[dario_oasis]

Hola como están me ayudan con este ejercicio?

Analizar máximos y o mínimos si existen, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de consabidas concavidad y convexidad de la siguiente función:
\( f (x)=xe^{1/x} \)

[sugata]

\( f(x)=xe^{1/x} \)
¿Es ésta la función?
Para elevar a una expresión usa llaves.
f(x)=xe^{1/x}

El ejercicio es sistemático. Derivas y analizas signos.

[dario_oasis]

Si es esa la función x por e a la 1/x, es que intente derivderivar y no me sale,o sea se que hay que hacer derivada del producto u'.v+i.v' pero no se como derivó el v'..

[sugata]

Mira por aquí.
https://www.vitutor.com/fun/4/b_3.html

[dario_oasis]

Muchas gracias sugata, así está bien?

\( f'(x)=e^{1/x}+x.-\displaystyle\frac{1}{x^2}.e^{1/x} \)
\( f'(x)=e^{1/x}-\displaystyle\frac{e^{1/x}}{x} \)

\( f'(x)=\displaystyle\frac{xe^{1/x}-e^{1/x}}{x} \)

\( f'(x)=\displaystyle\frac{e^{1/x }(x-1)}{x} \)

\( e^{1/x}(x-1)=0 \)
\( x-1=0 \)
\( x=1 \)

\( (-\infty,0)(0,1) \) máximo

\( (0,1)(1,\infty) \) mínimo

[sugata]

No lo he revisado bien, estoy trabajando.
Revisa bien en cero que puede haber una asíntota.

[dario_oasis]

En cero hay asíntota vertical porque para el cero no está definida la función no?
 igual cuando puedas revisarlo te agradecere si me dices si aplique bien las propiedades y eso para sacar maximos y minimos..

[sugata]

Cuidado, no estar definida no implica asíntota.
¿Cuál es el límite cuando x tiende a cero de \( \dfrac{x^2}{x} \) ?
Las cuentas las tienes bien, lo que no me gusta es como lo expresas.
Cuando igualas a cero la derivada quitas el denominador, entonces no es la derivada. Quita el \( f^{\prime}(x) \) y trabaja sólo con el numerador.
Y los máximos y mínimos son puntos, no intervalos.

[dario_oasis]

ok muchas gracias Sugata ahora lo corrijo...

[sugata]

Vamos a arreglar el final.
La función decrece:
\( f^{\prime}(x)<0\ \forall x\in{} \{(0,1)\} \)
Análogo con la función crece.
\( f^{\prime}(x)>0\ \forall x\in{} \{(-\infty,0)\cup{}(1,\infty)\} \)

Luego tendremos que analizar que le pasa a la función en 0.
Y sabemos que tiene un mínimo en \( (1,e) \)