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Mensajes - latex

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Es cierto, gracias :)

Saludos.

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Lo que no termino de ver al 100% , es probar que se satisfacen dichas hipótesis para poder aplicar los teoremas correspondientes. Por ejemplo encontrar \( g(x) \geq{0} x\in D \) (dominio de integración) tal que para cada \( n \in N \) ,    \( |f_n(x)| \leq{g(x)} \)  y se tenga que \( g(x) \) es integrable.
¿Qué función en estos casos sería \( g \)?

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Hola buenos días, tengo un par de dudas, si nos encontramos que tenemos que calcular:

\( \lim _{n\to \infty }\int _\mathbb{R}^{ }\frac{n\cdot sen\frac{x}{n}}{x\left(1+x^2\right)}dx\: \). Sabiendo que la convergencia puntual de \( f_n=n \cdot sen(x/n) \) es la función \( f(x)=x \), dado que no se tiene convergencia uniforme, usando la integración de Riemann no es posible realizar el paso bajo el límite integral.

Pero usando la teoría más general de Lebesgue, podemos usar la integral de Lebesgue, donde se tiene dicho resultado con la convergencia puntual
Por tanto es igual a resolver \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = \pi/2 \) esto a grandes rasgos es cierto, pero, ¿necesitaría verificar alguna hipótesis adicional?







La segunda duda, es relacionada sobre el teorema Beppo-Levi, calcular \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \).

Bajo ciertas condiciones adecuadas si se pudiera conmutar la suma infinita bajo el signo integral:

\( \int _{0}^{ \frac{\pi }{2} }\:\sum _{n=0}^{\infty}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \)



realizando el cambio, \(  u=1-\sqrt{sen\left(x\right)} \\ x=arcsen(1-u^2)  \\ dx=\displaystyle\frac{-2|1-u|}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du  \)                        \( x\in(0,/pi /2) \Rightarrow{0<u<1} \)



y sabiendo que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) , para (\( |x|<1 \)) y que \( cos(arcsen(1-u)^2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}  \)

Quedando la siguiente integral: \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du \) ¿no?


Muchas gracias de antemano :)
Saludos.

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Estructuras algebraicas / Re: Ideales (II)
« en: 10 Marzo, 2019, 03:56 pm »
Hola geómetracat, muchas gracias por la respuesta, y aclaraciones, después de darle vueltas a tu respuesta, me queda todo claro, inclusive aquellos matices que dejas en obsevación, me sirvió mucho.

Saludos :)


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Estructuras algebraicas / Ideales (II)
« en: 09 Marzo, 2019, 01:02 am »
Buenas noches, tengo un par de dudas sobre ideales. Si consideramos \( \mathbb{Z}  \)[\( i \)] \( = \{a+bi\ : a,b\in\mathbb{Z}\}  \) el anillo conmutativo llamado los enteros de Gauss, que es un dominio euclídeo con la norma multiplicativa \( N(u)=u\cdot \bar{u} \), (teniendo en cuenta que \( DE \Rightarrow{DIP\Rightarrow{DFU}} \)) y consideramos el elemento \( a = 7\ +56i \).

Si ahora consideramos el ideal \( (a)=\{ra\ : r\in \mathbb{Z}  \)[\( i \)] \( \} \) resulta entonces que si \( r=a+bi \)

\(  (a) = \{ (a+bi)(7+56i)\ : a,b \in\mathbb{Z}[\sqrt[ ]{-1}]   \)   \( \} = \{ (7a-56b) + (7b+8a)i\ : a,b\in\mathbb{Z} \} = (7(1+i)) \) ¿Hasta aquí es correcto?  Luego también se puede comprobar que \( A/(a) \) no es un cuerpo (que surge de una cadena de desigualdades hasta que llegar que la norma de \( a \) es suma de dos cuadrados, esto es fácil de ver), pero lo que no consigo ver es que es isomorfo a el producto directo de 3 cuerpos. Intuyo que debe ser usando los teoremas de isomorfía, junto con el Teorema chino de los restos para ideales, pero no consigo aclarar nada.

Por otra parte \( x+yi \sim{u+vi} \Leftrightarrow{\exists a+bi} \) tal que \( (x-u) + (y-v)i = 7(a-8b) + 7(b+8a)i \), luego dos elementos en el conjunto cociente pertenecen a la misma clase si, su parte real, e imaginaria respectivamente son congruentes \( (mod 7) \)

Muchas gracias de antemano :)
Saludos.
 

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Hola buenos días, se que este tema en concreto puede resultar bastante trillado, pero para mí es la primera vez que me enfrento a él. He realizado varias búsquedas en google, sobre estos temas, buscando apuntes, hasta la pág.7 manuales pero no me terminan de convencer ninguno, debido que no los veo suficientemente claro en cuanto al desarrollo de este tema (que es muy bonito), no me gustan las recetas aunque sean muy útiles. Por ello si alguien puede compartir ese libro/bibliografía/pdf acerca de este tema, le estaría muy agradecido.

Saludos.

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Estructuras algebraicas / Re: Ideales (I)
« en: 20 Febrero, 2019, 11:16 pm »
Hola Luis Fuentes, gracias por la respuesta, me quedo claro tanto la duda 1 como la 2.

Saludos :)

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Estructuras algebraicas / Ideales (I)
« en: 18 Febrero, 2019, 11:08 pm »
Hola buenas noches, no sé muy bien cómo se prueba lo siguiente.

Tenemos el anillo \( A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ] \) ,y consideramos el ideal \( I=(2,\sqrt[ ]{10}) \)

Luego esta claro que el ideal es el conjunto de la forma \( x = 2 \alpha  + \sqrt[ ]{10} \beta \), donde \( \alpha \) , \( \beta \) \( \in \) \( \mathbb{Z[\sqrt[ ]{10}]} \), es decir el conjunto \( I = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \} \).

Entonces ahora para probar que el Ideal \( I \), no es principal, es decir no está generado por un elemento, por reducción al absurdo supongamos que \( I=(s) \), donde \( s=a_0+b_0\sqrt[ ]{10} \) \( \in \) \( A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ] \).

Luego \( 2 \in (s) \) y de forma análoga \( \sqrt[ ]{10} \in (s) \), esto implica existen constantes \( k_1,k_2 \) tal que \( 2=k_1s \) , \( \sqrt[ ]{10}=k_2s \), y usando la norma definida en \( A \),  se tiene \( N(2)=N(k_1s)=N(k_1)N(s) \) , y de forma análoga, \( N(\sqrt[ ]{10})=N(k_2s)=N(k_2)N(s) \).

Esto es que \( N(s)=a_0^2 - 10b_0^2 \) divide a \( N(2)=4 \), y a \( N(\sqrt[ ]{10})=-10 \), luego divide a \( mcd(4,-10)=2 \), por tanto se tiene que existe \( z \in \mathbb{Z} \) tal que \( (a_0^2 - 10b_0^2 ) \cdot z= 2 \), luego como 2 es primo, sus únicos divisores son \( +-2 \), y \( +-1 \), Apartir de aquí divido en casos , ¿cómo se terminaría?

La segunda duda importante que no termino de aclarar es ver que \( A_{/I} \) es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2  \), de aquí sólo deduzco por intuición que dichas clases sería \( C_1 = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \} \) Y \( C_2= \{ 2a+1 + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \} \).

Muchas gracias de antemano :)

Saludos.

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Con estas aportaciones queda mi duda resuelta.

Gracias :)

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Hola Masacroso, ya he corregido las erratas de notación, respecto a lo que añades, en el libro que estudio no se dice explícito,  lo que tu comentas, quizás esa simple respuesta, responde a la primera parte de mi duda, ¿no?

Saludos :)

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Duda-Extensión de Medidas
« en: 29 Enero, 2019, 11:49 pm »
Hola buenas noches, tengo una pequeña duda que no se contestar debido a que se me escapa algún detalle, es la siguiente:

(duda referida a la siguiente proposición)
Sea \( \zeta \) una colección de subconjuntos de \( \Omega \) y \( p: \zeta \rightarrow{[0,\infty]} \) una función cualquiera, tales que \( \emptyset \in \zeta \) y \( p(\emptyset) = 0 \). Para cualquier \( B\subset{\Omega} \) se define

        \( \nu^*(B)=inf \{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{p(A_n)} : A_n \in \zeta , B\subset{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_{i}}  \} \), define una medida exterior generada por \( p \), para la que \( \nu^*(A) \leq{p(A)} \), para \( A\in \zeta \). En la prueba de esto es básicamente probar que se verifican la definición de medida exterior, donde la más difícil puede ser probar que si \( B_n \) es una sucesión de conjuntos de \( \Omega \), entonces
\( \nu^*(\bigcup\limits_{i=1}^{} B_{i}) \leq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\nu^*(B_n)}} \) en la prueba suponiendo que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\nu^*(B_n)} < \infty \) , se toma \( \epsilon > 0 \), y para cada \( n \), tomamos una sucesión \( A_{nm} \)   \( \in \zeta \) tal que   \(  B_n \in  \) \( \bigcup\limits_{m=1}^\infty{A_{nm}} \), y \( \displaystyle\sum_{m=1}{\nu^*(A_{nm})} \leq{\nu^*(B_n)} +\displaystyle\frac{e}{2^n} \). Mi duda es ¿por qué se puede tomar dicha sucesión \( A_{nm} \)? Me gustaría saber el motivo de su existencia, también me pregunto si \( \zeta \) que es una colección de subconjuntos necesariamente debe ser un recubrimiento del espacio \( \Omega \), no sé, contadme todo lo que sepáis, que encantado os leeré.
 

Por último aunque una medida exterior \( \nu^* \) tiene la ventaja de estar definida en todo \( P(\Omega) \), tiene el defecto de no ser numerablemente aditiva, ni siquiera aditiva. Por ello tratamos de encontrar una o-álgebra, sobre la que sí sea numerablemente aditiva. Esto último es de vital importancia entenderlo, sin embargo a priori no logró profundizarlo acerca de ahí, si podéis expresar lo anterior de alguna forma más ''clara'',  ¿Qué podéis contarme de esto último?

Saludos y muchas gracias de antemano.

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Temas de Física / Re: Entrevista a Miguel Alcubierre en Date un VLog
« en: 28 Octubre, 2018, 09:33 am »
Yo también vi la entrevista ayer, y la verdad que me resulta interesante escuchar y aprender de estas personas, no sé si es la forma en la se expresan, o la pasión y la dedicación que le ponen a su trabajo, sin duda merece la pena verlo aunque sea a modo de podcast para el que este más ocupado.

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Análisis Funcional - Operadores / Dudas-(Análisis matricial)
« en: 21 Octubre, 2018, 12:21 am »
Hola buenas noches, introduciéndome en la lectura de Análisis Númerico matricial, me he topado con algunas cuestiones que no se resolver:
Si tenemos una matriz hermitiana (\( A=A^* \)) con espectro \( esp=\{ \lambda_1 ,..., \lambda_n \} \). Para \( \lambda \in \mathbb{R} \) y \( v\in\mathbb{K}-\{0\} \) y se define
\(  r=\displaystyle\frac{||Av-\lambda v||_2}{||v||_2} \)
Se pide probar \( \lambda_j \) tal que \( |\lambda-\lambda_j| \leq{r} \). Este resultado permite localizar valores propios de A. No entiendo el porqué de esa definición de \( r \), ni tampoco consigo ver la existencia de dicho \( \lambda_j \) por lo que no puedo ver como realmente gracias a ese resultado localizar valores propios de \( A \).

Otra duda en el mismo contexto pero diferente es que no consigo ver que el espectro \( A^*A \) es igual a \( AA^* \) para ver que \( ||A||_2 = ||A^*||_2 \)
 
Muchas gracias de antemano,

Saludos.

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Libros / Teoría de la probabilidad.
« en: 15 Octubre, 2018, 12:42 pm »
Hola buenos días, me gustaría saber el nombre de libros (para aquellos que se dediquen o tengan mucha información) que abarquen la teoria de la probabilidad desde Distribuciones en \( \mathbb{R} \) y en \( \mathbb{R^k} \) (Descomposición de Lebesgue.), Distribuciones marginales y condicionadas, Esperanza matemática (esperanza matemática de variables aleatorias con valores complejos. Teoremas de límite. Integral de Lebesgue abstracta.) momentos ...etc en definitiva todo lo relacionado a esta gran materia

Saludos,gracias de antemano.

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Off-topic / Re: Agradecimiento
« en: 29 Julio, 2018, 11:24 pm »
Felicidades !! Me alegra que puedas compartir este tipo de cosas en el foro, sin duda ayuda a seguir dándole duró a las matemáticas. Ahora disfruta ;)
Saludos,

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Hola, de Juan de Burgos ¿tenéis la segunda edición de Cálculo infinitesimal en varias variables? tengo la primera edición pero la  segunda no la encuentro.

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Continuidad-Derivabilidad
« en: 08 Junio, 2018, 09:20 pm »
Muchas gracias por la respuesta Masacroso, voy a darle varias vueltas a lo que me planteas.

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Continuidad-Derivabilidad
« en: 07 Junio, 2018, 11:28 pm »
Hola, buenas noches, alguna indicación para estudiar la continuidad y derivabilidad de la función

\( F(t) = \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{-tx}}{1+x^2}dx \)  , \( t\geq{0} \)

Gracias de antemano,

Saludos

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Ecuaciones diferenciales / Re: Reducción del orden (1)
« en: 14 Marzo, 2018, 07:13 pm »
Cierto, muchas gracias!

Saludos,

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Ecuaciones diferenciales / Re: Reducción del orden (1)
« en: 14 Marzo, 2018, 03:54 pm »
Ya está corregida.

Saludos,

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