Respecto a estos ejemplos me ha quedado claro cómo funciona la compactificación, seguiré leyendo sobre más ejemplos que me puedan ser interesantes aunque no encuentro mucha información sobre este tema.

Saludos

Hola, os comento mi siguiente duda respecto al siguiente tema;

Antecedentes: Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico no compacto, \( \infty \) un elemento que no pertenece a \( X \).
Se define el conjunto \( X^{*}= X\cup{\infty} \) y \( \tau^{*}  = \tau \cup{} \{ A \in X^{*} : X^{*}-A  \) es cerrado y compacto en \( X \) \(  \} \). Entonces \( ((X,\tau),i) \) es una compactificación de \( X \) , donde \( i \) es la aplicación inclusión.

Para ilustrar como va esto, se suele poner el ejemplo de \( \mathbb{R} \)  y   \( \mathbb{S^1} \). Donde un homeomorfismo entre \( R\xrightarrow[f ]\,{\mathbb{S^1-\{p\}}} \) mediante la proyección estereográfica. Creo entender el mecanismo, y el porque de la compatificación es necesaria, pues mediante un homeomorfismo se pueden estudiar propiedades en un compacto, donde existen más resultados y teoremas sobre los cuáles desarrolar. Pero en la práctica, no consigo encontrar dicha compactificación. Por ejemplo para ¿\( M = [0,1) \cup{[2,3)} \), \( M=\mathbb{N} \) cuales serían su compactificación?

¿El hecho de que se defina así \( \tau^{*} \) es para que sea hausdorff?

Si tenéis alguna referencia que trate sobre esto con ejemplos, contenidos teóricos sería interesante pegarle un vistazo.

Gracias de antemano.

Saludos,

Hola buenas noches, necesitaría alguna orientación sobre como demostrar formalmente que un conjunto es conexo, pero no conexo por caminos (casi análogo al seno topólogo).
Se trata de rectas verticales situadas en \( x=1, x=1/2 ... x=1/n \)  llamado espacio 'peine' \( P = \left( [0 , 1]\  \times\  \{0 \} \cup{}   \bigcup_{n=1}^{\infty}{   \left \{ \displaystyle\frac{1}{n} \right  \}\  \times\  [0 , 1]  }  \right) \).

Entonces \( Y = P \cup{} \{ (0,0)\} \) es conexo pero no por caminos. Luego existirán dos puntos tales no exista una funcion continua (camino) \( \lambda : [0,1]\rightarrow{Y} \) con \( \lambda(0) = (0,1) \) , \( \lambda(1) = (0,0) \). Por tanto si realizo la prueba por reducción al absurdo, he de llegar a una contradicción. No sé concretar muchos mas detalles de la prueba, ni en en qué consistiría dicha contradicción.

Gracias de antemano.

Saludos,

Pues si resulta más sencillo hacerlo por una simetría al ser una rotación de 180º, y te das cuenta que \( S = 2 P - id \), lo único que me chirría es como defines

[texx]P(x,y,z)=\left((x_0,y_0,z_0)\cdot (x,y,z)^t\right)(x_0,y_0,z_0)^t=(x_0,y_0,z_0)^t(x_0,y_0,z_0)(x,y,z)^t[/texx] en una proyección ortogonal yo pensaba que había que tomar bases ortogonales dependiendo del vector del eje dado y realizar dicho producto. La proyección sobre un eje consiste básicamente en llevar cada punto \( (x,y,z) \) al punto del eje con dirección \( (x_0,y_0,z_0) \) más próximo que se hace calculando la recta perpendicular y moviéndonos en esa dirección ahora mismo no logro ver toda esa información en dicho producto matricial \( \begin{bmatrix}x_0\\{y_0} \\{z_0}\end{bmatrix}  \begin{bmatrix}x_0,y_0,z_0\displaystyle\binom{}{}\end{bmatrix} \).

Gracias por tu tiempo.

Saludos,

Entendido, gracias por los detalles.

Saludos.

Cita de: latex en 15 Diciembre, 2017, 08:46 pm

Hola Fernando, te lo pongo en este hilo porque es en el último que he acabado buscándolo, ¿tendrías material sobre el Teorema de Convergencia Dominada y derivados en algunos de tus libros/fascículos? Saludos, y muchas gracias de antemano.

Curiosamente tenía pensado escribir un "minicursillin"  al respecto, pero me enrollé con la derivada aritmética. Busca por la red a ver que puedes encontrar.

De acuerdo, buscaré por internet.

Saludos.

Pd: Dichosa derivada aritmetica 

Hola buenas tardes;

Desde hace ya tiempo tengo curiosidad sobre este nuevo horizonte que se lleva diseñando desde hace años pero que ahora es cuando alcanza su mayor apogeo y atención mediática, es decir la introducción de las Cryptomonedas en el mundo ecónomico, pero también en el social (países como Venezuela ya han creado su propia cryptomoneda).
Así que me gustaría leer con mucho gusto vuestra opinión desde el punto de vista informático-matemático, social (enfocada desde el punto de vista que queráis) y si alguien controla del tema, una explicación detallada de cómo funciona, ¿Qué os parece la tecnología block-chain?, ¿Pensáis que en especial el bit coin una burbuja?

Saludos.

Hola, buenos días, no veo el último detalle de;

Sea \( Q(x, y) = 0 \) la ecuación de una hipérbola \( \mathbb{H} \), con invariantes métricos \( \Delta \), \( \delta \) y \( s \), siendo \( A \) la matriz principal de \( Q \). Demostrar que si \( \lambda \) es el valor propio de \( A \) con el mismo signo que \( \Delta \) , entonces el semieje principal de \( \mathbb{H} \) es \( a =\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-\Delta}{\delta \lambda}} \) y la dirección del eje principal es el subespacio propio de \( A \) asociado a dicho valor propio.

Nótemos que la ecuación reducida de una hipérbola es \( \left ( \displaystyle\frac{x}{a} \right )^2 - \left ( \displaystyle\frac{y}{b} \right )^2 = 1 \).
Tenemos que \( Q(x,y) = ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2ex + 2fy +d \), que tras aplicar la primera reducción cambiando de referencial usando \( Q=\begin{bmatrix}{\alpha}&{\beta}\\{\beta}&{-\alpha}\end{bmatrix} \) con  \(  \alpha^2 + \beta^2 = 1 \). Se tendría
\( Q(x',y') = \lambda_{1}x'^2 + \lambda_{2}y'^2 + 2mx + 2ny + d \). Donde \( \lambda_{1} \),\( \lambda_{2} \) son los valores propios de la matriz principal \( A \). Ajustando cuadrados y aplicando una traslación del centro del referencial \( R' \), se tendría  \( Q(x',y')=\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 -q \), donde \( \Delta = \begin{bmatrix}{\lambda_{1}}&{0}&{0}\\{0}&{\lambda_{2}}&{0}\\{0}&{0}&{-q}\end{bmatrix}=-\lambda_{1}\lambda_{2}q  \), donde al ser una hipérbola \( \delta = \lambda_{1}\lambda_{2} < 0 \).

De \( Q(x',y') \) obtenemos la ecuación

\(
\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 = q \Leftrightarrow{}
\displaystyle\frac{x'^2}{q/\lambda_{1}} + \displaystyle\frac{y'^2}{q/\lambda_{2}} = 1 \Leftrightarrow{}



\left ( \displaystyle\frac{x'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{1}}} \right )^2 + \left ( \displaystyle\frac{y'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{2}}} \right )^2= 1

 \)

Luego se tiene que el semieje principal/real es \( a=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{q}{\lambda_{1}}}= \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{- \Delta}{\delta \lambda_{1}}}  \in \mathbb{R} \Leftrightarrow{} signo(\Delta) = signo(\lambda_{1}) \).

 Ahora no me queda claro cómo ver que la dirección del eje principal es el subespacio propio de \( A \) asociado a dicho valor propio

que en este caso es \( Ker(A-\lambda_{1}Idv) = \begin{bmatrix}\alpha\\{\beta}\end{bmatrix}  \) (la primera columna de \( Q \) ortogonal)

Gracias de antemano.

Saludos.

Hola buenas noches, alguna indicación para la prueba;

Sean \( A \) y \( A' \) dos matrices reales simétricas \( 2×2 \) no nulas con \( |A| =|A'| = 0 \). Demostrar que \( AA'= 0 \) si, y sólo si, existe una matriz ortogonal
\( Q ∈ M_{2×2}(\mathbb{R} \)) tal que \( Q^tAQ =\begin{bmatrix}{\lambda }&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \) y \( Q^tA'Q = \begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{\lambda' }\end{bmatrix} \) para ciertos \( \lambda , \lambda '∈ R - \{0\} \).

Gracias de antemano.

Saludos.

Muchisimas gracias Ignacio Larrosa por la detallada explicación, y la visión 3D en geobrebra. !Todo entendido¡

Para visualizar cilindros en Geogebra, por ejemplo este mismo c: (x^(2)+y^(2))^(2)=2a^(2)x*y (sin látex)  donde \( a \) es un deslizador, en la ventana 3d, ¿cómo se hace para que tome valores en el eje \( Z \) y no lo tome por \( 0z \)?

Saludos.