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Análisis Matemático / Volumen de un Cuerpo (I)
« en: 22 Octubre, 2017, 11:04 am »
Hola buenos días, encuentro dificultades en la determinación de los conjuntos que determinan un cuerpo en el espacio, para después calcular su volumen. Por ejemplo;

El volumen interior al cilindro \( (x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy \), limitado por el paraboloide hiperbólico \( xy = az \), \( a > 0 \) y el plano \( X0Y \) .

Llamándo \( R \) a dicho espacio, mi idea es que dicho volumen será la doble integral de \( z=\displaystyle\frac{xy}{a} \) es decir
\( Vol(R) = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{}zdA = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{}\displaystyle\frac{xy}{a}dA \) , \( D\subseteq{\mathbb{R}^2} \)

Haciendo el cambio de variable a polares \( x=r\cdot cos\theta \) , \( y=r\cdot sen\theta \) , \( J(r,\theta) = r \) se tiene

\(
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy  \Longrightarrow{ r=a \sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}  \) luego (\( 0\leq{r\leq{\sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}} \))

\( \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}\displaystyle\frac{xy}{a}dA
 \)

¿Eso estaría bien?
Suponiendo que esto estuviese bien, ¿cómo puedo saber dónde varía \( \theta \in (\alpha, \beta)\subseteq{[0,2 \pi]} \)?

Segunda Duda:

Se tiene que el  \( Vol(R) = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D'}^{}1 dA \) con \( D' \in \mathbb{\mathbb{R}^3} \) y describir \( D' \) con coordenadas cilindricas , de nuevo tengo dificultades para describir dicha región, agradecería mucho si alguien pudiera darme las ideas básicas sobre la determinación de este recinto y otro en general.

Muchas gracias de antemano.

Saludos.


Edit: Hay errores en la doble integral de mi primera duda, faltaría sustituir \( xy \) por sus correspondientes variables y poner los diferenciales que corresponden a dichos limites de integración \( drd\theta \)

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De acuerdo, muchas gracias por las aclaraciones. :)

Saludos.

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Entonces haciendo el movimiento, se demostraría la existencia de dichas ecuaciones ,¿no? se obtiene de dicho movimiento que ¿ \( a=b=r \) ?
¿Habría que probar que dicha transformación es un movimiento (conservando distancias) o es inmediato del referencial ortogonal escogido?

Como podría plantear la implicación \( (b) \Longrightarrow{(a)} \), ¿mediante otra transformación se podría probar?

Perdón pero no entiendo del todo 'el cómo hacerlo'

Saludos.

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¿Alguna indicación para \( (a) \Longrightarrow{(b)} \)? Por ahora no se me ocurre nada, intento partir desde la definición del lugar geométrico de la Hipérbola pero no tengo una idea clara de la demostración, aunque dado el referencial escogido, creo que \( H \) debe ser una hipérbola equilatera.
 

Edit: ¿Podría probarlo tomando la ecuación reducida de la hipérbola \( \left (\displaystyle\frac{x^2}{a^2} \right ) - \left (\displaystyle\frac{y^2}{b^2} \right ) = 1 \)    y aplicándole movimientos obtener \( (2) \) ?

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Geometría sintética (Euclídea, Plana) / Proposición - Hipérbola
« en: 11 Octubre, 2017, 08:05 pm »
Buenas, necesito un poco de orientación sobre la siguiente equivalencia;

Sea \( H \) un conjunto de puntos del plano euclídeo, en el que fijamos un referencial ortonormal. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) \( H \) es una hipérbola.
(b) Existen dos rectas perpendiculares, con ecuaciones

   \( \alpha x + \beta y + \gamma = 0 \)
   \( \alpha ' x + \beta ' y + \gamma ' = 0 \) 

respecto del referencial dado, y un número  real positivo \( r \) tales que \( H \) es el lugar geométrico de los puntos cuyas
coordenadas \( (x, y) \) respecto de dicho referencial satisfacen la ecuación \( ( \alpha x + \beta y + \gamma )^2 - (\alpha ' x + \beta ' y + \gamma ' )^2 = r^2  \) 

Gracias de antemano.

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Serie que converge a una función
« en: 02 Julio, 2017, 03:19 pm »
Hola, perdón por la intromisión, pero dado que estoy también estudiando Series de funciones me intereso el post. Entonces dado que ahora tienes el radio de convergencia, mediante el procedimiento que indico delmar, ahora, para calcular la suma de esa serie de potencias, según he entendido tras la lectura de algunos textos (Spivak) debes transformar \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{x^n}{n^2}} \) en  una expresión
tal que sea igual a \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{x^n}=\displaystyle\frac{x}{1-x} \).

En este caso (aún por verificar de algún mod/docente) se obtiene tras derivar la expresión inicial dos veces para quitarnos el \( n^2 \) del

 denominador, y ajustar algunos exponentes que \( (xf'(x))'=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) luego donde \( f(0)=0 \) para cada \( n \in N \) , \( xf'(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{1}{1-x}dx \). En resumen
 \( f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\displaystyle\frac{-log(1-x)}{x}dx \) integrando la segunda expresión se llega a la expresión explícita de \( f \). Por ahora tras varios intentos de realizarlo por partes no llegue a nada. Wolfram pone \( Li()+ k \) que no se lo qué es.

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Estudio de la continuidad uniforme (1)
« en: 27 Junio, 2017, 09:04 pm »
¡Entendido!, muchas gracias :)

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Estudio de la continuidad uniforme (1)
« en: 26 Junio, 2017, 12:29 pm »
Alguien puede darme alguna pista, u indicación

Saludos :)

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Cálculo 1 variable / Estudio de la continuidad uniforme (1)
« en: 25 Junio, 2017, 01:37 am »
Hola buenas noches, encuentro dificultades en determinar lo siguiente:

Para cada \( n\in\mathbb{N} \) sea \( f_n:(0,\pi)=J\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f_n=\displaystyle\frac{sin^2(nx)}{n\cdot sen(x)} \).

Estudiar la convergencia puntual de la sucesión de funciones \( \{f_n\} \) así cómo la convergencia en intervalos \( (0,a] \), \( [a,\pi) \) y \( [a,b] \) donde \( 0<a<b<\pi \)

Para el estudio de la convergencia puntual tenemos \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\{f_n\}}\longrightarrow{0} \). Por tanto \( \{f_n\} \) converge puntualmente a cero.

Ahora para el estudio de la convergencia uniforme en \( (0,a] \), lo 'único' en lo que debemos fijarnos es en que si \( \{B_n\}=||f_n(x)-f(x)||_{\infty} \)
entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\{B_n\}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{||f_n(x)-f(x)||_{\infty}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{||f_n(x)||_{\infty}} \).

Sabiendo que \( f_n(x)>0 \) para \( x\in J \) , lo ideal sería encontrar los puntos máximos \( x_n \) ( \( f'_n(x_n)=0 \) ), pero dado que \( f'_n \) es algo engorrosa, no sé que hacer (literal). Debe existir alguna acotación que no veo, o alguna divergencia que me garantice que es, o no uniformemente convergente.

Gracias de antemano :)

Saludos.

Pd: No dudéis en extendeos con vuestras explicaciones si lo vieseis necesario, ¡será un placer leerlas!

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Cálculo 1 variable / Re: Criterio M-Weierstrass
« en: 24 Junio, 2017, 01:06 pm »
En concreto con esa demostración, no he dado lo qué es un espacio de banach, por lo que me resulta difícil de entender completamente dicha demostración. Trataba de buscar algún tipo de material docente que demuestre dicho criterio acorde con los contenidos de CálculoI.

Saludos

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Cálculo 1 variable / Criterio M-Weierstrass
« en: 23 Junio, 2017, 11:48 pm »
Hola buenas noches, me preguntaban si alguien conoce algún documento acerca de la demostración (lo más detallada posible) sobre el Criterio M de Weierstrass para la convergencia uniforme de series de potencias.

Saludos.

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Probabilidad / Demostración Probabilidad (1)
« en: 09 Junio, 2017, 10:13 am »
Hola, necesito saber la demostración de la siguiente proposición (por inducción), no la encontré por ningún pdf en google demostrada.
En un espacio de probabilidad \( (\omega,S,Pr) \)
Si \( A_1,A_2,...,A_n \in S \) entonces;

\( Pr(A_1\cup{A_2}\cup{}...\cup{A_n}) = \displaystyle\sum_{i=1}^n{Pr(A_i)} -\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\sum_{j=i+1}^n{}}Pr(A_i\cap{A_j})+...+-Pr(A_1\cap{}...\cap{A_n}) \)


Muchas gracias de antemano :)

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Convergencia de Serie (1)
« en: 05 Junio, 2017, 09:20 am »
Pues por condensación dos veces también sale que diverge :) , pensé que sólo se podía aplicar una vez dicho criterio..

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Convergencia de Serie (1)
« en: 03 Junio, 2017, 03:35 pm »
Pues sí no caí en usar dicho criterio.

Gracias :)

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Cálculo 1 variable / Convergencia de Serie (1)
« en: 03 Junio, 2017, 09:52 am »
Hola, buenos días, quería asegurar encuentro dificultades en determinar la convergencia/divergencia de esta serie;

\( \displaystyle\sum_{n=2}^n{\displaystyle\frac{1}{n\cdot log(n)\cdot log(log(n))}}
 \)

Mis intentos fueron aplicar el criterio de condensación pero no he conseguido obtener una cota superior que converga  converja para garantizar la convergencia de dicha serie.

Gracias de antemano :)

Saludos.

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Geometría y Topología / Re: Homeomorfismos (2)
« en: 31 Mayo, 2017, 07:10 pm »
¡Gracias!, podrías detallar brevemente cuál fue tu pensamiento en este caso para definir dicha aplicación, me refiero a la manera en cómo pensaste que iban a ser las cosas y a los detalles que tuviste en cuenta.

Saludos.

Pd: Si tienes algún libro/documento que hable de este tema o expongan ejemplos(muchos a poder ser) de este nivel más o menos házmelo saber

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Geometría y Topología / Homeomorfismos (2)
« en: 31 Mayo, 2017, 05:44 pm »
Hola, buenas tardes necesito ayuda acerca del planteamiento de estos tipos de problemas, cuándo a priori no se te ocurre una biyección (aunque veas dicho homeomorfismo en el espacio)

Por ejemplo dotados de la topología inducida por la topología usual del correspondiente espacio euclídeo(\( d_2 \)) probar que son homeomorfos;

El cilindro vertical \( X=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}:x^2+y^2=1\} \)
 y el plano agujereado \( Z=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \)

Gracias de antemano :)

Saludos.

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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Conjuntos infinitos (1)
« en: 27 Mayo, 2017, 01:44 pm »
Dados dos conjuntos \( A\subset{B} \) se verifica;
Si \( A \) es infinito entonces \( B \) es infinito;

Si A es infinito entonces existen un subconjunto propio \( A_{0} \subset{A} \) y una biyección \( f: A_0\rightarrow{A} \). Entonces \( B_0 = A_0\cup{A^C} \),  que es a su vez un subconjuto propio de \( B \), pues un elemento que no esté en \( A_0  \) y esté en \( A \), no estará en \( B_0 \) pero sí en \( B \). Ahora basta usar \( f \) para construir una biyección entre \( \hat{f}B_0\rightarrow{B} \) ¿ésta cuál podría ser?

Gracias de antemano.

Saludos.

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Álgebra / Re: Transformaciones Ortogonales (1)
« en: 19 Mayo, 2017, 10:24 am »
¡Entendido!, muchas gracias :)

PD: Como indicas, copié los datos mezclados con otro ejercicio análogo a este por error.

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Álgebra / Transformaciones Ortogonales (1)
« en: 19 Mayo, 2017, 08:23 am »
Buenas, tengo una pequeña duda al elegir el signo de giro en problemas asociados a transformaciones ortogonales;
Por ejemplo  en esta matriz asociada a una transformación ortogonal en un endomorfismo de \( E_3 \)

\( \displaystyle\frac{1}{3}\cdot \left( \begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 2 \\
2 & -1 & 2 \\
2 & 2 & -1 \end{array} \right) \). El ángulo al tratarse de un giro sobre el eje de rotación \( <(0,1,1)> \), sería \( \displaystyle\frac{trM-1}{2}=70.53º \) o \( {-70.53º} \)

Mi idea es que dependerá de la base ortonormal escogida es decir si tengo \( R_1=<(0,1,1)> \) \( R_1^{c}=<(0,-1,1),(1,0,0)> \)
entonces en la base ortonormal \( B=\{ \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}(0,1,1), \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}(0,-1,1), (1,0,0)  \} \)
será \( 70.53º \) pues \( |M_{CB}| \)>0.

Saludos.

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