[sugata]

En el paréntesis terminamos viendo que quedaba \( \dfrac{1}{x} \)

Con lo que en el numerador nos quedaría, recuperando el exponencial

\( \dfrac{e^{1/x}}{x} \)

Ahora recuerda que en el denominador teníamos un x cuadrado.

Entonces.

\( \dfrac{\dfrac{e^{1/x}}{x}}{x^2}=\dfrac{e^{1/x}}{x^3} \)

No te lo tomes a mal, pero deberías repasar los cálculos básicos (sacar factor común es básico en las derivadas de cocientes), y repasar un poco más las derivadas.

[feriva]

Darío, si te viene más cómodo también puedes escribir la expresión de la derivada así

\( e^{\frac{1}{x}}\cdot(x-1)\cdot x^{-1}
  \)

por distributiva puedes dejarlo en

\( e^{\frac{1}{x}}\cdot(1-x^{-1})
  \) y tienes dos factores para aplicar la derivada de un producto.

La derivada de \( e^{\frac{1}{x}}
  \) es \( e^{\frac{1}{x}}(-x^{-2})=-e^{\frac{1}{x}}x^{-2}
  \), y la de \( 1-x^{-1}
  \) es la misma que la de \( -x^{-1}
  \), o sea \( x^{-2}
  \); entonces por la regla del producto tienes

\( -e^{\frac{1}{x}}x^{-2}(1-x^{-1})+e^{\frac{1}{x}}x^{-2}
  \)

Eso ya es la derivada, te vale para hacer cuentas; se puede dejar más simple y es conveniente, pero si te lías y no tienes seguridad, como tú la quieras “para el campo”, como el del chiste, pues ya la tienes.

Spoiler

Era un chiste de un labriego que había tenido un hijo; y el médico le decía que no se lo llevara a casa, que era muy feo; y él le contestó: “es igual, si yo lo quiero pal campo”

[cerrar]

Sin embargo, es muy fácil de simplificar sacando factor común

\( e^{\frac{1}{x}}x^{-2}\left(-(1-x^{-1})+1\right)=e^{\frac{1}{x}}x^{-2}(x^{-1})=e^{\frac{1}{x}}x^{-3}
  \)

Editado, que había puesto los signos de los coeficientes al revés

Saludos.