Es cierto, gracias

Saludos.

Hola buenos días, tengo un par de dudas, si nos encontramos que tenemos que calcular:

\( \lim _{n\to \infty }\int _\mathbb{R}^{ }\frac{n\cdot sen\frac{x}{n}}{x\left(1+x^2\right)}dx\: \). Sabiendo que la convergencia puntual de \( f_n=n \cdot sen(x/n) \) es la función \( f(x)=x \), dado que no se tiene convergencia uniforme, usando la integración de Riemann no es posible realizar el paso bajo el límite integral.

Pero usando la teoría más general de Lebesgue, podemos usar la integral de Lebesgue, donde se tiene dicho resultado con la convergencia puntual
Por tanto es igual a resolver \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = \pi/2 \) esto a grandes rasgos es cierto, pero, ¿necesitaría verificar alguna hipótesis adicional?







La segunda duda, es relacionada sobre el teorema Beppo-Levi, calcular \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \).

Bajo ciertas condiciones adecuadas si se pudiera conmutar la suma infinita bajo el signo integral:

\( \int _{0}^{ \frac{\pi }{2} }\:\sum _{n=0}^{\infty}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \)



realizando el cambio, \(  u=1-\sqrt{sen\left(x\right)} \\ x=arcsen(1-u^2)  \\ dx=\displaystyle\frac{-2|1-u|}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du  \)                        \( x\in(0,/pi /2) \Rightarrow{0<u<1} \)



y sabiendo que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) , para (\( |x|<1 \)) y que \( cos(arcsen(1-u)^2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}  \)

Quedando la siguiente integral: \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du \) ¿no?


Muchas gracias de antemano
Saludos.

Buenas noches, tengo un par de dudas sobre ideales. Si consideramos \( \mathbb{Z}  \)[\( i \)] \( = \{a+bi\ : a,b\in\mathbb{Z}\}  \) el anillo conmutativo llamado los enteros de Gauss, que es un dominio euclídeo con la norma multiplicativa \( N(u)=u\cdot \bar{u} \), (teniendo en cuenta que \( DE \Rightarrow{DIP\Rightarrow{DFU}} \)) y consideramos el elemento \( a = 7\ +56i \).

Si ahora consideramos el ideal \( (a)=\{ra\ : r\in \mathbb{Z}  \)[\( i \)] \( \} \) resulta entonces que si \( r=a+bi \)

\(  (a) = \{ (a+bi)(7+56i)\ : a,b \in\mathbb{Z}[\sqrt[ ]{-1}]   \)   \( \} = \{ (7a-56b) + (7b+8a)i\ : a,b\in\mathbb{Z} \} = (7(1+i)) \) ¿Hasta aquí es correcto?  Luego también se puede comprobar que \( A/(a) \) no es un cuerpo (que surge de una cadena de desigualdades hasta que llegar que la norma de \( a \) es suma de dos cuadrados, esto es fácil de ver), pero lo que no consigo ver es que es isomorfo a el producto directo de 3 cuerpos. Intuyo que debe ser usando los teoremas de isomorfía, junto con el Teorema chino de los restos para ideales, pero no consigo aclarar nada.

Por otra parte \( x+yi \sim{u+vi} \Leftrightarrow{\exists a+bi} \) tal que \( (x-u) + (y-v)i = 7(a-8b) + 7(b+8a)i \), luego dos elementos en el conjunto cociente pertenecen a la misma clase si, su parte real, e imaginaria respectivamente son congruentes \( (mod 7) \)

Muchas gracias de antemano
Saludos.
 

Hola Luis Fuentes, gracias por la respuesta, me quedo claro tanto la duda 1 como la 2.

Saludos

Con estas aportaciones queda mi duda resuelta.

Gracias

Hola buenas noches, tengo una pequeña duda que no se contestar debido a que se me escapa algún detalle, es la siguiente:

(duda referida a la siguiente proposición)
Sea \( \zeta \) una colección de subconjuntos de \( \Omega \) y \( p: \zeta \rightarrow{[0,\infty]} \) una función cualquiera, tales que \( \emptyset \in \zeta \) y \( p(\emptyset) = 0 \). Para cualquier \( B\subset{\Omega} \) se define

        \( \nu^*(B)=inf \{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{p(A_n)} : A_n \in \zeta , B\subset{\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_{i}}  \} \), define una medida exterior generada por \( p \), para la que \( \nu^*(A) \leq{p(A)} \), para \( A\in \zeta \). En la prueba de esto es básicamente probar que se verifican la definición de medida exterior, donde la más difícil puede ser probar que si \( B_n \) es una sucesión de conjuntos de \( \Omega \), entonces
\( \nu^*(\bigcup\limits_{i=1}^{} B_{i}) \leq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\nu^*(B_n)}} \) en la prueba suponiendo que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\nu^*(B_n)} < \infty \) , se toma \( \epsilon > 0 \), y para cada \( n \), tomamos una sucesión \( A_{nm} \)   \( \in \zeta \) tal que   \(  B_n \in  \) \( \bigcup\limits_{m=1}^\infty{A_{nm}} \), y \( \displaystyle\sum_{m=1}{\nu^*(A_{nm})} \leq{\nu^*(B_n)} +\displaystyle\frac{e}{2^n} \). Mi duda es ¿por qué se puede tomar dicha sucesión \( A_{nm} \)? Me gustaría saber el motivo de su existencia, también me pregunto si \( \zeta \) que es una colección de subconjuntos necesariamente debe ser un recubrimiento del espacio \( \Omega \), no sé, contadme todo lo que sepáis, que encantado os leeré.
 

Por último aunque una medida exterior \( \nu^* \) tiene la ventaja de estar definida en todo \( P(\Omega) \), tiene el defecto de no ser numerablemente aditiva, ni siquiera aditiva. Por ello tratamos de encontrar una o-álgebra, sobre la que sí sea numerablemente aditiva. Esto último es de vital importancia entenderlo, sin embargo a priori no logró profundizarlo acerca de ahí, si podéis expresar lo anterior de alguna forma más ''clara'',  ¿Qué podéis contarme de esto último?

Saludos y muchas gracias de antemano.

Hola buenas noches, introduciéndome en la lectura de Análisis Númerico matricial, me he topado con algunas cuestiones que no se resolver:
Si tenemos una matriz hermitiana (\( A=A^* \)) con espectro \( esp=\{ \lambda_1 ,..., \lambda_n \} \). Para \( \lambda \in \mathbb{R} \) y \( v\in\mathbb{K}-\{0\} \) y se define
\(  r=\displaystyle\frac{||Av-\lambda v||_2}{||v||_2} \)
Se pide probar \( \lambda_j \) tal que \( |\lambda-\lambda_j| \leq{r} \). Este resultado permite localizar valores propios de A. No entiendo el porqué de esa definición de \( r \), ni tampoco consigo ver la existencia de dicho \( \lambda_j \) por lo que no puedo ver como realmente gracias a ese resultado localizar valores propios de \( A \).

Otra duda en el mismo contexto pero diferente es que no consigo ver que el espectro \( A^*A \) es igual a \( AA^* \) para ver que \( ||A||_2 = ||A^*||_2 \)
 
Muchas gracias de antemano,

Saludos.

Felicidades !! Me alegra que puedas compartir este tipo de cosas en el foro, sin duda ayuda a seguir dándole duró a las matemáticas. Ahora disfruta
Saludos,

Muchas gracias por la respuesta Masacroso, voy a darle varias vueltas a lo que me planteas.

Saludos.

Cierto, muchas gracias!

Saludos,