Hola
Os mando un postrer intento resumido.
1º Obviedades
Los tres números \( m \), \( a \), \( b \), solución de \( m^3=a^3+b^3 \) son diferentes y primos entre si dos a dos si la solución es primitiva, y uno de ellos es par, que será el mayor \( m \), porque si la suma de dos cubos es un cubo también lo es la diferencia de dos cubos, o sea cuando uno de los números \( a \) o \( b \) es negativo.
Los impares son de la forma \( 4k\pm{1} \) y se obtienen por diferencia de cuadrados consecutivos y sus potencias, impares, tienen la misma forma que los impares base. La ecuación indeterminada \( m^3=a^3+b^3 \) con \( m \) par, tiene el primer miembro múltiplo de 4 y solo se puede verificar si los impares \( a \) y \( b \) son de distinta forma porque de lo contrario la suma sería múltiplo de 2 y no de 4.
Si se cumple la ecuación en cuestión será, \( 4\alpha+1+4\beta-1=4p \) de donde \( \alpha+\beta=p \).
2º Deducciones
Las diferencias entre las terceras potencias de los enteros consecutivos son impares que forman una progresión aritmética de diferencia entre términos consecutivos \( d=3.2 \).
Si es \( a>b \) se tiene, \( a^3-b^3=3.2q \) y \( 4(\alpha-\beta)+2=3.2q \), de donde, \( \alpha-\beta=\displaystyle\frac{3}{2}q-\displaystyle\frac{1}{2} \), y se obtiene para
\( \alpha \) y \( \beta \)
\( \alpha=\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{2} \), \( \beta=-\displaystyle\frac{3}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \) (1)
Los impares diferencias de quintas potencias de enteros consecutivos forman una progresión aritmética de diferencia el producto 5.3.2, y se tiene, procediendo de manera análoga al caso de exponente 3,
\( \alpha+\beta=p \), \( 4(\alpha-\beta)+2=5.3.2q \), o sea, \( \alpha-\beta=\displaystyle\frac{3.5}{2}q-\displaystyle\frac{1}{2} \) de donde,
\( \alpha=\displaystyle\frac{3.5}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \), \( \beta=-\displaystyle\frac{3.5}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{4} \). (2)
Los impares diferencias de potencias de exponente simple \( n \), de enteros consecutivos, forman una progresión aritmética cuya diferencia es el producto de los simples no superiores a \( n \), y se obtiene en este caso general,
\( \alpha=\displaystyle\frac{P_n}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p-\displaystyle\frac{1}{4} \), \( \beta=-\displaystyle\frac{P_n}{4}q+\displaystyle\frac{1}{2}p+\displaystyle\frac{1}{4} \), (3)
donde \( P_n \) representa el producto de los simples no superiores a \( n \).
3º Conclusión
Las ecuaciones (1) (2) y (3), no se satisfacen con \( \alpha \), \( \beta \), \( p \), \( q \), enteros, y en consecuencia, no tiene solución en enteros positivos la ecuación \( m^n=a^n+b^n \) si \( n \) es simple impar.
Cordiales saludos
