[sugata]

Pregunta lo que quieras.

Vamos a ver.
La derivada de un cociente es:

\( \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) ^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-g^{\prime}(x)f(x)}{(g(x))^2} \)

El tema es que en este caso, el numerador es un producto de funciones.
Es decir.
\( f(x)=p(x)q(x) \)
Luego su derivada es:
\( f^{\prime}(x)=p^{\prime}(x)q(x)+q^{\prime}(x)p(x) \)

Ahora solo tengo que coger esta expresión y sustituir en la derivada de la fracción.

Vamos a partir de aquí.
Vamos a determinar quién es quién.
\( p(x)=e^{1/x}\\q(x)=(x-1)\\f(x)=p(x)q(x)=e^{1/x}(x-1)\\g(x)=x\\f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}e^{1/x}(x-1)+e^{1/x} \)

Entonces, numerador derivado por DENOMINADOR (x) sin derivar, MENOS denominador derivado (1) por numerador sin derivar, dividido por DENOMINADOR AL CUADRADO.

En mayúsculas he puesto tus dudas.
Es una derivada un poco liosa que hay que hacer despacio.

[dario_oasis]

No la tenía bien en clara esa propiedad, cual Es? O sólo es una derivación en cadena? No lo tengo claro, porque el denominador se hacía al cuadrado cuando era cociente ,tenía enrendido..y como.saco los puntos de inflexión con ese choclo largo que me quedo??

[sugata]

Sólo tienes que derivar.

\(  f'(x)=\displaystyle\frac{e^{1/x }(x-1)}{x}
  \)

Lo único que al derivar el numerador, al tener un producto, tendrás que derivarlo como tal.

¿Dónde encuentras el escollo?

Es que esto es un cociente  y se usa

Vamos a ver.
La derivada de un cociente es:

\( \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) ^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-g^{\prime}(x)f(x)}{(g(x))^2} \)

El tema es que en este caso, el numerador es un producto de funciones.
Es decir.
\( f(x)=p(x)q(x) \)
Luego su derivada es:
\( f^{\prime}(x)=p^{\prime}(x)q(x)+q^{\prime}(x)p(x) \)

Ahora solo tengo que coger esta expresión y sustituir en la derivada de la fracción.

Y como te digo, en el numerador tenemos un producto y derivamos con la regla de la cadena.

[dario_oasis]

Ahora si me cierra muchas gracias por tu paciencia sugata, y ahora pAra calcular los puntos de inflexión?

[Juan Pablo Sancho]

Derivada del cociente:

Derivada del cociente

[sugata]

Ahora si me cierra muchas gracias por tu paciencia sugata, y ahora pAra calcular los puntos de inflexión?

Haz los cálculos multiplicando la x y luego puedes sacar factor común \( e^{1/x} \)

No he hecho los cálculos, pero si te lo piden, debería quedar una expresión razonable.

[sugata]

Si no me equivoco, tienes inflexión en \( \cancel{x=-2} \)
Al final no queda una cosa muy complicada.

Editado tras cálculos posteriores.

[dario_oasis]

Perd on para mi si quedo algo muy complicado, no me lo podrías hacer y no te molesto más?

[sugata]

Me voy a encargar solo del numerador.
\( -x\dfrac{1}{x^2}(x+1)e^{1/x}+xe^{1/x}-e^{1/x}(x-1) \)
Saco factor común.
\( e^{1/x}(-\dfrac{1}{x}(x-1)+x-x+1) \)
Me olvido la exponencial que siempre es positiva y me encargo del paréntesis.

(Estoy viendo que sí me equivoqué en los cálculos anteriores así que no se que dará )

\( \dfrac{-x+1}{x}+1=\dfrac{-x+1+x}{x}=\dfrac{1}{x} \)

Que cambia de signo en x=0, pero ahí no está definida la función.

Recuperando lo que habíamos dejado Tenemos:

\( f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{e^{1/x}}{x^3} \)

[dario_oasis]

No entendí esto ultimo

\( \displaystyle\frac{e^{1/x}}{x^3} \) porque x a la 3?