuando uno de los números \( a \) o \( b \) es negativo.
Los impares son de la forma \( 4k\pm{1} \) y se obtienen por diferencia de cuadrados consecutivos y sus potencias, impares, tienen la misma forma que los impares base. La ecuación indeterminada \( m^3=a^3+b^3 \) con \( m \) par, tiene el primer miembro múltiplo de 4 y solo se puede verificar si los impares \( a \) y \( b \) son de distinta forma porque de lo contrario la suma sería múltiplo de 2 y no de 4.
Si se cumple la ecuación en cuestión será, \( 4\alpha+1+4\beta-1=4p \) de donde \( \alpha+\beta=p \).
2º Deducciones
Las diferencias entre las terceras potencias de los enteros consecutivos son impares que forman una progresión aritmética de diferencia entre términos consecutivos \( d=3.2 \).
Si es \( a>b \) se tiene, \( a^3-b^3=3.2q \) y \( 4(\alpha-\beta)+2=3.2q \), de donde, \( \alpha-\beta=\displaystyle\frac{3}{2}q-\displaystyle\frac{1}{2} \), y se obtiene para
\( \alpha \) y \( \beta \)
\( \alpha=\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{2} \), \( \beta=-\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \) (1)
En la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), \( m \) es par y \( a \) y \( b \) son impares de distinta forma y será \( (4f+1)^3+(4g-1)^3=2^3h^3 \).
Las formas de los impares son invariantes respecto de sus potencias de exponente impar, luego se tendrá,
\( 4\alpha+1+4\beta-1=4(\alpha+\beta)=2^3h^3 \), de donde, \( \alpha+\beta=2h^3 \)
Si la diferencia de dos cubos es un cubo par, será,
\( 4(\alpha-\beta)+2=2^3k^3 \), de donde, \( \alpha-\beta=2h^3-\displaystyle\frac{1}{2} \)
Hola
El caso de exponente \( 3 \) exige que uno de los números solución sea múltiplo de 3, y si se mantiene esta condición entonces los otros dos números no son enteros y por lo tanto la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \)no tiene soluciones enteras.
Saludos
He revisado el archivo último y os envío un nuevo intento corregido en archivo adjunto para el caso de exponente 3.
Si \( m^3=a^3+b^3 \) se cumple, uno de los números solución es múltiplo de 3 y se debe satisfacer la desigualdad \( a+b>m>a>b \). He probado que estas dos condiciones son incompatibles.
El valor de \( b \) consignado en el anterior mensaje,
\( b=\frac{3g}{2}\pm{\sqrt[ ]{3}}\sqrt[ ]{\frac{4f^3-g^3}{4g}} \)
no determina de forma explícita \( b \) porque el segundo miembro depende \( b \), no es más que una nueva forma de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \) pero se puede evitar esta situación.
Saludos cordiales
Hola Luis
Agradezco tus observaciones. He revisado mi última "aportación" y he he hecho otro intento para el caso de exponente 3. Creo que se puede demostrar que si 3 divide a uno de los números de la ecuación \( m^3=a^3+b^3 \), las soluciones no pueden ser primitivas.
Saludos.
\( \color{red}a+b=3(f+d)\pm{\eta}\color{black}=3g \),
\( \sqrt[ ]{\frac{4\varphi^3-\gamma^3}{\gamma}}=\frac{\eta}{\sqrt[ ]{3}} \), o bien, \( 4\varphi^3=\gamma(\frac{\eta^2}{3}\color{red}-\color{black}\gamma^2) \). (1)
Espero no cometer más errores de principiante ignorante.