Hola buenos días, encuentro dificultades en la determinación de los conjuntos que determinan un cuerpo en el espacio, para después calcular su volumen. Por ejemplo;

El volumen interior al cilindro \( (x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy \), limitado por el paraboloide hiperbólico \( xy = az \), \( a > 0 \) y el plano \( X0Y \) .

Llamándo \( R \) a dicho espacio, mi idea es que dicho volumen será la doble integral de \( z=\displaystyle\frac{xy}{a} \) es decir
\( Vol(R) = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{}zdA = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{}\displaystyle\frac{xy}{a}dA \) , \( D\subseteq{\mathbb{R}^2} \)

Haciendo el cambio de variable a polares \( x=r\cdot cos\theta \) , \( y=r\cdot sen\theta \) , \( J(r,\theta) = r \) se tiene

\(
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2xy  \Longrightarrow{ r=a \sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}  \) luego (\( 0\leq{r\leq{\sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}} \))

\( \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\displaystyle\int_{0}^{a \sqrt[ 4]{sen (2\theta)}}\displaystyle\frac{xy}{a}dA
 \)

¿Eso estaría bien?
Suponiendo que esto estuviese bien, ¿cómo puedo saber dónde varía \( \theta \in (\alpha, \beta)\subseteq{[0,2 \pi]} \)?

Segunda Duda:

Se tiene que el  \( Vol(R) = \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D'}^{}1 dA \) con \( D' \in \mathbb{\mathbb{R}^3} \) y describir \( D' \) con coordenadas cilindricas , de nuevo tengo dificultades para describir dicha región, agradecería mucho si alguien pudiera darme las ideas básicas sobre la determinación de este recinto y otro en general.

Muchas gracias de antemano.

Saludos.


Edit: Hay errores en la doble integral de mi primera duda, faltaría sustituir \( xy \) por sus correspondientes variables y poner los diferenciales que corresponden a dichos limites de integración \( drd\theta \)

Entonces haciendo el movimiento, se demostraría la existencia de dichas ecuaciones ,¿no? se obtiene de dicho movimiento que ¿ \( a=b=r \) ?
¿Habría que probar que dicha transformación es un movimiento (conservando distancias) o es inmediato del referencial ortogonal escogido?

Como podría plantear la implicación \( (b) \Longrightarrow{(a)} \), ¿mediante otra transformación se podría probar?

Perdón pero no entiendo del todo 'el cómo hacerlo'

Saludos.

Buenas, necesito un poco de orientación sobre la siguiente equivalencia;

Sea \( H \) un conjunto de puntos del plano euclídeo, en el que fijamos un referencial ortonormal. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) \( H \) es una hipérbola.
(b) Existen dos rectas perpendiculares, con ecuaciones

   \( \alpha x + \beta y + \gamma = 0 \)
   \( \alpha ' x + \beta ' y + \gamma ' = 0 \) 

respecto del referencial dado, y un número  real positivo \( r \) tales que \( H \) es el lugar geométrico de los puntos cuyas
coordenadas \( (x, y) \) respecto de dicho referencial satisfacen la ecuación \( ( \alpha x + \beta y + \gamma )^2 - (\alpha ' x + \beta ' y + \gamma ' )^2 = r^2  \) 

Gracias de antemano.

Saludos.

¡Entendido!, muchas gracias

Saludos.

Hola buenas noches, encuentro dificultades en determinar lo siguiente:

Para cada \( n\in\mathbb{N} \) sea \( f_n:(0,\pi)=J\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f_n=\displaystyle\frac{sin^2(nx)}{n\cdot sen(x)} \).

Estudiar la convergencia puntual de la sucesión de funciones \( \{f_n\} \) así cómo la convergencia en intervalos \( (0,a] \), \( [a,\pi) \) y \( [a,b] \) donde \( 0<a<b<\pi \)

Para el estudio de la convergencia puntual tenemos \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\{f_n\}}\longrightarrow{0} \). Por tanto \( \{f_n\} \) converge puntualmente a cero.

Ahora para el estudio de la convergencia uniforme en \( (0,a] \), lo 'único' en lo que debemos fijarnos es en que si \( \{B_n\}=||f_n(x)-f(x)||_{\infty} \)
entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\{B_n\}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{||f_n(x)-f(x)||_{\infty}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{||f_n(x)||_{\infty}} \).

Sabiendo que \( f_n(x)>0 \) para \( x\in J \) , lo ideal sería encontrar los puntos máximos \( x_n \) ( \( f'_n(x_n)=0 \) ), pero dado que \( f'_n \) es algo engorrosa, no sé que hacer (literal). Debe existir alguna acotación que no veo, o alguna divergencia que me garantice que es, o no uniformemente convergente.

Gracias de antemano

Saludos.

Pd: No dudéis en extendeos con vuestras explicaciones si lo vieseis necesario, ¡será un placer leerlas!

Hola buenas noches, me preguntaban si alguien conoce algún documento acerca de la demostración (lo más detallada posible) sobre el Criterio M de Weierstrass para la convergencia uniforme de series de potencias.

Saludos.

Pues por condensación dos veces también sale que diverge , pensé que sólo se podía aplicar una vez dicho criterio..

Saludos.

Hola, buenos días, quería asegurar encuentro dificultades en determinar la convergencia/divergencia de esta serie;

\( \displaystyle\sum_{n=2}^n{\displaystyle\frac{1}{n\cdot log(n)\cdot log(log(n))}}
 \)

Mis intentos fueron aplicar el criterio de condensación pero no he conseguido obtener una cota superior que converga  converja para garantizar la convergencia de dicha serie.

Gracias de antemano

Saludos.

Hola, buenas tardes necesito ayuda acerca del planteamiento de estos tipos de problemas, cuándo a priori no se te ocurre una biyección (aunque veas dicho homeomorfismo en el espacio)

Por ejemplo dotados de la topología inducida por la topología usual del correspondiente espacio euclídeo(\( d_2 \)) probar que son homeomorfos;

El cilindro vertical \( X=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}:x^2+y^2=1\} \)
 y el plano agujereado \( Z=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \)

Gracias de antemano

Saludos.

¡Entendido!, muchas gracias

PD: Como indicas, copié los datos mezclados con otro ejercicio análogo a este por error.